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文档简介

加权余量法和变分原理王晓军航空科学与工程学院固体力学研究所<<航空工程先进数值计算技术>>微分方程组边界条件A,B为微分算子Ω为体积域或面积域等

Γ为域Ω的边界应力场----弹性力学温度场----热传导电磁场----电磁学流速场----流体力学物理问题的微分控制方程<<结构分析中的有限单元法>>

ByXiaojunWang[2009]物理问题的微分控制方程应力场----弹性力学温度场----热传导<<结构分析中的有限单元法>>

ByXiaojunWang[2009]物理问题的微分控制方程流速场----流体力学电磁场----电磁学微分方程的等效积分形式由于微分方程组在域内中每一点都必须为零，因此就有其中是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意（权）函数。同样，在边界上每一点边界条件都必须满足，对于一组任意(权)函数V应当成立微分方程的等效积分形式因此，等效积分形式在很多情况下，可以对上式进行分部积分得到另一种形式关于u的连续性降低了，却提高了对U和V的连续性要求。式（**）称为微分方程和边界条件的等效积分弱形式。加权余量法在求解域Ω中，若场函数是精确解，则在域Ω中任一点都满足微分方程，同时在边界上任一点都满足边界条件式，此时等效积分形式或等效积分弱形式必然严格地得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难找到的，因此,人们需要设法找到具有一定精度的近似解。加权余量法加权余量法伽辽金（Galerkin）法

弹性力学的基本方程和相应的边界条件，把弹性力学问题归结为在给定边界条件下求解偏微分方程的边值问题。自从建立弹性力学以来，人们用各种偏微分方程的解法求得了许多弹性力学问题的解析解。然而，随着工业技术的发展，工程结构的形状也越来越复杂，很多问题得不到解析解，因而需求助于数值解，而变分原理则是许多数值解的基础。弹性力学问题，在数学上就是空间连续场的确定问题。变分法就是把它归结为一个泛函变分的极值问题或驻值问题。变分原理

讨论一个连续介质问题的“变分原理”首先要建立一个标量泛函∏，它由积分形式确定其中u是未知函数，F和E是特定的算子，Ω是求解域，Γ是Ω的边界。∏称为未知函数u的泛函，随函数u的变化而变化。连续介质问题的解u使泛函∏对于微小的变化δu取驻值，即泛函的“变分”等于零

这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。

变分原理与微分方程和边界条件是两种等价的表达形式，一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值，另一方面从变分的角度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微分方

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