人教A版数学(选择性必修一讲义)第19讲2.3直线的交点坐标与距离公式(学生版+解析)

第06讲2.3直线的交点坐标与距离公式（2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）课程标准学习目标①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；知识点01：两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)不相交(3)不相交【详解】（1）解方程组，得，所以与相交，交点坐标为．（2）解方程组，方程组无解，所以与无公共点，即与不相交．（3）解方程组，因为方程可化为，所以方程组有无数组解，所以与有无数个公共点，即与不相交．知识点02：两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点与点间的距离为，则________．【答案】9或【详解】由，得，即，解得或．故答案为：9或.知识点03：点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.【即学即练3】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为__________．【答案】【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故答案为：.知识点04：两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.【即学即练4】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为直线，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之间的距离.故选：A.知识点05：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)求点关于点的对称点由：2、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：【即学即练5】（2023秋·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．【答案】42【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，于是，整理得，解得，所以.故答案为：4；23、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.【即学即练6】（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是______．【答案】【详解】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.4、直线关于直线对称问题4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，两点求出直线4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【即学即练7】（2023·高二课时练习）求直线关于直线对称的直线的方程．【答案】【详解】联立两直线方程，解得，即两直线的交点为，取直线：上一点，设其关于直线：的对称点，则，解得，即，因为所求直线过，，方程为，即.【即学即练8】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线关于直线对称的直线方程为________【答案】【详解】设所求直线方程为，且，直线与直线间的距离为，则直线与直线间的距离为，又，得，所以所求直线方程为，故答案为：.题型01求直线交点坐标【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【典例2】（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（

）．A． B．C． D．【变式2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)直线；(2)直线．【典例2】（2022·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________【变式1】（2022·高二课时练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．【变式2】（2022·高二课时练习）关于､的二元一次方程组有无穷多组解，则与的积是_____.题型03由直线交点的个数求参数【典例1】（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【典例2】（2022·高二校联考课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数满足的条件是________.【典例3】（2022·高二校联考课时练习）已知三条直线，，.（1）若直线，，交于一点，求实数的值；（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.【变式1】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【变式2】（2022·高二课时练习）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.题型04由直线的交点坐标求参数【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是___________.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线和交于一点，则的值为（

）A． B． C．3 D．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）两直线和的交点在轴上，则的值是（

）A．-24 B．6 C．±6 D．24题型05三线围成三角形问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求应满足的条件．

【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（

）A． B．C． D．－2【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________．题型06直线交点系方程及其应用【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.【典例2】（2022·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求：(1)过点与的直线方程；(2)过点且与直线平行的直线方程．【变式1】（2022秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A． B．C． D．【变式2】（2022·高二单元测试）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．【变式3】（2022·高二课时练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.题型07求两点间的距离公式【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（

）A．10 B．13 C．16 D．20【变式1】（2023秋·高二课时练习）已知，点在轴上，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）直线和直线分别过定点和，则|________．【变式3】（2023·高三课时练习）如图，是边长为1的正三角形，，分别为线段，上一点，满足，，与的交点为，则线段的长度为___________.题型08距离公式的应用【典例1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【典例2】（2022秋·福建·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【典例3】（2022秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是_____________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为________．题型09求点到直线的距离【典例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C．【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为_________.【变式1】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【变式2】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（

）A．2 B． C． D．1题型10已知点到直线的距离求参数【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线上存在一点，满足，其中为坐标原点.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程：(1)经过直线,的交点，且经过点；(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．【变式1】（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A或 B．或15C．5或 D．5或15【变式2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A．或 B．或15 C．5或 D．5或15【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点到直线的距离为，则等于（

）A． B． C． D．题型11求点关于直线的对称点【典例1】（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______.【变式1】（2023·全国·高三对口高考）点关于直线的对称点的坐标为_________．【变式2】（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求、的值．题型12求到两点距离相等的直线方程【典例1】（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【典例2】（2023·高二课时练习）已知点，到直线的距离都等于2，求直线的方程．【变式1】（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．【变式2】（2023·高三课时练习）已知点，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的方程为______.题型13直线关于直线对称【典例1】（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（）A． B．C． D．【典例3】（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程是______．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线关于轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）求直线关于直线对称的直线方程（

） B．C． D．【变式3】（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______．【变式4】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）若直线与关于直线对称，则实数a=______.题型14平行线间的距离问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（

）A． B．2 C．14 D．【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例3】（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．【变式1】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【变式2】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或【变式3】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（

）A． B． C． D．题型15直线关于点对称的直线【典例1】（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【典例3】（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．题型16将军饮马问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【典例2】（2023·高二课时练习）已知点和，在直线上找一点，使最小，并求这个最小值．【变式1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）函数的值域为__________.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（

）A．25 B．5C．4 D．2．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）已知，，，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．（2023春·广西玉林·高二统考期中）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（

）A．2 B．3 C．5 D．10上，经反射后沿着直线射出，则实数______．四、解答题13．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知的三个顶点，，.(1)求直线的方程；(2)求的面积.14．（2023·全国·高三对口高考）已知三条直线、和且与的距离是．(1)求的值；(2)已知点到直线的距离与点到直线的距离之比是，试求出点的轨迹方程．能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（）A． B．C． D．3．（2023秋·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知正实数满足，则的取最小值___________.C综合素养1．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________.2．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知直线和，(1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹；(2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程．3．（2023·高三课时练习）已知、，设过点的直线与的边交于点（点与不重合），与边交于点，如图所示.(1)求的面积关于直线的斜率的函数关系式；(2)当为何值时，取最大值，并求出此最大值.

第06讲2.3直线的交点坐标与距离公式（2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）课程标准学习目标①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；知识点01：两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)不相交(3)不相交【详解】（1）解方程组，得，所以与相交，交点坐标为．（2）解方程组，方程组无解，所以与无公共点，即与不相交．（3）解方程组，因为方程可化为，所以方程组有无数组解，所以与有无数个公共点，即与不相交．知识点02：两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点与点间的距离为，则________．【答案】9或【详解】由，得，即，解得或．故答案为：9或.知识点03：点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.【即学即练3】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为__________．【答案】【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故答案为：.知识点04：两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.【即学即练4】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为直线，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之间的距离.故选：A.知识点05：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)求点关于点的对称点由：2、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：【即学即练5】（2023秋·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．【答案】42【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，于是，整理得，解得，所以.故答案为：4；23、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.【即学即练6】（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是______．【答案】【详解】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.4、直线关于直线对称问题4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，两点求出直线4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【即学即练7】（2023·高二课时练习）求直线关于直线对称的直线的方程．【答案】【详解】联立两直线方程，解得，即两直线的交点为，取直线：上一点，设其关于直线：的对称点，则，解得，即，因为所求直线过，，方程为，即.【即学即练8】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线关于直线对称的直线方程为________【答案】【详解】设所求直线方程为，且，直线与直线间的距离为，则直线与直线间的距离为，又，得，所以所求直线方程为，故答案为：.题型01求直线交点坐标【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【详解】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)．故选：C.【典例2】（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【详解】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【详解】联立方程，解得，所以交点坐标为；直线的斜率为，所以所求直线方程的斜率为，由点斜式直线方程得：所求直线方程为，即；故选：B.【变式2】（2023·高二课时练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若直线与直线平行或重合，则，解得，若直线与直线相交，可得且，则有：联立方程，解得，即交点坐标，由题意可得：，解得；综上所述：k的取值范围为.故选：C.题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)直线；(2)直线．【答案】(1)相交，交点是(2)答案见解析【详解】（1）联立，解得，所以两直线相交，交点坐标为.（2）当时，，，联立，方程组有无数组解，故两直线重合，当时，，，联立，方程组无解，故两直线平行，当，联立，解得，所以两直线相交，交点坐标为.综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为.【典例2】（2022·上海·高三专题练习）若关于、的方程组无解，则实数________【答案】【详解】由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以，此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数.故答案为：-2.【变式1】（2022·高二课时练习）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．【答案】【详解】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或.当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意.当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意.综上所述，的值为.故答案为：【变式2】（2022·高二课时练习）关于､的二元一次方程组有无穷多组解，则与的积是_____.【答案】-35【详解】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解，所以直线与直线重合，所以，解得，所以，故答案为：-35题型03由直线交点的个数求参数【典例1】（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【详解】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D【典例2】（2022·高二校联考课时练习）若关于，的方程组有唯一解，则实数满足的条件是________.【答案】/【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：【典例3】（2022·高二校联考课时练习）已知三条直线，，.（1）若直线，，交于一点，求实数的值；（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.【答案】（1）或；（2）或或4或.【详解】（1）∵直线，，交于一点，∴与不平行，∴，由，得，即与的交点为，代入的方程，得，解得或.（2）若，，交于一点，则或；若，则；若，则；若，则不存在满足条件的实数.综上，可得或或4或.【变式1】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行，∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C.【变式2】（2022·高二课时练习）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值.【答案】或【详解】由得：，即有一个交点，或；即或，解得：或.题型04由直线的交点坐标求参数【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.【典例2】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】由题意，直线，令，可得；令，可得，即，如图所示，当直线过点，可得；当直线过点，可得，要使得直线与直线的交点在第一象限，则，即实数的取值范围是.故答案为：.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线和交于一点，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【详解】解：联立得.把代入得.故选：C【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）两直线和的交点在轴上，则的值是（

）A．-24 B．6 C．±6 D．24【答案】C【详解】因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为，所以，消去，可得．故选：．题型05三线围成三角形问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若平行，则，即；若平行，则，即无解；若平行，则，即；若三条直线交于一点，，可得或；经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.故选：B【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求应满足的条件．

【答案】且【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若，则由，得；②若，则由，得；③若，则由，得，当时，与三线重合，当时，平行．④若三条直线交于一点，由，解得，将的交点的坐标代入的方程，解得(舍去)，或，所以要使三条直线能构成三角形，需且．【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（

）A． B．C． D．－2【答案】AC【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，所以．故选：AC.【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________．【答案】或1【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，若与垂直，则；若与垂直，则．所以或1．故答案为：或1题型06直线交点系方程及其应用【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________.【答案】或【详解】方法一：由，得，所以两条直线的交点坐标为（14，10）,由题意可得直线的斜率为1或-1，所以直线的方程为或，即或.方法二：设直线的方程为，整理得，由题意，得，解得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.【典例2】（2022·高二课时练习）已知两直线和的交点为．求：(1)过点与的直线方程；(2)过点且与直线平行的直线方程．【答案】(1)(2)（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①把点代入方程①，化简得，解得，所以过点P与Q的直线方程为，即．（2）由两直线平行，得，得，所以所求直线的方程为，即．【变式1】（2022秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.【变式2】（2022·高二单元测试）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．【答案】证明见解析，【详解】证明：原方程整理为，则由得所以点坐标为．【变式3】（2022·高二课时练习）直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.【答案】或【详解】解：设直线方程为，化简得,直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为,或，解得或.代入并化简得直线的方程为或.所以所求的直线方程为或.题型07求两点间的距离公式【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）已知，两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则线段的长为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【详解】因为直线和互相垂直，所以，解得，所以线段AB的中点为，所以设，则，解得，所以，所以，故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（

）A．10 B．13 C．16 D．20【答案】B【详解】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，又因为直线过定点，直线，即过定点，所以在中，，故选：B.【变式1】（2023秋·高二课时练习）已知，点在轴上，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为点C在x轴上，设点，则，所以，化简可得：，所以.故选：D.【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）直线和直线分别过定点和，则|________．【答案】【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点，将直线的方程变形为，由，可得，即点，所以，.故答案为：.【变式3】（2023·高三课时练习）如图，是边长为1的正三角形，，分别为线段，上一点，满足，，与的交点为，则线段的长度为___________.【答案】【详解】解：以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，联立，解得，即，所以.故答案为：.题型08距离公式的应用【典例1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】B【详解】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值，因为，，，所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，，取的中点，连接，与交于点，连接，故，，因为，所以，故，则，故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值，因为，所以，同理得：，，，故的最小值为.故选：B【典例2】（2022秋·福建·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.【典例3】（2022秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是_____________.【答案】5【详解】解：因为，设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即，点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则，所以，所以的最小值是.故答案为：【变式1】（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题的几何意义为点到点的距离之和的最小值.由题可知,此时,且在轴上.故.,.故的最小值为故选：D【变式2】（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，记点、、，则，当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.故选：C.【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，求得的最小值为________．【答案】【详解】由变形所得函数知：表示x轴上的动点到两定点的距离之和，∴当且仅当与重合时，有最小值为.故答案为：题型09求点到直线的距离【典例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C．【答案】A【详解】，故选：A【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为_________.【答案】2【详解】因为表示动点到坐标原点，所以的最小值为到线的距离.故答案为：2.【变式1】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【详解】原点到直线的距离为，根据垂线段的性质可知的最小值是，故选：A【变式2】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【详解】设，依题意，，则，整理得，点到的距离，所以点到圆心的距离的最小值．故选：C题型10已知点到直线的距离求参数【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则的值为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【详解】由距离公式可得，，即解得或.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线上存在一点，满足，其中为坐标原点.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为直线上存在一点P，使得，所以原点O到直线l的距离小于等于1，即，解得：，即k的取值范围是.故选：C【典例3】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程：(1)经过直线,的交点，且经过点；(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．【答案】(1)(2)或.【详解】（1）联立，得，即，由两点式得，即.（2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为，设直线，即，依题意得，解得或，所以直线的方程为或.【变式1】（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A或 B．或15C．5或 D．5或15【答案】D【详解】因为点到直线的距离为1，所以,解得或5.故选:D.【变式2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A．或 B．或15 C．5或 D．5或15【答案】D【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5．故选：D.【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点到直线的距离为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得．解得或．，．故选：C.题型11求点关于直线的对称点【典例1】（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C【典例2】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______.【答案】【详解】解：设点，因为直线的斜率为，则有，解得：，所以点的坐标为.故答案为：【变式1】（2023·全国·高三对口高考）点关于直线的对称点的坐标为_________．【答案】【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，即点关于直线的对称点的坐标为.故答案为：.【变式2】（2023·高二课时练习）若点关于直线对称的点是，求、的值．【答案】，.【详解】因为点关于直线对称的点是，所以有，解得，.题型12求到两点距离相等的直线方程【典例1】（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【详解】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选:D.【典例2】（2023·高二课时练习）已知点，到直线的距离都等于2，求直线的方程．【答案】或，，．【详解】①当时，因为直线的方程为，所以可设直线l的方程为．由或，即直线l的方程为或．②当l过线段的中点时，设l的方程为，即．点到l的距离，即．又当轴时，斜率不存在，此时也符合题意．综上直线的方程为：或，，．【变式1】（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．【答案】或【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；若斜率存在时，设过点的直线，即．根据题意，可得，解得或，当时，直线方程为，当时，直线方程为综上可得，直线方程为或．故答案为：或【变式2】（2023·高三课时练习）已知点，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的方程为______.【答案】或【详解】依题意，到直线的距离相等.的中点为，当过以及时，直线的方程为.直线的斜率为，当直线过并与平行时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故答案为：或题型13直线关于直线对称【典例1】（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在上取一点，则由题意可得其关于直线的对称点在上，所以，得，在上取一点，则其关于直线的对称点在上，所以，得，综上，故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，则，解出点在直线上，将式代入，得，化简得，即为关于对称的直线方程．故选：C【典例3】（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程是______．【答案】【详解】解：∵直线的斜率为-1，且与y轴交于（0，1）点，又∵直线l与直线关于y轴对称，∴直线l的斜率为1，且过（0，1）点，则直线l的方程为，故答案为：【典例4】（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是________.【答案】【详解】设所求直线上任意一点，点P关于的对称点为,如图所示：则有，得∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故答案为：【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线关于轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设点是所求直线上任意一点，则关于轴的对称点为，且在直线上，代入可得，即.故选：C.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）求直线关于直线对称的直线方程（

） B．C． D．【答案】B【详解】设对称直线方程为，，解得或（舍去）.所以所求直线方程为.故选：B【变式3】（2023·高二课时练习）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______．【答案】6【详解】解：直线上的点关于的对称点在上，所以，解得，直线上的点关于的对称点在上，所以，解得.故答案为：；【变式4】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）若直线与关于直线对称，则实数a=______.【答案】【详解】直线过点，点关于直线对称点为，依题意可知点在直线上，所以.故答案为：题型14平行线间的距离问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【详解】由距离公式可知，所求距离为.故选：D【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】，由，解得，故过定点．，由，解得，故过定点，故，距离的最大值为．此时，，则，，解得，故．故选：C．【典例3】（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．【答案】3【详解】因为直线与平行，所以，解得且，所以直线为，直线化为，因为两平行线间的距离为，所以，得，因为所以，得，所以，故答案为：3【变式1】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【详解】因为两直线：，：平行，可得且，解得或，当时，，，即，可两平行线间的距离为，符合题意；当时，，，即，可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.故选：A.【变式2】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【详解】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C【变式3】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，将直线变为，又，所以两平行线间的距离为.故选：A.题型15直线关于点对称的直线【典例1】（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即，所以直线关于原点对称的直线是.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称点为，又因为在上，所以，即。故选：B【典例3】（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．【答案】【详解】设对称直线为，则有，解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故答案为：【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，故设，在l上取点，则点关于点的对称点是，所以，即，故直线的方程为.故选：C【变式2】（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．【答案】【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，故答案为：题型16将军饮马问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【详解】由关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，又所以“将军饮马”的最短总路程为.故选：D【典例2】（2023·高二课时练习）已知点和，在直线上找一点，使最小，并求这个最小值．【答案】，最小值【详解】设关于直线的对称点为，线段的中点为，所以，解得，即，所以的最小值为，此时直线的方程为，由解得，所以.【变式1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设点关于直线的对称点．根据题意，为最短距离，先求出的坐标．的中点为，直线的斜率为1，故直线的方程为，即．由，联立得，，，则，故，则“将军饮马”的最短总路程为．故选：C．【变式2】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）函数的值域为__________.【答案】【详解】原式为，即可看作是动点到定点的距离之和，设关于轴的对称点为，连接交轴于，此时最小，且最小值为，故函数的值域为，故答案为：A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（

）A．25 B．5C．4 D．【答案】B【详解】由两点间的距离公式得．故选：B.2．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）已知，，，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【详解】，，，，，，，是直角三角形．故选：A．3．（2023春·广西玉林·高二统考期中）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（

）A．2 B．3 C．5 D．10【答案】A【详解】这两条直线之间的距离为.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）若点到直线的距离为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【详解】由点到直线的距离公式可得,故选：B.5．（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【详解】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.

6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，下列说法正确的是（

）A．，使得 B．，使得C．，与都相交 D．，使得原点到的距离为3【答案】B【详解】对A，要使，则，所以，解之得，此时与重合，选项A错误；对B，要使，，，解之得，所以B正确；对C，过定点，该定点在上，但是当时，与重合，所以C错误；对D，，化简得，此方程，无实数解，所以D错误.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，设，则，所以点不是的“好点”；对于B，设，则，，所以，所以点是的“好点”；对于C，设，则，所以点不是的“好点”；对