鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的性质与判定

6.3正方形的性质与判定

一.选择题

1.正方形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线相等D.对角线互相垂直

2.如图，正方形。4、0C的两边0A、0C分别在x轴、y轴上，点。（3,2）在边48上,

以C为中心，把△CZJB旋转90°,则旋转后点。的对应点。的坐标是（）

C.(1,6)或(-1,0)D.(6,1)或(-1,0)

3.如图，已知在正方形A8CZ）中，A8=8C=CD=AQ=10厘米，/A=NB=NC=NO=

90°,点E在边A8上，且AE=4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由8

点向C点运动，同时，点。在线段CQ上由C点向。点运动，设运动时间为，秒.当^

BPE与△CQP全等时，，的值为（）

A.2B.2或1.5C.2.5D.2.5或2

4.如图，已知四边形ABC。是平行四边形，下列说法正确的是（）

A.若AB=AZ）,贝gABC。是矩形

B.若4B=A£>,则。ABC。是正方形

C.若4B_LBC,则。ABC。是矩形

D.若AC_L8£>,则。A8CD是正方形

5.在菱形ABC。中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是（）

A.AB^ADB.AB1BCC.ACLBDD.4c平分NBA。

6.在下列说法中不正确的是（）

A.两条对角线互相垂直的矩形是正方形

B.两条对角线相等的菱形是正方形

C.两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形

D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形

7.下列说法中错误的是（）

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的矩形是正方形

D.对角线相等的菱形是正方形

二.填空题

8.如图，在正方形ABC。中，对角线AC与相交于点0,点P为边上的一点，过

点P分别作PEVAC于点E,作PFLBD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD的面

积为_______

9.如图，正方形A8CZ）的边长为2,E为射线8上一动点（不与C重合），以CE为边向

正方形ABC。外作正方形CEFG,连接OG,直线BE、£>G相交于点P,连接AP,则线

段AP长度的取值范围是

BG

三.解答题

10.如图，在RtZVIBC中，NC=90°,/BAM和NABN是△ABC的两个外角，AO平分

ZBAM,交NABN的平分线于点D,过点D分别作DELCM于点E,作DFLCN于点F.

(D试猜想四边形CED尸的形状，并证明你的结论;

(2)若AE=B凡试证明：AC=MAE.

11.如图，正方形ABC。中，对角线所在的直线上有两点E、F,满足BE=OF,连接

AE,AF,CE、CF,求证：/XABE^^ADF.

12.如图，在正方形A8CQ中，BE平分NDBC交CD于息E,延长BC到F,使CF=CE,

连接DF交BE的延长线于点G.

(1)求/BG尸的度数；

(2)求证：DE=42CE.

13.在正方形ABC。中，E是△AB。内的点，EB=EC.

(1)如图1,若EB=BC,求NEBO的度数；

(2)如图2,EC与BD交于点、F,连接AE,若S四边形ABFE=〃，试探究线段尸C与BE之

间的数量关系，并说明理由.

14.如图，四边形A8C£＞是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线8。(不含8点)上

任意一点，将BM绕点、B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.设点N的坐标

为(m,ri').

(1)若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD±,点B(-1,0),A(0,1).且

BM=t(0＜Z^2),则点。的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N

纵坐标〃的取值范围是；

(2)若正方形的边长为2,求EC的长，以及AM+BM+C例的最小值.

(提示：连结MN：44+2晶=«+],[4-2加=«-1)

备用图

15.如图，已知正方形A8CD,点E在BC上，点F在CO延长线上，BE=DF

(1)求证：AE=AF\

(2)若与EF交于点连接4例，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理

16.如图1,在RtZXABC中，NAC8=90°,过点C的直线机〃4B,。为AB边上一点，过

点。作QELBC,交直线机于点E,垂足为点F,连接C£＞、BE.

(I)求证：CE-AD-,

(II)如图2,当点。是AB中点时，连接CD

(i)四边形BECO是什么特殊四边形？说明你的理由；

(")当NA=°时，四边形BECC是正方形.(直接写出答案)

17.如图，在矩形ABCO中，AB=16c/n,AD=6cm,动点P,。分别从点4,C同时出发，

点P以每秒3c机的速度向点8移动，点Q以每秒2c机测得速度向点。移动，当点尸到

达点8处时，两点均停止移动

(1)P，。两点出发多长时间，线段PQ的长度为IOCTH?

(2)是否存在某一时刻，使四边形PBC。为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在,

请说明理由.

18.如图，△4BC中，点。是4C边上的一个动点，过点0作直线MN〃BC,交/4CB的

平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由；

(2)当点。运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；

(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEC尸会是正方形.

19.如图，在Rtz^ABC中，乙4cB=90°,过点C的直线MN〃48,C为A8边上一点,

过点。作交直线MV于点E,垂足为尸，连接CD,BE

(1)求证：CE=AD

(2)若。为4B的中点，则NA的度数满足什么条件时，四边形8ECO是正方形？请说

20.己知：如图，在矩形ABC。中，E是BC边一点,DE平分N4DC,E尸〃力C交A。边于

点F,连接BD.

(1)求证：四边形EFCD是正方形；

(2)若BE=1,ED=2点,求B3的长.

21.如图1,在平面直角坐标系中，放置一个边长为5的正方形ABC。，人使得它的两个顶

点B和A恰好落在x轴正半轴和y轴正半轴上，M为正方形的中心.

(1)若点B和点A在x轴和y轴上滑动，求证：在这个运动过程中，M始终在第一象限

的角平分线上.

(2)若点A运动到(0,3),求此时例点的坐标.

参考答案

选择题

1.解：正方形和矩形都具有的性质是对边相等，对角相等，对角线相等，对角线互相垂直

是正方形具有矩形不具有的性质，

故选：D.

2.解：分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况（如图所示）：

：点。（3,2）,四边形0ABe为正方形，

：.OA=BC=3,BD=\,

.•.点£>'的坐标为（-1,0）；

②逆时针旋转时，点夕落在y轴正半轴上，

"：OC=BC=3,BD=1,

:.点B'的坐标为（0,6）,点。'的坐标为（1,6）.

故选：C.

3.解：当点。的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE6CQP,则BP=

CQ,BE=CP,

：A8=BC=10厘米，AE=4厘米，

.•.8E=CP=6厘米，

；.BP=10-6=4厘米，

，运动时间=4+2=2（秒）；

当点。的运动速度与点P的运动速度不相等，

J.BP^CQ,

VZB=ZC=90°,

要使△8PE与△OQP全等，只要8P=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可.

点P,。运动的时间，=号="|（秒），

故选：D.

4.解：A、若AB=AD,则。4BCD是菱形，选项说法错误；

B、若A8=AO,则。ABC。是菱形，选项说法错误；

C、若A8LBC,则oABCO是矩形，选项说法正确；

D、ACLBD,则。ABC。是菱形，选项说法错误；

故选：C.

5.解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：ZABC=90°,即A8LBC；

故添加的条件为：AC=BZ）或/ABC=90°或

故选：B.

6.解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；

8、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；

C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；

。、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意.

故选：D.

7.解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；

B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此选项错误；

C.对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；

D.对角线相等的菱形是正方形，此选项正确.

故选：B,

二.填空题

8.解：•・,在正方形ABC。中，对角线AC与8。相交于点0,

：.AC-LBD9AO=CO=BO=DO,NEAP=45°,

PELAC,

•••△AEP是等腰直角三角形，

・•・PE=AE,

■:PFLBD,

，四边形OEPF是矩形，

：.PF=OE,

：.PE+PF=AE+OE=OA=5,

；.Sz\A0D=gX5X5=_77",

22

：・S正方形ABCO=4X■^■=50・

2

故答案为：50.

9.解：•••四边形ABC。和四边形CEFG为正方形,

：.CB=CD,CE=CG,NBCD=NECG=90°,

在△BCE和△OCG中

'CB=CD

-ZBCE=ZDCG-

CE=CG

.,.△BCE^ADCG(SAS),

：.ZCBE=ZCDG,

而NBEC=NDEP,

：.NDPE=NBCE=90°,

连接80,如图，

点P在以8。为直径的圆上，即点P在正方形ABC。的外接圆上,

•••4P为此外接圆的弦，

扬8=2&,

：.Q<AP<2yf2>

故答案为：0<AP<2版.

三.解答题

10.(1)解：四边形CEZJF的形状是正方形.

证明：过点。作。GLAB于点G.

"：DELAC,DF1BC,ZC=90°,

：.NC=/DEC=NDFC=90°,

...四边形CE£>F是矩形，

平分N4B尸，AO平分NBAE,DELAC,DFA.BC,

：.DE=DG,DF=DG,

：.DE=DF,

四边形CE£>F是正方形；

(2)在RtADEA和RtADGA中，

,:DE=DG,AD=AD,

.\RtAD£A^RtADGA(HL),

，AE=AG,

同理可证：BF=BG,

♦.•四边形CEO尸是正方形，

：.CE=CF,

：AE=8凡

：.CE-AE=CF-BF,即AC=BC,

在RtZXABC中，

VAB2=AC2+BC2,

即(4G+BG)2=Ad+Bc2,

(AE+BF)2=AC2+AC2,

(2AE)2=2AC2,

AC=V2AE.

11.解：：四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

NABD=NADB,

：.NABE=ZADF,

在△ABE与△AOF中

，AB=AD

<ZABE=ZADF)

BE=DF

A^ABE^/\ADF(SAS).

12.解：(1):•在△BCE和△£>(7/中,

'BC=DC

<ZBCE=ZDCF=90"，

CE=CF

:.ABCE义ADCF(SAS),

；.NBEC=NDFC,

•；NBEC+NCBE=9(T,

:.NCBE+NDFC=90°,

：.ZBGF=90°；

(2)连接EF,

：8£；平分/。8(?,

:.NDBG=NCBG,

•：BG=BG,NBGD=NBGF=90°,

：./\BDG^/\BFG(ASA),

：.DG=FG,

；.BG垂直平分DF,

：.DE=FE,

"：C^+CF2=EF2,CE=CF,

EFR^CE,

：.DE=y/2CE.

13.解：(1)如图1,•;EB=BC=EC,

是等边三角形,

：.ZEBC=60°,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.ZCBD=45°,

，NEBD=NEBC-NCBD=60°-45°=15°；

(2)线段FC与BE之间的等量关系是：FC・BE=2a,理由是:

如图2,连接AF交3E于G,

・・•四边形A3CO是正方形，

：.AB=BC,NABD=NDBC,

•：BF=BF,

A/\ABF^/\CBF(SAS),

：.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

■:EB=EC,

：.NECB=NEBC,

VZABC=ZDCB=90°,

・•・ZABE=/DCE,

・•・ZABE+ZBAF=ZDCE+ZBCE=90°,

AZAGB=90°,

J.AFLBE,

・'・S四边形A8FE=SAABE+SABEF，

=yBE-AG^-BE-FG-

=yBE'AF>

=/BE・FC，

,:S四边形AB尸£=。，

.*E・CF=a，

：.FC-BE=2a.

14.解：(1)如图1,以直线为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系,

♦.•四边形ABCD是正方形，

：.OA=OB=OC=OD,

♦:点B(-1,0),A(0,1),

：.D(1,0),C(0,-1)；

过N作NH工BD于h,

:.NNHB=90°,

•.♦将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,

：.ZNBH=f>0Q,BM=BN,

:.NH=®BN=®t,

22

：0<tW2,

...点N纵坐标〃的取值范围是OV〃WF；

故答案为：(1,0),(0,-1)；0V〃W«；

(2)如图所示，连接MM过E作交CB的延长线于H,

由旋转可得，BM=BN,NNBM=60°,

是等边三角形，

：.MN=BM,

•:△ABE是等边三角形，

：.BE=BA,ZABE=60°,

，ZABM=NEBN,

.,.△ABM丝△EBN(SAS),

：.AM=EN,

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM,

...当E,N,M,C在同一直线上时，AM+BM+CV的最小值是CE的长，

XVZABE=60Q,NABH=90°,

：・NEBH=30°,

.♦.Rt/XEBH中，EH=LB=LX2=1,

22

£}W=^/EB2-EH2=V22-12=^3,

:.CH=2+a，

.,.拉△CE"中，CE=,HE24cH2='l2+(2+r)2=78+虱^=巫7^;

：.AM+BM+CM的最小值为加+业.

AZABE=ZADC=ZADF=90°,AB=AD,

在△ABE和△A。尸中，

'BE=DF

.ZABE=ZADF-

AB=AD

.'.AABE^AADF(SAS),

：.AE=AF；

(2)AM±EF,AM=^EF,理由是:

2

由（1）得：△ABE丝

：・NFAD=NEAB,

：.ZFAE=ZDAB=90°,

•••△欣后是直角三角形，

如图，过E作硒〃C。，交B。于N,

:・/MNE=/MDF,/MEN=/MFD,

・・•四边形ABC。为正方形，

:・/NBE=45°,

••.△NBE是等腰直角三角形，

：.EN=BE=DF,

在△〃?/£：和/中，

<ZMNE=ZMDF

•・、NE=DF，

,/MEN=NMFD

:.XMNEQXMDF(ASA),

；.EM=FM,

•；AE=AF,

.\AM±EFfAM=^EF.

16.解：(【)证明：连接CO,

9：m//AB,

：.EC//AD

■:DE工BC,：.ZCFD=90°,

9：ZBCD+ZDCA=90°,/BCD+/CDE=9U°,

:・/DCA=/CDE,

：.DE//AC

...四边形DECA是平行四边形,

：.CE=DA

(II)(/)四边形BEC。是菱形.

•.•由(I)知：四边形。EC4是平行四边形,

：.CE=DA,CE//AD

在RtZ\A2C中，•.•点。是A8的中点，

：.BD=DC=DA,

又：CE=OA,CE//AD

四边形BECQ是菱形.

(n)当N4=45°时,

由于四边形DECA是平行四边形，

：.ZEDB=ZA=45°,

又；BE=BD,

；.NBED=NEDB=45°,

：.ZEBD=90Q.

由于四边形BEC。是菱形，

四边形BE8是正方形.

故答案为：45°

：.HQ=16-5t,

:.P^=PH2+HQ1,

即1()2=(16-5/)2+62,

解得：tJ-,t-24,

I525

答：P,Q两点出发B或建秒，线段PQ的长度为10cm；

55

(2)・・,四边形P8C。是正方形，

:・BP=CQ,即16-3f=2f,

解得：f=西，

5

,*'CQ=2t=-^-：?t6,

0

...不成立.

18.(1)证明：平分NACB,；./l=N2,

又,：MNHBC,

.\Z1=Z3,.*.Z3=Z2,

：.EO=CO,同理，FO=CO,

:.EO=FO.

(2)解：当点0运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.

理由：：EO=FO,点。是AC的中点.二四边形AECF是平行四边形，

平分NBCA的外角，.../4=/5,

又：N1=N2,.,.Z2+Z4=Axi80°=90°.

2

即NECF=90度，.•.平行四边形AEC尸是矩形.

(3)解：当△ABC是直角三角形时，即NACB=90°时，四边形AECF会是正方形,

理由：由(2)证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

VZACB=90°,CE、CN分别是/ACB与/4CB的外角平分线，

AZ1=Z2=Z3=Z4=Z5=45°,

：.AC±MN,

四边形AECF是正方形.

19.(1)证明：'：DELBC,

：.NACB=NDFB,

：.AC//DE,

".,MN//AB,即CE//AD,

：.四边形ADEC是平行四边形，

：.CE=AD-,

(2)当NA=45°时，四边形BECO是正方形，理由如下:

VZACB=90°,ZA=45°,

，NA8C=/A=45°,

：.AC=BC,

,:D为BA中点，

：.CD±AB,

：.ZCDB=90°,

:四边形BECD是菱形,

四边形BECD是正方形，

即当NA=45°时，四边形BECQ是正方形.

20.(1)证明：；四边形ABCO是矩形，

：.AD//BC