题库-函数的实际应用

类型一最大利润问题

1.某企业推销自己的品牌，设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销.

根据市场调查，这种工艺品一段时间内每周的销售量y（个）与销售单

价x（元）之间的对应关系如图所示（%为大于6的整数）.

（1）试判断y与x的函数关系,并求出y关于x的函数表达式；

（2）已知篮球工艺品的进价为10元/个,按照上述销售规律，当销售

单价x定为多少时，试销该工艺品每周获得的利润攻（元）最大？最大

利润是多少？

（3屎体育超市每周购进该款篮球工艺品的进货成本不超过1000元，

要想每周获得的利润最大，试确定该工艺品的单价（规定取整数），并

求出此时每周所获得的最大利润.

“数量（个）

第1题图

解：(1)由题图可知，)，是X的一次函数.

设此一次函数表达式为y=kx+b,

把点(10,300),(12,240)代入,

但J104+6=300解但肚=-30

何［124+6=240，畔『6=600'

-,'y关于X的函数表达式为y=-30x4-600；

(2)由题意可得：

w=(x-10)(-30%+600)=-30X2+900X-6000=-30(X-15)2+750,

••--30<0,

，当x=15时，w有最大值750,

即当销售单价定为15元时，试销该工艺品每周获得的利润最大，最

大利润为750元；

(3)由题意得：10(-30x+600)41000,

解得x>y,

由(2)知,w=-30(x75)2+750的函数图象开口向下,对称轴为直线

x=15,

.•.当X泮时，W随X的增大而减小，

又•口取整数，

.♦.当x=17时,W最大,且W最大=-30(17-15)2+750=630,

即该工艺品的单价定为17元时，每周获得的利润最大，最大利润为

630元.

2.某公司销售一种进价为20元/个的计算器销售过程中的其他开支(不

含进价)总计40万元,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的

变化如下表：

销售价格x(元/个)销售量y(万个)

304x460-18

120

60<x<80

X

(1)求出当销售量为2.5万个时，销售价格为多少？

(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润w(万元)与销售价格(元

/个)的函数关系式；

(3)销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多

少？

解(1)根据表格中数据可得，当产2.5时代入尸忘x+8，得x=55,

120

当y=2.5时，代入y=—，得x=48(不合题意,舍去),

当销售量为2.5万个时，销售价格为55元/个；

(2)根据题意得,当304x460时,y=-徐+8,

.*.w=(x-20)y-40=(x-20)(-+x+8)-40=-^x2+10x-200=-^(x-50)2+50；

120

当60<x<80时，y二---,

1202400

.*.w=(x-20)y-40=(x-20)------40=-------+80.

—'(x—50)2+50(30<x<60)

综上可得,w=<

2400

--------+80(60<x<80)

x

(3)当30<x<60时，w=-j^(x-50)2+50,

・・・当x=50时,w最大=50；

2400

当60<x<80时，w=-------+80,

...当x=80时，w最大=50.

综上可得，当销售价格定为50元/个或80元/个时,该公司获得的利润

最大，最大利润为50万元.

类型二最优方案问题

3.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车。辆,5型车6辆，

准备一次运完，且恰好每辆车都载满货物.已知：每辆A型车载满货物

一次可运货3吨，每辆B型车载满货物一次可运货4吨.

(1)该物流公司共有几种租车方案？请分别写出来；

(2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请

选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

解：（1）由题意得3a+4b=31,..Z,。都是整数,

.[a=9tfa=5tfa=1

4=1或值4或值7・

即共有3种租车方案；

分别为方案一：租A型车9辆、3型车1辆；方案二：租A型车5辆、

3型车4辆；方案三：租A型车1辆、3型车7辆.

（2）•.•租A型车每辆需租金100元/次，租B型车每辆需租金120元/

次，

方案一需租金:9x100+1x120=1020（元）；

方案二需租金:5x100+4x120=980（元）,

方案三需租金：1x100+7x120=940（元）.

••-1020>980>940,

二最省钱的租车方案是方案三：租A型车1辆、3型车7辆，最少租车

费为940元.

4.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划

给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公

司表示：快递物品重量不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1

千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收

费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.

（1）根据题意，填写下表：

公司

0.5134

费用（元）

重量（千克）

甲公司2267

乙公司1151

（2）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x

（千克）之间的函数关系式；

（3）小明应选择哪家快递公司更省钱？

解：（1）11,52,19,67；

【解法提示】当尤=0.5时，y甲=22x0.5=11；当尤=3时，」甲=22+15x

2=52；当x=l时，y乙=16x1+3=19；当x=4时，y乙=16x4+3=67；

(2)当0<%<1时,y甲=22x；

当4>1时，y甲=22+15(x-l)=15x+7.

,_f22x(0<x<l)

…甲—115x+7(x〉l)'

y乙=16x+3(x>0)；

(3)若0<x41,则当y甲=丁乙时,即22x=16x+3,解得x=；；

当y甲>、乙时，即22x>16x+3,解得x>；；

当y甲<y乙时,即22x<16x+3,解得；

若x>l,贝！］当y甲=丁乙时,即15x+7=16x+3,解得x=4；

当y甲〉y乙时,即15x+7>16x+3,解得x<4；

当y甲<y乙时，即15x+7<16x+3,解得x>4；

综上可得，当小明快递物品少于1千克或超过4千克时，选择甲公司更

省钱；当快递物品等于1千克或4千克时，选择两家快递公司的费用一

样；当快递物品超过;千克或不足4千克时，选择乙公司更省钱.

类型三抛物线型问题

5.如图①，是安徽省著名的彩虹桥，桥面的截面图可近似地看成一条抛

物线.(如图②)已知桥面在拱桥之间的长度CD为40米，桥面CD距

拱形支撑的最高点的距离A3为10米.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)小王准备在桥面M处竖直搭建一块广告牌，〃为3C的中点，广

告牌与拱形的交点为N,为了广告效果,规定广告牌的最高点P距离N

点不得少于11米，求广告牌PM的最低高度.

图①图②

第5题图

解：(1)如解图,以A为坐标原点,过点A的水平线为x轴，朋所在

直线为y轴建立平面直角坐标系，

由题意知，点C(-20,-10)，点。(20,-10),

设该抛物线的解析式为y=a/,

将点D的坐标代入，得a=-木

,该抛物线的解析式为y=-奈(-204x420)；

第5题解图

(2)；M为BC中点，，设点N的坐标为(-10,k),

则k=-a(TO”-2.5,

：.MN=\Q+k=1.5,

：.PM=MN+PN>1.5+\A=3.6,

・•・广告牌PM的疑氐高度为8.6米.

6.某中学阳光体育跳大绳规定：2名同学甩绳，5名同学跳绳，甩绳的

形状可看作抛物线.如图，以。为坐标原点,所在直线为y轴，

所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，正在甩绳的甲乙两名同学拿绳

的手间距A3为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，点C为抛

物线的最低点，且在x轴上，5名同学在之间站立.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如果小华站在之间，且离原点。的距离为2米，他至少跳起

多少米，才能顺利通过?

(3)若小刚的连续弹跳高度为0.4米，作为一名体育老师，应安排他

在哪个位置才能顺利通过?

解：(1)由题意，设抛物线的解析式为y=a(x-3)2,

将点A(0,0.9)代入，得0.9=a(x-3)2,解得a=0.1,

.-.y=0.1(x-3)2,即y=0.1x2-0.6x+0.9；

(2)当x=2时，y=0.1x(2-3)2=81,

•••小华至少跳起0.1米；

(3)当y=0.4时,0.1(x-3)2=0.4,解得xi=l,X2=5,

二可安排他距离。点1米至5米范围内.

类型四几何面积最大值问题

7.如图,在一面墙的周围用篱笆围成一个矩形ABCD的草坪,在AD、

BC边上有一个宽为1m的小路在草坪中间用篱笆做出一个隔断EF,

EF±AB,AB>EF,矩形ADRE种植兰花，矩形3CRE种植月季，已知

所用篱笆总长度为40m.设矩形A3CD的面积为ym2.

(1)设隔断EF的长为xm,请用含x的代数式表示出AB的长；

(2)求y与x之间的函数关系式；(川,।

1m隔断:Im

(3)所围成的矩形草坪面积是否能为150m2,

AEB

若能，请求出x的值，若不能,_回用

第7题图

求出当x为多少时，所围成的矩形草坪面积最大？并求出这个最大值.

解：(1)二•隔断所的长为xm,

/.AB=40-3x+2=(42-3xJm；

(2)3/=X-(42-3X)=-3X2+42X,

.,.y与x之间的函数关系式为y=-3x2+42x；

(3谓y=150时，即-3/+42x=150,b2-4ac=422-4x(-3)x(-150)=-36<0,

，所围成的矩形面积不能为150m2,

21

：AB>EF,：A2-3x>x,.-.l<x<y,

1.1y==-3x2+42x=-3(x-7)2+147,

・•・当x=7时，所围成的矩形草坪面积最大,最大面积为147n?.

8.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一个135。的角(如图，即N

MON=135°)两边为边,用总长为120m的围网围成了①、②、③三块

区域，其中区域①为直角三角形，区域②、③均为矩形.

(1)若①、②、③这三块区域的面积相等，求的长；

(2)设OB=x,四边形OBDG的面积为yn?,求y与x之间的函数关

系式，并注明自变量的取值范围；

(3