高中数学数列练习题及答案

最全的高中数学数列练习题及答案

一、单选题

1.已知数列｛%｝满足：4=-；，且4M=ln（%+l）-sina“，则下列关于数列｛4｝的叙述

正确的是（）

1,1a；2

D

A.a„>an+iB,--<an<--C.%+|>-不受-%4一产"

2.椭圆C：!+g=l（a>6>0）左，右焦点分别为耳、F2,P为椭圆C上一点，且P心垂

直x轴，若田马归周，|尸制成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是（）

9722222

x?~y、ry，cry«-x-y,

AA.--F—=1B.----1----=1C.---1----=1D.---1----=1

25162598198172

3.设等差数列｛4｝的前"项和为S“，若4=-11,%+%=-6,则使得S“<0成立的最大

整数〃的值为（）

A.12B.13C.14D.11

4.等差数列｛4｝的公差为2,前n项和为S“,若p：百+2,S2+2,S3+2成等比数列,

q：｛《,｝的首项为0,则（）

A.p是q的充要条件B.p是q的既不充分也不必要条件

C.p是q的充分不必要条件D.p是q的必要不充分条件

5.设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,.若S,=25u，则生=（）

6.定义：在数列｛%｝中，若满足冬为常数），称为"等差比数

an+\an

列"，已知在"等差比数列”｛%｝中，4=/=1必=3,则咏等于（）

a2017

A.4X20172-1B.4X20182-1C.4X20192-1D.4X20202-1

7.已知s“为正项等差数列｛叫的前n项和，若%+。9=《，则%=（）

A.22B.20C.16D.11

8.等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S”，若。5+4+%<。，%+的>0,贝（J当S〃取得最小值时,

«=（）

A.4B.5C.6D.7

9.已知等差数列｛4｝的各项均为正数，其前0项和为5“，且满足％=17,55=a2a3,则

《2=（）

A.28B.30C.32D.35

10.已知数列｛4｝的通项公式为=1-9〃+£4是数列｛4,｝的最小项，则实数k的取值范

围是（）

A.[-24,-16]B.[-24,0]C.[-16,16]D.[-16,0]

11.等差数列｛4｝的公差为d,前"项和为加设甲：d<0：乙：｛S,｝是递减数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

12.在等差数列｛q｝中，若q+2%+3/+4%=50,则%=（）

A.2B.3C.5D.7

13.已知等差数列｛%｝的前"项和为若生+%=1°，则臬=（）

A.60B.50C.30D.20

14.在等比数列｛q｝中，若4=6,%=24,则4。的值为（）

A.12；B.-12；C.±12;D.144.

15.《九章算术》“竹九节”问题中指出，若有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等

差数列，上5节的容积为4升，下4节的容积为5升，问第五节的容积是多少升？

（）

A.0.8B.0.9C.1D.1.1

二、填空题

16.有以下结论：

①存在OwR,使得sin6+cose=]；

②设。是平面ABC内一定点，P为平面43C内一动点，若

（PB-PC）（OB+OC）=（PC-PA）（OC+04）=（PA-PB）（OA+OB）=0,则0为.ABC的

外心；

③已知所在的平面上的动点P满足淳=|祠正+|码福，则直线”一定经过

△ABC的内心；

/[\〃+2019

④若数列｛叫，也｝的通项公式分别为为=（-1广20%,包=2+山一，且为<%对

n

任意恒成立，则实数。的取值范围是

其中正确的结论序号为（请把所有正确的结论序号都写出来）.

17.已知等差数列｛%｝的前。项和为5“，若4=2,4+4=10,贝叫=.

18.已知数列｛q｝满足1+々+粤+…+3=2",则4+/+…+/=.

19.数列｛叫的前〃项和为5=/+"—则&=.

20.己知数列｛4｝满足=2x（-l）",〃eN*,且4=1，则42023=•

三、解答题

21.已知｛《,｝是递增的等差数列，4+4=18,q,%，%分别为等比数列出｝的前三项.

⑴求数列｛4｝和他｝的通项公式；

(2)删去数列步“｝中的第4项(其中i=1,2,3,…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数

列｛c,J,求数列｛5｝的前"项和5”.

22.已知数列｛4｝是公比4Hl的等比数列，4=81,且％,2%,3q成等差数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛"｝满足a=1,a+2+1=(2〃+l)a“，记Z,=6+ga+...+(jbn,若

%+|<_1|Y勿=一47；,证明：-1+1—+15

"⑶"3"G。2c,3

23.已知数列｛q｝的前"项和为S“(”eN),且/S|+了•S?-!i--Sn=3n+5.

⑴求为,%及数列｛%｝的通项公式；

⑵设2=bg2^求使得伉+4+…+2>2022成立的最小正整数n的值.

24.已知等差数列｛%｝的前"项和为5.，«3+«5=18,1=48.

⑴求｛4｝的通项公式；

,2，、。

(2)设仇=历+好,数列｛〃｝的前n项和为7.，证明：当,此3,“eZ时，4T；>a„.

【参考答案】

一、单选题

1.D

【解析】

【分析】

构造函数.f(x)=ln(x+l)-sinx(-1<x<0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳

法证明4a.<0,然后构造函数g(x)=/(x)-x=ln(x+l)—sinx-x(-^<x<0),利

用导数证明g(x)>0,得〃x)>x,利用此不等式可直接判断A,对选项B,由数列｛”“)的

单调性与有界性知其极限存在，设;吧a“=A,对数列的递推关系求极值可得A=0,从而

9r

判断B,对选项C,引入函数设p(x)=ln(x+l)——-(-l<x<0),由导数证明p(x)〈0,得

x+2

ln(x+1)<__(_1<x<0),从而利用不等式性质得出数列3｝的不等关系,判断C,利用

判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列得应,｝前后项关系(求对

%

数再变化)，类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D.

【详解】

首先我们证明：4a“<0,利用数学归纳法.

事实上，当〃=1时，一：4q<0；

假设当”=Z时，—则当〃=%+1时，《+1=ln(%+1)—sin4.

设函数/(x)=ln(x+l)—sinx(_g<x<0),则/'(x)=-^j-cosx>0,则f(x)在

-；,0)上单调递增，

从而一：4ln；+sin；=/(-；)4az=/(%)</(0)=°.

当一gvxcO时，设g(x)=/(x)-x=ln(x+l)-sinx-x(-^<x<0),

则g'(X)=———cosx-1,设力(x)=gr(x)=---cosx-1,

'x+1x+1

"(力=一苦评+疝》<0,则g'(x)在一;,o)上单调递减，又g'(_£|>O,g'⑼<0,

所以存在为e(-；,0),使得g'(x0)=0,时，g'(x)>0,Xo<x<O时，

g'(x)<0,

故g(x)在-g，o］上先增后减，从而8(*)>01皿卜(0)超［3)1=0,从而

对于A选项：由于—：4a“<0,a„+1=ln(a„+l)-sina„>a„,故数列｛4｝单调递增，选项

A错误.

对于B选项，由于｛q｝单调递增且从而:吧4=A存在，由

%=皿&+1)-$出%>/可得4=111(4+1)-%4,故A=0,从而配见=0.故选项B

错误.

对于C选项，由于-1vxvO时，

?rI4X2

设p(x)=ln(x+l)---—(-1<%<0),p'(x)=----~~—j-=-———T-T>0,

x+2x+］(x+2)(x+l)(x+2)

所以p(x)是增函数，P(x)<p(0)=0,所以ln(x+l)<£^(-l<x<0),

Ovxvl时，x>sinx,因止匕有sinx>x(1<x<0),

,、、2尤-r2

从而/(x)=In(x+1)-sinx<—-x=----,故/=ln(<2„4-l)-sintz„<—:,故选项C

4+2

错误.

对于D选项，由于“"+]<―之<0,即°>」->-----T,令,则

a„+2«„+1a„ana„

-b..\>b“-2b；,g|Jb„+l<2b；-b„<2^-b„+1=2^„.其中2的,<%,故

In%<ln2+21n(2-；)<ln2+21nZ?“，从而Ind+i+ln2<2(lnb“+ln2),即

2]&

In6„+ln2<2"-1(inft,+In2),2%<4*,即一丁<4"‘，故?<—严,从而选项D正

确.

故选：D.

【点睛】

难点点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用

数学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不

等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题.

2.D

【解析】

【分析】

根据等差数列定义和勾股定理可得c,再由椭圆定义可得a,然后由几何量关系可得.

【详解】

由题知，|伍|=2c,|尸段=2c+2,附|=2c+4,

又「用垂直x轴，所以(2c>+(2c+2)2=(2c+4儿解得c=3,

又由椭圆定义引得2。=2c+2+2c+4=18,即。=9,

所以〃=/—/=81—9=72,

22

所以椭圆方程为二+2=1.

8172

3.D

【解析】

【分析】

先求出公差，再求出5,，解不等式求出〃的范围即可求解.

【详解】

设公差为d,由4+延=-6可得-11+34+(—11+54)=-6,解得d=2,故

S“=〃X(-11)+"(7).2="2-12〃,

令S,<0,解得故最大整数”的值为11.

故选：D.

4.A

【解析】

【分析】

根据充分必要条件的定义判断.

【详解】

4=0时，生=2,〃3=4,S1=0,S2=2,53=6,

$+2,S2+2,§3+2依次为2,4,8,是等比数列，〃是勺的必要条件，

若£+2,S?+2,53+2成等比数列，则(邑+2)2=(£+2)(邑+2),

(2q+4)2=(q+2)(3囚+8),解得4=。或q=-2,

q=-2时，5,+2=0,5+2,S2+2,S3+2不成等比数列，舍去.

所以4=0,因此P是9的充分条件，

综上，。是4的充要条件，

故选：A.

5.A

【解析】

【分析】

利用等差数列的前"项和公式，直接化简，即可求解.

【详解】

由邑=2S”，得7(%+%)=2x11(%+%),即7%=22%,所以

22422

故选：A

6.A

【解析】

【分析】

由题知1%4是首项为1,公差为2的等差数列，则4M=2〃-1,利用咏=&也、冬蛆

a

Jn^201702018。2017

即可求解.

【详解】

由题意可得：—=3,&=1,-=2,

a2%a2ax

根据"等差比数列"的定义可知数列是首项为1,公差为2的等差数列,

1为J

贝lj%L=l+("_l)x2=2〃_l,

所以吼=2x2018-1=2x2017+1,咏=2x2017-1,

。2018^2017

所以咏=-=(2x2017+1)(2x2017-1)=4x20172-1.

^2017。2018。2017

故选：A.

7.A

【解析】

【分析】

根据q+为=温可求得利用等差数列的性质化简如=114，可得答案.

【详解】

由题意设正项等差数列｛4｝的首项为4,4>0,公差为4

故由。3+佝=得:2al+10d=cib~,

即2a6=a：,4=2,

故5“=""'；"'')=114=22,

故选：A

8.C

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质解答即可

【详解】

%+4,+%=34<0,%+“9=2%>0,所以当n=6时，S,取得最小值.

故选：C

9.D

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质，通项公式及其前〃项和公式求解即可.

【详解】

因为55=生詈』=5〃3=〃汹，所以%=5,

又因为4=17,所以公差4=与二?=3,

0—2

所以“2=4+6d=17+18=35,

故选：D.

10.D

【解析】

【分析】

由题意得4,2“4列不等式，分离参数结合导数即可得解.

【详解】

由题意，a„=n2-9n+->--20,neN',即(〃-4)(〃一5)W""一夕,",

n44n

当"=4时，不等式成立；

当时，4”(〃-5)WA,解得a-16；

当〃25时，4n(n-5)>k,解得％40；

综上，-16<*<0.

故选：D.

11.B

【解析】

【分析】

根据等差数列前〃项和公式，结合递减数列的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断

即可.

【详解】

当d<0时，例如等差数列2,1,0,-1,-2,-3,…，显然d=-l<0,

因此有£=2,邑=3,&=3,其=2,S5=0,显然｛S,,｝不是递减数列,

当｛s〃｝是递减数列时，一定有s向<S.对于〃CN*恒成立，

即S〃+i一S〃<0nvOnq+iHcOnd〈一冬,

n

即V”eN*,不等式〃<一色■恒成立，当“—时，一幺一0,

nn

因此要想不等式1<-幺恒成立，则有d<0,

n

所以由｛s,j是递减数列能推出4<0,

故选：B

12.C

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式直接计算可得.

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,

则由4+2%+3%+44=50可得104+20d=50,即4+2d=5,即4=5.

故选：C.

13.C

【解析】

【分析】

根据等差数列求和公式及等差数列下标和的性质即可求得答案.

【详解】

56=6（，广）=3（%+%）=30.

故选：C.

14.A

【解析】

【分析】

利用等比数列的性质直接计算作答.

【详解】

在等比数列｛4｝中，%=6,%=24,则须＞0,且履,=%须=6x24=144,解得

%=12,

所以领的值为12.

故选：A

15.C

【解析】

【分析】

由上5节的容积为4升，下4节的容积为5升，求出等差数列的首项和公差即可求解.

【详解】

[a,+a^+a,+a.+CL=4

设自上而下各节的容积分别为4,4。，的，公差为"，则,;,化简得

&+%+/+=5

j5q+10d=4

[44+261=5'

[a.=0.6

解得八一故%=%+4d=L

[a=0.1

故选：C.

二、填空题

16.②③④

【解析】

【分析】

①，sine+cose=&sin（e+?）＜0＜1'，不存在使得sine+cos6=1'；

（2）,运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质可得|砺『=|说『=1反F,结合三角形

的外心，即可判断.

③，先对题中的等式进行变形，可得而正AC

Q=lIII同,可得直线AP一定经过

△ABC的内心；

④，对"分奇偶，讨论4<2恒成立即可判断.

【详解】

对于①，33

sin0+cos0=\/2sinf0+-^j<>/2<->不存在<9eR,使得sin6+cos6=-,错

22

误；

对于②，若（而-码•（而+元）=（定-网•乒+网=例-珂♦（砺+西=。

可得恒（丽+网=而（觉+砺卜丽•（砺+丽）=0,

SP^（05-OC）（OB+OC）=（OC-OA）（OC+OA）=（OA-OB）（OA+OB）=0

即有同2=］而卜函2,则网=同=函,故0为AABC的外心,正确;

对于③，AP=|AB|AC+|AB|AB=|AB||AC|+,根据平行四边形法则知:

4dACAB

目+而表示向量在三角形角A的平分线上，而向量而与向+向共线，所以直线

ACABAC\AB\

”一定经过AABC的内心，正确；

/\«+2019

对于④，4<2，故（_1）"+2。％<2+亡」——，

n

当〃为奇数一。<2+4又2+，单调递减，故2+,<2,故一.42,解aN—2,

nnn

11133

当〃为偶数，〃<2--又2-一单调递增，故2--故。<9，

nnn22

3

综上：-2<a<—,正确.

故答案为：②③④

17.20

【解析】

【分析】

设等差数列｛q｝的公差d,由%+%=1。结合通项公式求出公差d，利用前〃项和公式求

出品即可.

【详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,

因为4+4=1°，%=2

所以4+64=10,解方程得d=l

所以%="+1

那么&==

故答案为：20.

18.（2n-l）-2"+l

【解析】

【分析】

在题干条件下求出％=（2〃+l）2"T,进而用错位相减法求和.

【详解】

幺+”

1++…+人=2"①,

352〃+1

1+&+生+…+-^1_=2"T②

352«-15

两式相减得：U=2"T,

所以q=（2〃+l”i,经检验符合要求.

则S*=4+为+…+”“，

则S”=3+5x2+7x22+9x23+...+（2〃+1）2”|③，

2s“=3x2+5x22+7x2'+9x2、…+（2〃+1）2"④，

③-④得：-S„=3+22+23+24+---+2,,-（2/z+l）2,1=3+~（2〃+1）2”

=—1+（1-2廉）-2",

所以S0=（2〃-1卜2"+1

故答案为：（2n-l）-2"+l

19.12

【解析】

【分析】

根据数列的前«项和S,,与数列的通项4的关系求解.

【详解】

由数列的前“项和S„与数列的通项对的关系可得％=品-$5，

又S“=〃2+”-1,所以$6=6+6-1=41,&=29,

所以4=41-29=12,

故答案为：12.

20.4037

【解析】

【分析】

可根据相邻两项和为定值列出与相关的和的式子，即可求解.

【详解】

由题(。4+〃5)+(“6+%)■1-----(%022+。2023)=2x1010=2020,

(4+)+(%+“g)~^--°+(^021+々202。)二一2X1009="2018,

相减得«4+«2023=4038,又%=1,则a2O23=4037.

故答案为：4037.

三、解答题

21.⑴q=3〃，〃,=3"

rn、

6272-1

\7〃为偶数

13

⑵5./H-1\

627^-1

3/J-I

\7+3亍?”为奇数

13

【解析】

【分析】

(1)根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即

得答案；

(2)删去数列他,｝中的第项(其中i=123,…)后,求和时讨论n的奇偶性，并且分组

求和，即可求得答案.

⑴

设数列｛叫的公差为"(">0),数列也｝的公比为q,

q+q+4d=18

由已知得，(q+2”)2Tq+8")'解得4=3,d=3,所以4=3”；

所以〃=q=3,q=d=3,所以々=3".

a\

⑵

由题意可知新数列｛q,｝为：a，b2,b5，…,

则当n为偶数时

(n\rn

31-272321-2716272-l

Stt=a+瓦+…+b，盼/[…+…+为.

---------——

1-271-2713

则当"为奇数时,

<H-1\

627V-I

3«-1

\7

S”=S“-\+C„-S“_[+产卜=+3丁

13

6272-1

I〃为偶数

综上：s〃=,“J

627^-1q

3nT

八------^+3~,〃为奇数

13

22.⑴〃“=3"(〃eN*)

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等差中项可得4a2=3%+4，结合等比数列通向公式求解；

（2）结合题意整理可得c,=〃2,利用放缩不二-丁二］,结合本题应从

第二项开始放缩.

（1）

,/%，2/,3a,成等差数列，则4«,=3«,+4

22

4aiq=3a,+atqHPq-4^+3=0

，q=i（舍去）或g=3

/.at=—1-=3

q

.•.a“=q/T=3"(〃wN*)

⑵

由北=4+；打+…+[；]",可得：U'I+(g]2+…+(g)2，

两式相加得：

+4)+(()(8+4)+•••+(：)(2_|+")+(；)bn

'•,%+%=(2〃+l”“

=仿+gx3x3i+(g)x5x3?+…x(2〃-l)x3"T+(g)bn

则2=1+3+5+…+(2w-l)=/'

即

i1i5

(1)〃=1，F=1<1成“；

1144(11A

(2)〃22,—=-2r<—2z—=------------=2-------------

)cnn4n-\(2«-l)(2n+l)[2〃-12n+lJ

9+.J<l+2("+2(」］+...+2p---M

qc2%(35J<57)