《数学实验 第4版》课件 3.1 线性规划

第三章最优化方法实验3.1线性规划实验3.2非线性规划实验3.1线性规划一、线性规划的概念二、线性规划的图解法三、用MATLAB优化工具箱解线性规划四、应用举例：投资的收益和风险实验3.1线性规划需占用机床产品机床甲乙机床可利用时间（百台时）A2212B128C4016D0412利润（千元）23例1

资源的最佳利用问题：一、线性规划的概念

某工厂有A、B、C、D四种机床，可生产甲、乙两种产品．一件产品需经各台机床加工的时间和利润情况如表所示，问如何安排生产才能使得到的利润最高？实验3.1线性规划解设计划生产甲产品件，乙产品件,且使达到最大值求的值，使其满足条件实验3.1线性规划例2

运输问题：

实验3.1线性规划设有两个砖厂、，生产砖产量分别为23万块与27万块，、、三个工地，其需要量分别为17万块，将砖供应18万块和15万块．自产地到工地的运价如表所示．解且使具有最小值设由砖厂运往工地的砖的运量为（单位：万块）求的值，使其满足条件实验3.1线性规划①需要确定一组变量的值，这些变量通常称为决策变量，简称变量，它们通常是非负的.②对于决策变量，存在着可用一组线性等式或不等式来表达的限制条件，这些条件称为约束条件.③有一个可以表示为决策变量的线性函数的目标要求，这一函数称为目标函数．按问题的不同要求，可要求目标函数达到最大值或最小值．

在线性约束条件下，要求一组决策变量的值，使线性目标函数达到最大值或最小值的问题，就叫做线性规划问题，常用符号LP(LinearProgramming)表示。以上两个例子具有三个共同的特征：实验3.1线性规划，也称非负条件；称为价值系数．满足约束条件的决策变量的一组值，称为线性规划的可行解使目标函数达到所要求的最大值或最小值的可行解，称为线性规划的最优解，也就是线性规划的解．

求线性规划的解的过程叫做解线性规划．实验3.1线性规划,达到所要求的最大值或最小值s.t.(subjectedto)标准形式矩阵形式s.t.实验3.1线性规划只含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法求解．二、线性规划的图解法约束条件目标函数达到最大值，当直线移动到点时，于是最优解是最优值为例1实验3.1线性规划约束条件目标函数例3

解线性规划：问题无最优解线性规划有唯一解、无穷多解或无解三种情况．

对于决策变量两个以上的线性规划就不能用图解法，最常用、最有效的算法之一是单纯形方法。实验3.1线性规划minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注：若没有不等式约束条件存在，则令A=[]，b=[].三、解线性规划的MATLAB实现实验3.1线性规划3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）注意：[1]若没有等式约束

,则令Aeq=[],beq=[].

[2]其中X0表示初始点

4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.实验3.1线性规划x=

4

2A=[11;12;10;01];b=[6,8,4,3];c=-[2,3];A1=[];b1=[];v1=[0,0];x=linprog(c,A,b,A1,b1,v1)↙例1

资源的最佳利用问题：实验3.1线性规划A=[11;12;10;01];b=[6,8,4,3];c=-[2,3];A1=[];b1=[];v1=[0,0];x=linprog(c,A,b,A1,b1,v1)z=-c*x↙x=

4

2z=

14A=[11;12;10;01];b=[6,8,4,3];c=-[2,3];A1=[];b1=[];v1=[0,0];[x,fval]=linprog(c,A,b,A1,b1,v1)↙x=

4

2fval=-14实验3.1线性规划a=[1,1,1,0,0,0;0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1];b=[23,27,17,18,15];c=[50,60,70,60,110,160];v1=zeros(1,6);[x,fval]=linprog(c,[],[],a,b,v1)↙例2运输问题：

实验3.1线性规划具有最小值．x=

0

8

15

17

10

0fval=

3650即以下运输方案是最优的运量（万块）工地砖厂081517100实验3.1线性规划约束条件目标函数例3解线性规划：a=[-2,1;1,-1];b=[4,2];c=-[1,1];v1=[0,0];x=linprog(c,a,b,[],[],v1)↙实验3.1线性规划问题无界。x=[]表明此线性规划无最优解.四、应用举例：投资的收益和风险1、问题提出实验3.1线性规划市场上有n种资产（i=1,2……n）可以选择，

现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。

这n种资产在这一时期内购买的平均收益率为风险损失率为，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的

中最大的一个风险来度量。

购买时要付交易费，(费率)，

当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算。

另外，假定同期银行存款利率是，既无交易费又无风险。

（=5%）

已知n=4时相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。实验3.1线性规划符号规定基本假设实验3.1线性规划2、模型的建立(1)

总体风险用所投资的中最大的一个风险来衡量，即(3)

要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划。实验3.1线性规划(2)

购买

所付交易费是一个分段函数，即交易费=可以忽略不计，这样购买的净收益为而题目所给定的定值(单位:元)相对总投资M很小,

更小，目标函数

约束条件模型1

固定风险水平，优化收益约束条件：目标函数：实验3.1线性规划3、模型简化(1)在实际投资中，投资者承受风险程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险

可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

(2)若投资者希望总盈利至少达到水平以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2

固定盈利水平，极小化风险目标函数：约束条件：实验3.1线性规划目标函数：

模型3

约束条件：实验3.1线性规划(3)投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。

因此对风险、收益赋予权重

称为投资偏好系数。4、模型求解

模型1实验3.1线性规划

由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.'),axis([00.100.5])holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')↙实验3.1线性规划部分计算结果如下：a=0.0030x=0.49490.12000.20000.05450.1154Q=0.1266a=0.0060x=0.00000.24000.40000.10910.2212Q=0.2019a=0.0080x=0.00000.32000.53330.12710.0000Q=0.2112a=0.0100x=0.00000.40000.58430.00000.0000Q=0.2190a=0.0200x=0.00000.80000.18820.00000.0000Q=0.2518a=0.0400x=0.00000.99010.00000.00000.0000Q=0.2673生成图实验3.1线性规划5、结果分析(3)

曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。(2)

当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。(1)

风险越大，收益也越大。实验3.1线性规划(4)在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合。类似地,可解模型2和3.大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:

风险度收益

x0x1x2