《数学实验 第4版》课件 4.1 插值-修

1第四章数值分析

实验4.1插值

实验4.2离散数据的曲线拟合数学实验实验4.3MATLAB数值积分与微分实验4.4常微分方程的数值解2实验4.1插值一、拉格朗日（Lagrange）插值法二、分段线性插值三、三次样条插值四、应用举例3实验4.1插值一、拉格朗日（Lagrange）插值法实际应用中，经常遇到下面的问题：通过实验、测量等方法得到一些离散数据，这些数据从数学的角度可以看作是由某个函数产生的，如何利用这些数据来寻找这个函数满足要求精度，且相对简单的近似表达式呢？我们介绍以下三种方法：多项式插值、分段线性插值、三次样条插值.4这时我们称为插值函数,为插值节点.作为的近似表达式,使满足的一组测量数据设函数,要寻求一个函数1.拉格朗日插值多项式在我们所学的函数类型中，多项式相对比较简单，用多项式作为插值函数是常用的方法，也称为多项式插值法.实验4.1插值5利用上述方法求n次插值多项式计算比较麻烦，由插值多项式的唯一性，无论用什么方法，由n+1个节点确定的n次插值多项式都是相同的.当n+1个节点互不相同时，由线性代数的知识，方程组(3)唯一确定

的一组系数

。由此可见,n+1个节点可以唯一确定一个n次插值多项式.实验4.1插值6比较方便的方法是构造一组基函数：（4）(5)令（6）就是满足条件(1)的n次插值多项式,称为n次Lagrange(拉格朗表示，即日)插值多项式，通常用（7）实验4.1插值72.多项式插值的误差估计关于可以证明有下列结论成立.(8)若

在

上连续，

在

内存在，若

是

上的

个互异节点，则插值多项式

，对任意点

，插值余项为其中

，且与

有关定理(9)实验4.1插值8实验4.1插值functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endy3.拉格朗日插值法的MATLAB实现把这个程序存盘起来，作拉格朗日插值计算时可以随时调用.编写拉格朗日插值法程序：注意:程序中n表示节点的个数，以数组x0,y0输入，m表示插值点的个数，以数组x输入.输出数组y为m个插值.9分别用n=8、10的等距分点进行多项式插值，例1绘制f(x)及插值多项式的图形.解x=[-1:0.25:1];y=1./(1+9*x.^2);x0=[-1:0.05:1];y0=lagrange(x,y,x0);plot(x0,y0,'r--')holdon,y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y1),holdoff↙在命令窗口输入：取区间[-1,1]的8等分点作为节点,实验4.1插值函数f(x)及插值多项式的图形如图4.1所示.10实验4.1插值图4.111取区间[-1,1]的10等分点作为节点,类似地可得f(x)及插值多项式,如图4.2所示.实验4.1插值图4.212一般总认为插值多项式的次数越高,逼近的精度越高.但事实上并非如此,由图4.1和图4.2可以看出，离零越远,近似效果越差,以致完全失真.这一现象被称为Runge现象.Runge现象表明,盲目采用提高插值多项式的次数的方法来减少误差是不可取的.因此,我们只有用缩短插值区间,分段进行插值来达到减少误差的目的.与f（x）的近似程度比较好，但当x实验4.1插值13实验4.1插值二、分段线性插值

分段线性插值,就是用连接彼此相邻两节点的直线段形成的折线作为插值函数.MATLAB对分段线性插值提供了插值函数,见下表.函数功能yi=interp1(x,y,xi)对节点(x,y)插值，求xi处的内插值.yi=interp1(x,y,xi,'method')采用指定的方法，对节点(x,y)插值，求xi处的内插值.14实验4.1插值用n=20的等距分点进行线插值，绘制f(x)及插值例2多项式的图形.在命令窗口输入：x=-1:0.1:1;y=1./(1+9*x.^2);xi=-1:0.1:1;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,'r-',xi,yi,'*')↙解利用plot函数检验插值效果，由图4.3可见，在[-1,1]内线性插值函数收敛于函数

f(x).15

一般地，线性插值函数都有良好的收敛性.数学、物理中用的特殊函数表,计算机绘图都采用了分段线性插值的原理.实验4.1插值图4.316三、三次样条插值

分段线性插值虽然有良好的收敛性,但是由于在节点处不光滑,实用上受到了一定的限制.下面介绍一种在实际应用中,常用的提高光滑度的方法:三次样条插值.(1)在每一个小区间上是三次多项式且则称S(x)为三次样条插值函数.若函数S(x)满足下列条件：给定[a,b]上的n+1个节点满足实验4.1插值17实验4.1插值其中为待定常数.由条件（2）共4n-2个条件，还需要再给两个条件，才能唯一确定一个三次样条插值函数.最常用的是增设边界条件:也称为自然条件.18实验4.1插值在MATLAB中三次样条插值函数为：yi=interp1(x,y,xi,'spline'),

或yi=spline(x,y,xi)其中变量的含义与分段线性插值相同.19例3在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度为(摄氏度)12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推测在每1s时的温度，并描绘温度曲线.在命令窗口输入：解t=0:2:24;T=[129910182428272520181513];plot(t,T,'*')ti=0:1/3600:24;T1i=interp1(t,T,ti);holdon,plot(ti,T1i)T2i=interp1(t,T,ti,'spline');holdon,plot(ti,T2i,'r-')↙实验4.1插值20输入不同的时刻ti便可得到相应的温度值Ti.利用线性插值方法描绘的温度曲线，如图4.4所示.通过图上两条曲线比较可以看出,三次样条插值函数在整个区间上有较好的收敛性;光滑性比分段线性插值有较大的提高,因此应用比较广泛.缺点是误差估计比较困难.这正像我们的人生在发扬优点修正错误中不断砥砺前行.图4.4实验4.1插值21四、应用举例数据加细问题在机械制造加工中,经常遇到数据加细的问题.例如，在现代机械工业中，用计算机程序控制加工机器零件时，根据设计可以给出零件外形曲线上某些点，加工时为控制每步刀的走向及步长就要算出零件外形曲线上其他点的函数值，加工出外表光滑的零件，这就涉及到数据加细的问题.例4

在飞机的机翼加工时，由于机翼尺寸很大，通常在图纸上只能标出部分关键点的数据.某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下：实验4.1插值x0.004.749.0519.0038.0057.0076.0095.00114.00133.00152.00171.00190.00y0.005.238.1011.9716.1517.1016.3414.6312.166.697.033.990.00对表中的数据进行细化，并画出机翼的上轮廓线.22解输入：x=[0.004.749.0519.0038.0057.0076.0095.00114.00133.00152.00171.00190.00];y=[0.005.238.1011.9716.1517.1016.3414.6312.169.697.033.990.00];xi=[0:0.001:190];yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi)↙实验4.1插值机翼的上轮廓线，如图所示.图4.523实验4.1插值例5

天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值与日期的一组历史数据如下所示,试推断何时金星与地球的距离(米)的对数值为9.9352.日期:18202224262830距离对数:9.96189.95449.94689.93919.93129.92329.9150解由于对数值9.9352位于24和26两天所对应的对数值之间,所以对上述数据用三次样条插值加细为步长为1的数据,输入:x=[18:2:30];y=[9.96189.95449.94689.93919.93129.92329.9150];xi=[18:1:30];yi=interp1(x,y,xi,'spline')；A=[xi;yi]↙24经三次样条插值推断，25日时金星与地球的距离(米)的对数值为9.9352.A=18.000019.000020.000021.000022.000023.000024.0