《数学实验 第4版》课件 9.3 传染病模型

1第九章综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型2实验9.3传染病模型一、问题描述二、模型准备实验9.3

传染病模型三、模型假设四、模型构成与求解五、模型检验与改进3实验目的一、问题描述利用已经掌握的数据资料,建立适当的数学模型，研究传染病,通过本实验了解如何对较复杂的问题进行数学建模，如何对模型进行改进，以及如何利用MATLAB软件求解常微分方程模型.实验9.3

传染病模型对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失.并需要对数学模型进行一定的比较分析和评价展望.4二、模型准备这是涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.

描述传染病的传播过程.

分析受感染人数的变化规律.

预报传染病高潮到来的时刻.

预防传染病蔓延的手段.实验9.3

传染病模型5三、模型假设1）在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移.2）时间以天为计量单位.3）假设时刻t已感染者（infective，以下简称病人）人数比例为i(t)，并假设i(t)是连续、可微函数.实验9.3

传染病模型4）每个病人每天有效接触(足以使人致病)平均人数为常数λ，称为日接触率.6实验9.3

传染病模型四、模型构成与求解模型一考察t到t+△t病人人数的增加，就有：方程两边同时除以△t，并设t=0时，病人比例是即得微分方程分离变量直接可得微分方程的解析解7从模型中不难看出时，有.不符合实际情况，需要修改模型增加假设：实验9.3

传染病模型五、模型检验与改进模型二（SI模型）区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)时刻t易感染者（susceptible，以下简称健康者）人数比例为s(t)，于是有8实验9.3

传染病模型方程两边同时除以△t得又因为即得微分方程解得称为Logistic模型，也叫阻滞增长模型9的图形：设λ=1，

i0=0.02，用MATLAB作出>>t=0:0.1:10;i=1./(1+(1/0.02-1).*exp(-t));plot(t,i)axisongridonxlabel('t')ylabel('i')↙实验9.3

传染病模型10实验9.3

传染病模型的图形：设λ=1，

i0=0.02，用MATLAB作出>>i=0:0.01:1;di=i.*(1-i);plot(i,di)axisongridonxlabel('i')ylabel('di/dt')↙11实验9.3

传染病模型由图可知，当时，曲线达到拐点，于是达到最大值这个时刻为此时病人增加得最快，即传染病的高潮期，是医疗卫生部门关注的时刻.与λ成反比，表明降低日接触率可以推迟传染病高潮的到来.12实验9.3

传染病模型模型二中时，有.仍然不符合实际情况，需要修改模型.模型三（SIS模型）病人可以治愈！传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设：设病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为

，（

~日治愈率，1/

是这种传染病的平均传染期）方程两边同时除以△t得13实验9.3

传染病模型mls/=

~

日接触率1/

~传染期

~

一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.解得14实验9.3

传染病模型可见时，有利用MATLAB可以作出和和的图形分别如下：15实验9.3

传染病模型接触数

=1~

阈值传染期内日接触率不超过日治愈率的缘故模型二(SI模型)如何看作模型三(SIS模型)的特例,

=0.

>1di/dt先增后减,说明传染速度先增后减i(t)单调下降,最终趋于0

>1,i0<1-1/

di/dt>0,说明i(t)单调增加

>1,i0>1-1/

di/dt<0,说明i(t)单调减少16实验9.3

传染病模型模型四（SIR模型）传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称为移出者（removed）.1.模型构成增加假设：时刻t移出者（removed）人数比例为r(t)，则又17则得方程两边同时都除以△t，并设t=0时，病人、健康者、移出者的比例分别是

无法求出的解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质实验9.3

传染病模型182.模型求解实验9.3

传染病模型(1)数值计算法在上述方程组中令设λ=1，μ=0.3，i0=0.02，s0=0.98，用MATLAB软件编程：①编写函数文件ill.mfunctiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];19②计算i(t)，s(t)的数值>>ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)↙i(t)和s(t)的部分数值计算结果t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398实验9.3

传染病模型20实验9.3

传染病模型③绘制i(t)~t和s(t)~t的图形>>plot(t,x(:,1),t,x(:,2),’--’)gridon↙输出图中实线、虚线分别为i(t)~t和s(t)~t的曲线.i(t)从初值增长到最大；

t,i

0.s(t)单调减；

t,s

0.0398.96.02%的人变成了移出者.21实验9.3

传染病模型④绘制i~s曲线>>plot(x(:,2),x(:,1))gridon↙相轨线i(s)

随着t的增加，(s,i)沿轨线自右向左运动

P0点:i(0)=0.02，s(0)=0.98随着时间推延，健康者比例递减，病人比例先增后减，最后，二者之和越来越少，大部分变为移出者.22实验9.3

传染病模型(2)相轨线分析法利用相轨线讨论i(t)和s(t)的解析解的性质：消去dt相轨线相轨线i(s)的定义域实验9.3

传染病模型11siOD用MATLAB在D内做相轨线i(s)的图形，进行分析functioni=xiangguixian(s,s0,w)i0=1-s0;i=(s0+i0)-s+(1/w)*log(s/s0);编写函数文件xiangguixian.m2324取分别取s0=0.1,0.3,0.5,0.8,0.9来绘制相轨线:>>w=2;s0=0.1;s=0:0.001:0.1;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)axis([0,1,0,1])gridonholdons0=0.3;s=0:0.001:0.3;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)s0=0.5;s=0:0.001:0.5;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)实验9.3

传染病模型25实验9.3

传染病模型s0=0.8;s=0:0.001:0.8;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)s0=0.9;s=0:0.001:0.9;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)添加箭头为表示随着时间t的增加i(t)和s(t)的变化趋向s(t)单减

相轨线的方向26实验9.3

传染病模型t→∞时s(t)的极限值满足P4、P5:s0>1/

i(t)先升后降至0

传染病蔓延传染病不蔓延P1、P2:s0<1/

i(t)单调降至01/

~阈值s(t)都单调减小至27

的估计：忽略i0可以看到在SIR模型中接触数σ是一个重要参量，它可以由实际数据估计.实验9.3

传染病模型28实验9.3

传染病模型3.模型应用——群体免疫和预防

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低

(=

/

)

,

群体免疫29实验9.3

传染病模型

降低日接触率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最终未感染比例s

和病人比例最大值im为度量指标.

1/

s0i0s

im10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020030

1/

s0i0s

im10.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200

,

s0

(r0

)s

,im

s

,im

实验9.3

传染病模型31小结：传染病模型模型一模型二(SI)模型三(SIS)模型四(SIR)区分病人和健康人考虑治愈模型三、

四:描述传播过程,分析变化规律,

预报高潮时刻,预防蔓延手段.模型四:数值计算与理论分析相结合.实验9.3

传染病模型32无论是面对2003年的ＳＡＲＳ，还是应对近几年的新冠疫情，我们的党和国家都凸显了以人民为中心的理念，在科学模型指导下，制定英明的抗疫政策：一方面，政府采取强有力的隔离措施，阻断了传染源，降低感染率；同时积极研制疫苗，控制了疫情，最大程度减少了民众伤亡。通过对数学模型精益求精的不断修正和完善，我们得