中考压轴题,动点,探究规律含详细答案及解析

...wd......wd......wd...2015年05月22日规律&动点&选填一．选择题〔共12小题〕1．〔2014•绍兴〕将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是〔〕A．B．C．D．2．〔2014•重庆〕如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，假设∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是〔〕A．30°B．45°C．60°D．70°3．〔2014•重庆〕以以以下图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是〔〕A．22B．24C．26D．284．〔2014•重庆〕如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=〔k≠0〕在第一象限的图象经过顶点A〔m，2〕和CD边上的点E〔n，〕，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G〔0，﹣2〕，则点F的坐标是〔〕A．〔，0〕B．〔，0〕C．〔，0〕D．〔，0〕5．〔2014•重庆〕如图，以以以下图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第〔1〕个图形中面积为1的正方形有2个，第〔2〕个图形中面积为1的正方形有5个，第〔3〕个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第〔6〕个图形中面积为1的正方形的个数为〔〕A．20B．27C．35D．406．〔2014•舟山〕如以以以下图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，假设HG延长线恰好经过点D，则CD的长为〔〕A．2cmB．2cmC．4cmD．4cm7．〔2014•台州〕如上中图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影局部图形的面积与四边形EMCN的面积之比为〔〕A．4：3B．3：2C．14：9D．17：98．〔2014•湖州〕在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，以下四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线〔箭头表示行进的方向〕，则路程最长的行进路线图是〔〕A．B．C．D．9．〔2014•台湾〕如上右图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．假设CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何〔〕A．16B．24C．36D．5410．〔2014•宜宾〕如图，将n个边长都为2的正方形按如以以下图摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠局部的面积之和是〔〕A．nB．n﹣1C．〔〕n﹣1D．n11．〔2014•凉山州〕以以以下图形中阴影局部的面积相等的是〔〕A．②③B．③④C．①②D．①④12．〔2014•内江〕如图，A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共4小题〕14．〔2014•重庆〕在一个不透明的盒子里装着4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余完全一样，搅匀后从盒子里随机取出1个小球，将小球上的数字作为a的值，则使关于x的不等式组只有一个整数解的概率为．15．〔2014•台州〕有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，屡次重复进展这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn=〔用含字母x和n的代数式表示〕．16．〔2014•宜宾〕规定：sin〔﹣x〕=﹣sinx，cos〔﹣x〕=cosx，sin〔x+y〕=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断以下等式成立的是〔写出所有正确的序号〕①cos〔﹣60°〕=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin〔x﹣y〕=sinx•cosy﹣cosx•siny．三．解答题〔共13小题〕17．〔2014•重庆〕为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会发动居民自愿集资建设一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一局部用于购置书桌、书架等设施，另一局部用于购置书刊．〔1〕筹委会方案，购置书刊的资金不少于购置书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购置书桌、书架等设施〔2〕经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的根基上增加了a%〔其中a＞0〕．则每户平均集资的资金在150元的根基上减少了a%，求a的值．18．〔2014•新疆〕如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2〔千米〕与行驶时间x〔小时〕之间的函数关系图象．〔1〕填空：A，B两地相距千米；〔2〕求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；〔3〕客、货两车何时相遇19．〔2014•舟山〕实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x可近似地用反比例函数y=〔k＞0〕刻画〔如以以下图〕．〔1〕根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量到达最大值最大值为多少②当x=5时，y=45，求k的值．〔2〕按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班请说明理由．20．〔2014•台州〕如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后翻开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC〔结果准确到1m〕．21．〔2014•宁波〕用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪〔裁剪后边角料不再利用〕．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．〔1〕用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；〔2〕假设裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子22．〔2014•新疆〕如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停顿运动，另一个点也随之停顿运动，连接PQ，设运动时间为t〔s〕〔0＜t≤3〕．〔1〕写出A，B两点的坐标；〔2〕设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大〔3〕当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．23．〔2014•温州〕如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为〔﹣3，0〕，〔0，6〕．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．〔1〕当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；〔2〕当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；〔3〕在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②假设点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部〔不包括边界〕时，直接写出S的取值范围．24．〔2014•重庆〕如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停顿运动，设运动时间为t秒．〔1〕求线段AC的长；〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠局部的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；〔3〕当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α〔0°＜α＜360°〕，在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形假设存在，请求出CM的长度；假设不存在，请说明理由．25．〔2014•温州〕勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法〞给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法〞来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a〔b﹣a〕∴b2+ab=c2+a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结∵S五边形ACBED=又∵S五边形ACBED=∴∴a2+b2=c2．26．〔2014•宁波〕课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．〔1〕请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；〔假设两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种〕〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；〔3〕如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．27．〔2014•舟山〕类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形〞．〔1〕：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形〞，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．〔2〕在探究“等对角四边形〞性质时：①小红画了一个“等对角四边形〞ABCD〔如图2〕，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜测：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等〞．你认为她的猜测正确吗假设正确，请证明；假设不正确，请举出反例．〔3〕：在“等对角四边形〞ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．28．〔2014•内江〕如图，在△ABC中，D是BC边上的点〔不与点B、C重合〕，连结AD．问题引入：〔1〕如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=〔用图中已有线段表示〕．探索研究：〔2〕如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点〔不与点A、D重合〕，连结BO、CO，试猜测S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：〔3〕如图③，O是线段AD上一点〔不与点A、D重合〕，连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜测++的值，并说明理由．29．〔2014•凉山州〕实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n，可以发现．2×[1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n]=[1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n]+[n+〔n﹣1〕+〔n﹣2〕+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n〔n+1〕，于是得到1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n=n〔n+1〕这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n〔n+1〕以下用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n〔n+1〕=300整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=﹣25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料答复以下问题：〔1〕三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．〔2〕如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．2015年05月22日规律&动点&选填参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题〕1．〔2014•绍兴〕将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是〔〕A．B．C．D．解答：解：由题意要求知，展开铺平后的图形是B．应选：B．2．〔2014•重庆〕如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，假设∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是〔〕A．30°B．45°C．60°D．70°分析：先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．应选：C．3．〔2014•重庆〕以以以下图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是〔〕A．22B．24C．26D．28解答：解：第一个图形有2+6×0=2个三角形；第二个图形有2+6×1=8个三角形；第三个图形有2+6×2=14个三角形；…第五个图形有2+6×4=26个三角形；应选：C．4．〔2014•重庆〕如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=〔k≠0〕在第一象限的图象经过顶点A〔m，2〕和CD边上的点E〔n，〕，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G〔0，﹣2〕，则点F的坐标是〔〕A．〔，0〕B．〔，0〕C．〔，0〕D．〔，0〕分析：由A〔m，2〕得到正方形的边长为2，则BC=2，所以n=2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2•m=〔2+m〕，解得m=1，则E点坐标为〔3，〕，然后利用待定系数法确定直线GF的解析式为y=x﹣2，再求y=0时对应自变量的值，从而得到点F的坐标．解答：解：∵正方形的顶点A〔m，2〕，∴正方形的边长为2，∴BC=2，而点E〔n，〕，∴n=2+m，即E点坐标为〔2+m，〕，∴k=2•m=〔2+m〕，解得m=1，∴E点坐标为〔3，〕，设直线GF的解析式为y=ax+b，把E〔3，〕，G〔0，﹣2〕代入得，解得，∴直线GF的解析式为y=x﹣2，当y=0时，x﹣2=0，解得x=，∴点F的坐标为〔，0〕．应选：C．5．〔2014•重庆〕如图，以以以下图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第〔1〕个图形中面积为1的正方形有2个，第〔2〕个图形中面积为1的正方形有5个，第〔3〕个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第〔6〕个图形中面积为1的正方形的个数为〔〕A．20B．27C．35D．40分析：第〔1〕个图形中面积为1的正方形有2个，第〔2〕个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第〔3〕个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1=，进一步求得第〔6〕个图形中面积为1的正方形的个数即可．解答：解：第〔1〕个图形中面积为1的正方形有2个，第〔2〕个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第〔3〕个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+〔n+1〕=个，则第〔6〕个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．应选：B．6．〔2014•舟山〕如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，假设HG延长线恰好经过点D，则CD的长为〔〕A．2cmB．2cmC．4cmD．4cm分析：先证明EG是△DCH的中位线，继而得出DG=HG，然后证明△ADG≌△AHG，得出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，在Rt△ABH中，可求出AB，也即是CD=AB=2应选：B点评：此题考察了翻折变换、三角形的中位线定理，解答此题的关键是判断出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，注意熟练掌握翻折变换的性质．7．〔2014•台州〕如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影局部图形的面积与四边形EMCN的面积之比为〔〕A．4：3B．3：2C．14：9D．17：9分析：首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．图中阴影局部图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：=．应选：C．8．〔2014•湖州〕在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，以下四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线〔箭头表示行进的方向〕，则路程最长的行进路线图是〔〕A．B．C．D．分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进展对比，即可判断．解答：解：A、延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．综上所述，D选项的所走的线路最长．应选：D．9．〔2014•台湾〕如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．假设CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何〔〕A．16B．24C．36D．54解答：解：S△ADC=S△AGC﹣S△ADG=×AG×BC﹣×AG×BF=×8×〔6+9〕﹣×8×9=60﹣36=24．应选：B．10．〔2014•宜宾〕如图，将n个边长都为2的正方形按如以以下图摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠局部的面积之和是〔〕A．nB．n﹣1C．〔〕n﹣1D．n解答：解：由题意可得一个阴影局部面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠局部〔阴影局部〕的面积和为：1×〔n﹣1〕=n﹣1．应选：B．11．〔2014•凉山州〕以以以下图形中阴影局部的面积相等的是〔〕A．②③B．③④C．①②D．①④解答：②③的面积相等，应选：A．12．〔2014•内江〕如图，A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为〔〕A．B．C．D．分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．解答：解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，∴依题意得：B1〔1，2〕，B2〔2，4〕，B3〔3，6〕，…，Bn〔n，2n〕∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，∴=，∴△A1B1P1与△A2B2P1对应高的比为：1：2，∵A1A2=1，∴A1B1边上的高为：，∴=××2=，同理可得：=，=，∴Sn=．应选：D．二．填空题〔共3小题〕14．〔2014•重庆〕在一个不透明的盒子里装着4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余完全一样，搅匀后从盒子里随机取出1个小球，将小球上的数字作为a的值，则使关于x的不等式组只有一个整数解的概率为．解答：解：∵不等式组只有一个整数解，∴〔a+2〕﹣〔2a﹣1〕=1，解得a=2，∴P=．故答案为：．15．〔2014•台州〕有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，屡次重复进展这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn=〔用含字母x和n的代数式表示〕．解答：解：将y1=代入得：y2==；将y2=代入得：y3==，依此类推，第n次运算的结果yn=．故答案为：．16．〔2014•宜宾〕规定：sin〔﹣x〕=﹣sinx，cos〔﹣x〕=cosx，sin〔x+y〕=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断以下等式成立的是②③④〔写出所有正确的序号〕①cos〔﹣60°〕=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin〔x﹣y〕=sinx•cosy﹣cosx•siny．解答：解：①cos〔﹣60°〕=cos60°=，命题错误；②sin75°=sin〔30°+45°〕=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=×+×=+=，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx=2sinx•cosx，命题正确；④sin〔x﹣y〕=sinx•cos〔﹣y〕+cosx•sin〔﹣y〕=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．故答案为：②③④．三．解答题〔共13小题〕17．〔2014•重庆〕为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会发动居民自愿集资建设一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一局部用于购置书桌、书架等设施，另一局部用于购置书刊．〔1〕筹委会方案，购置书刊的资金不少于购置书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购置书桌、书架等设施〔2〕经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的根基上增加了a%〔其中a＞0〕．则每户平均集资的资金在150元的根基上减少了a%，求a的值．解答：解：〔1〕设用于购置书桌、书架等设施的为x元，则购置书籍的有〔30000﹣x〕元，根据题意得：30000﹣x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元购置书桌、书架等设施；〔2〕根据题意得：200〔1+a%〕×150〔1﹣a%〕=20000整理得：a2+10a﹣3000=0，解得：a=50或a=﹣60〔舍去〕，所以a的值是50．18．〔2014•新疆〕如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2〔千米〕与行驶时间x〔小时〕之间的函数关系图象．〔1〕填空：A，B两地相距440千米；〔2〕求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；〔3〕客、货两车何时相遇解答：解：〔1〕填空：A，B两地相距：360+80=440千米；〔2〕由图可知货车的速度为80÷2=40千米/小时，货车到达A地一共需要2+360÷40=11小时，设y2=kx+b，代入点〔2，0〕、〔11，360〕得，解得，所以y2=40x﹣80；〔3〕设y1=mx+n，代入点〔6，0〕、〔0，360〕得解得，所以y1=﹣60x+360由y1=y2得，40x﹣80=﹣60x+360解得x=4.4答：客、货两车经过4.4小时相遇．19．〔2014•舟山〕实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x可近似地用反比例函数y=〔k＞0〕刻画〔如以以下图〕．〔1〕根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量到达最大值最大值为多少②当x=5时，y=45，求k的值．〔2〕按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班请说明理由．解答：解：〔1〕①y=﹣200x2+400x=﹣200〔x﹣1〕2+200，∴x=1时血液中的酒精含量到达最大值，最大值为200〔毫克/百毫升〕；②∵当x=5时，y=45，y=〔k＞0〕，∴k=xy=45×5=225；〔2〕不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=，则y=＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．20．〔2014•台州〕如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后翻开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC〔结果准确到1m〕．解答：解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97，∴≈0.97，解得：DE=1552〔m〕，sin15°=≈0.26，∴≈0.26，解得；AE=416〔m〕，∴DF=500﹣416=84〔m〕，∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27，∴≈0.27，解得：BF=22.68〔m〕，∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575〔m〕，答：他飞行的水平距离为1575m．21．〔2014•宁波〕用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪〔裁剪后边角料不再利用〕．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．〔1〕用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；〔2〕假设裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子分析：〔1〕由x张用A方法，就有〔19﹣x〕张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；〔2〕由侧面个数和底面个数比为3：2建设方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．解答：解：〔1〕∵裁剪时x张用A方法，∴裁剪时〔19﹣x〕张用B方法．∴侧面的个数为：6x+4〔19﹣x〕=〔2x+76〕个，底面的个数为：5〔19﹣x〕=〔95﹣5x〕个；〔2〕由题意，得，解得：x=7，经检验，x=7是原分式方程的解，∴盒子的个数为：=30．答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．22．〔2014•新疆〕如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停顿运动，另一个点也随之停顿运动，连接PQ，设运动时间为t〔s〕〔0＜t≤3〕．〔1〕写出A，B两点的坐标；〔2〕设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大〔3〕当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．解答：解：〔1〕令y=0，则﹣x+8=0，解得x=6，x=0时，y=y=8，∴OA=6，OB=8，∴点A〔6，0〕，B〔0，8〕；〔2〕在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t，∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=〔10﹣t〕×=〔10﹣t〕，∴△AQP的面积S=×2t×〔10﹣t〕=﹣〔t2﹣10t〕=﹣〔t﹣5〕2+20，∵﹣＜0，0＜t≤3，∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣〔3﹣5〕2+20=；〔3〕假设∠APQ=90°，则cos∠OAB=，∴=，解得t=，假设∠AQP=90°，则cos∠OAB=，∴=，解得t=，∵0＜t≤3，∴t的值为，此时，OP=6﹣2×=，PQ=AP•tan∠OAB=〔2×〕×=，∴点Q的坐标为〔，〕，综上所述，t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为〔，〕．23．〔2014•温州〕如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为〔﹣3，0〕，〔0，6〕．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．〔1〕当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；〔2〕当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；〔3〕在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②假设点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部〔不包括边界〕时，直接写出S的取值范围．分析：〔1〕由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，〔2〕连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．〔3〕当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围，解答：解：〔1〕∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=OB=3，∴2t=3即t=，∴OE=+3=，E〔，0〕；〔2〕如图，连接CD交OP于点G，在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，∵AO=PE，∴AG=EG，∴四边形ADEC是平行四边形．〔3〕①〔Ⅰ〕当点C在BO上时，第一种情况：如图，当点M在CE边上时，∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO，∴=，即=，∴t=1，第二种情况：当点N在DE边时，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD，∴=，即=，∴t=，〔Ⅱ〕当点C在BO的延长线上时，第一种情况：当点M在DE边上时，∵MF∥PD，∴△EMF∽△EDP，∴=即=，∴t=，第二种情况：当点N在CE边上时，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC，∴=即=，∴t=5．②＜S≤或＜S≤20．当1≤t＜时，S=t〔6﹣2t〕=﹣2〔t﹣〕2+，∵t=在1≤t＜范围内，∴＜S≤，当＜t≤5时，S=t〔2t﹣6〕=2〔t﹣〕2﹣，∴＜S≤20．24．〔2014•重庆〕如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停顿运动，设运动时间为t秒．〔1〕求线段AC的长；〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠局部的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；〔3〕当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α〔0°＜α＜360°〕，在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形假设存在，请求出CM的长度；假设不存在，请说明理由．分析：〔1〕利用平行四边形性质、勾股定理，求出DH、CH的长度，可以判定△ACD为等腰三角形，则AC=AD=7；〔2〕首先证明点G始终在直线AB上，然后分析运动过程，求出不同时间段内S的表达式：①当0≤t≤时，如答图2﹣1所示，等边△EFG在△内部；②当＜t≤4时，如答图2﹣2所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上；③当4＜t≤7时，如答图2﹣3所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上．〔3〕因为∠MCN为等腰三角形的底角，因此只可能有两种情形：①假设点N为等腰三角形的顶点，如答图3﹣1所示；②假设点M为等腰三角形的顶点，如答图3﹣2所示．解答：解：〔1〕∵▱ABCD，∴CD=AB=4．在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH===2，∴CH=DH．∴AC=AD=7．〔2〕在运动过程中，AE=t，AF=3t，∴等边△EFG的边长EF=EG=GF=2t．如答图1，过点G作GP⊥AC于点P，则EP=EG=t，GP=EG=t．∴AP=AE+EP=2t．∴tan∠GAC===．∵tan∠BAC=tan∠ACH===，∴tan∠GAC=tan∠BAC，∴点G始终在射线AB上．设∠BAC=∠ACH=θ，则sinθ==，cosθ==．①当0≤t≤时，如答图2﹣1所示，等边△EFG在△内部．S=S△EFG=EF2=〔2t〕2=t2；②当＜t≤4时，如答图2﹣2所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上．过点B作BQ⊥AF于点Q，则BQ=AB•sinθ=4×=4，AQ=AB•cosθ=4×=8．∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．设BC与GF交于点K，过点K作KP⊥AF于点P，设KP=x，则PF==x，∴CP=CF﹣PF=3t﹣7﹣x．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=〔3t﹣7〕．∴S=S△EFG﹣S△CFK=t2﹣〔3t﹣7〕•〔3t﹣7〕=﹣t2+t﹣；③当4＜t≤7时，如答图2﹣3所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上．过点B作BQ⊥AF于点Q，则BQ=AB•sinθ=4×=4，AQ=AB•cosθ=4×=8．∴CQ=AQ﹣AC=8﹣7=1．设BC与GF交于点K，过点K作KP⊥AF于点P，设KP=x，则EP==x，∴CP=EP﹣CE=x﹣〔7﹣t〕=x﹣7+t．∵PK∥BQ，∴，即，解得：x=〔7﹣t〕．∴S=S△CEK=〔7﹣t〕•〔7﹣t〕=t2﹣t+．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=．〔3〕设∠ACH=θ，则tanθ===，cosθ==．当点E与点C重合时，t=7，∴等边△EFG的边长=2t=14．假设存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，①假设点N为等腰三角形的顶点，如答图3﹣1所示，则∠NMC=∠MCN=θ．过点C作CP⊥F′M于点P，则CP=CF′=7．∴PM===14．设CN=MN=x，则PN=PM﹣MN=14﹣x．在Rt△CNP中，由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：〔7〕2+〔14﹣x〕2=x2，解得：x=．过点N作NQ⊥CM于点Q，∴CM=2CQ=2CN•cosθ=2××=7；②假设点M为等腰三角形的顶点，如答图3﹣2所示，则∠MNC=∠MCN=θ．过点C作CP⊥G′N于点P，则CP=CF′=7．∴PN===14．设CM=MN=x，则PM=PN﹣MN=14﹣x．在Rt△CMP中，由勾股定理得：CP2+PM2=CM2，即：〔7〕2+〔14﹣x〕2=x2，∴CM=x=．综上所述，存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形，CM的长度为7或．25．〔2014•温州〕勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法〞给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法〞来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a〔b﹣a〕∴b2+ab=c2+a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴ab+b2+ab=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴a2+b2=c2．解答：证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴ab+b2+ab=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴a2+b2=c2．点评：此题主要考察了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．26．〔2014•宁波〕课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．〔1〕请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；〔假设两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种〕〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；〔3〕如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．分析：〔1〕45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．〔2〕用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．〔3〕因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．解答：解：〔1〕如图2作图，〔2〕如图3①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°；〔3〕如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=〔x+y〕：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．27．〔2014•舟山〕类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形〞．〔1〕：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形〞，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．〔2〕在探究“等对角四边形〞性质时：①小红画了一个“等对角四边形〞ABCD〔如图2〕，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜测：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等〞．你认为她的猜测正确吗假设正确，请证明；假设不正确，请举出反例．〔3〕：在“等对角四边形〞ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．分析：〔1〕利用“等对角四边形〞这个概念来计算．〔2〕①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图；〔3〕〔Ⅰ〕当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；〔Ⅱ〕当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．解答：解：〔1〕如图1∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；〔2〕①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠AB