山东省滕州市2024−2025学年高二上学期10月单元过关考试 数学试题含答案

山东省滕州市2024−2025学年高二上学期10月单元过关考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若原点在直线l上的射影是点P(－2,1)，则直线l的方程为（

）A．x＋2y＝0 B．y－1＝－2(x－2) C．y＝2x＋5 D．y＝2x＋32．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（

）A． B．C． D．3．已知直线，若，则的值为（

）A． B．－4 C．4 D．4．已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（

）A．5 B．6 C． D．5．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（

）A． B． C． D．27．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（

）A． B．1 C． D．8．分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法错误的是（

）A．若直线与直线互相垂直，则B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为10．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，正确的是（

）

A．① B．②C．③ D．均不正确11．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（

）A．当时，平面B．当时，存在唯一的点，使得与直线的夹角为C．当时，长度的最小值为D．当时，与平面所成的角不可能为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，，若，，三向量共面，则．13．已知，直线与线段AB有公共点，则直线的斜率取值范围为14．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点P的坐标为，点在直线OP上的射影M点的坐标为.四、解答题（本大题共5小题）15．根据下列条件，求直线的一般方程：(1)过点且与直线平行的直线方程；(2)若，的角平分线所在直线方程.16．把直线看作是动点的轨迹（集合），利用坐标法描述动点P的特征，其中为直线的法向量，使直线有了代数表达形式，即直线的方程.(1)类比此思想与方法，在空间直角坐标系下，若、、，求平面的方程.(2)求点到平面的距离.17．如图所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E为AB的中点，将梯形沿折起得到如图所示的四棱锥，使得．在棱CD上是否存在一点Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出点Q的位置，若不存在，请说明理由.

18．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面，.

(1)若点为EF的中点，求平面APB与BFC的交线与平面ABCD所成的角正弦值(2)点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.19．请根据如下准备知识，解决相应的问题.①向量的数乘:规定实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：.当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.特别地，是一个与方向相同的单位向量.②向量的内积：，其中为两向量的夹角.对于平面向量，若，则.特别地，，即向量的模等于它同与它同方向的单位向量的内积.③平面内直线的法向量为，如图1所示.④平面内点关于直线对称的基本特征：若点关于直线的对称点为，有两点连线与直线垂直，且点到直线的距离相等，即，如图2所示.(1)平面内，求点Px0,y0关于直线对称点(2)请你用上面所得的结论解决如下两个问题:①求点关于直线的对称点坐标.②，直线过点，为直线上的动点，若的最小值为，求直线的方程.

参考答案1．【答案】C【详解】∵直线的斜率为，又，∴直线的斜率为2，∴直线的点斜式方程为，化简，得，故选C.2．【答案】C【详解】在四面体中,是的中点,是的中点故选:C.3．【答案】B【解析】由可得解得，然后再检验,得出答案.【详解】因为，所以.当时，两直线重合，所以舍去.当时，符合题意.所以.故选：B4．【答案】C【详解】解：由题得.故选：C5．【答案】B【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，，，且则,,,四点共面等价于若x=2，，，则，所以,,,四点共面若,,,四点共面，则，不能得到x=2，，所以x=2，，是,,,四点共面的充分不必要条件故选B.6．【答案】D【解析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作则，沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．可得：故由得故选：D.7．【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴点A到直线BC的距离为：d＝＝1×＝．故选A.【方法总结】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角.8．【答案】C【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：

设为异面直线与的公垂线段，则，所以设异面直线与的公垂线的方向向量为，则有，则有，取，则则异面直线与的距离.故选：C.9．【答案】ACD【解析】．根据直线垂直的等价条件进行判断，．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．．过原点的直线也满足条件．【详解】解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误，．直线的斜率，则，即，则，故正确，．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误，．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误，故选：．10．【答案】AB【详解】

如图：取的中点为，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点，由正方体中平面，平面，所以，又因为，，所以平面，即，所以，同理可证，则，，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，对于，，由，则，则，所以，所以正确；对于，因为，则平面的一个法向量为，又有，令，即，即存在点，使得平面，所以正确；对于，，令，整理得：，该方程无实数解，所以不存在点，使得，所以错误.故选：AB.11．【答案】ACD【详解】A选项：当时，的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；B选项：当时，点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；C选项：当时，点轨迹为线段，到线段的距离为，长度的最小值为．故C正确；D选项：当时，点轨迹为线段，过点做垂直平面于点，则在线段上，为直线与平面所成角，若，则，又点到线段上点的最小距离为，不存在，所以与平面所成角不可能为，故D正确．故选：ACD．12．【答案】5【解析】利用共面向量基本定理列坐标关系，求解即可.【详解】，，三向量共面，则存在，使得，则，即，解得.故答案为：5.13．【答案】【详解】由直线的方程可得，所以直线l过定点如图所示，，过点P且与x轴垂直的直线PC与线段AB相交，但此时直线l的斜率不存在，当直线l从直线PA转到与y轴平行的直线PC位置时（转动时以点P为定点），直线l的斜率从1开始趋向于正无穷，即；当直线l再由直线PC转到直线PB位置时（转动时以点P为定点），直线l的斜率从负无穷开始趋向于，并在PB位置时达到，即，所以直线l的斜率k的取值范围为，故答案为：14．【答案】【详解】点关于轴的对称点P的坐标为.因为在直线OP上，设，所以，所以，所以，所以，，又，所以，解得：.所以.故答案为：；.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，把点代入，得，解得，∴所求直线方程为.（2）∵，∴，，设的角平分线所在直线的斜率为，则，解得或，由图可知，所以.∵的角平分线所在直线过点，∴直线方程为，即，∴的角平分线所在直线方程为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1），，设为平面的法向量，则有，令，则有，，即，则平面的方程为：，即；（2）由题可得，平面的法向量为，且过点，则有，则点到平面的距离.17．【答案】存在Q，点Q是CD的中点【详解】存在Q，点Q是CD的中点，其理由如下：因为是梯形，所以且,所以四边形是正方形，所以,而，，所以，所以，因为是梯形的高，所以由，，在平面内相交于点，所以平面，如图，以O为坐标原点，OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.，B1,0,0，，，因为E为PB的中点，所以E1设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，由三点共线，设，，又PQ//平面CEF，所以，即在棱CD上是存在一点Q，使得PQ//平面CEF，此时Q是CD的中点.

18．【答案】(1)(2)求的最小值为.【详解】（1）在梯形中，∵，，∴，∴，∴，∴，又因为平面，建立分别以直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示，则,平面ABCD的法向量为，，将图形放入如图所示的直四棱柱中，过点作的平行线与交于点，连接，因为，所以五点共面，平面即为平面，所以平面APB与BFC的交线即为，，，，，设交线与平面ABCD所成的角为，.平面APB与BFC的交线与平面ABCD所成的角正弦值为.

（2）由（1）可令，则,∴,,设为平面的一个法向量，由得，取则，∵是平面的一个法向量,∴∵,∴当时，有最大值．∴的最小值为

19．【答案】(1)(2)①；②或.【详解】（1）由准备知识③，直线的法向量为，其中.由准备知识①，是一个与方向相同的单位向量.（i）当时，直线斜率为.设点Px0,y0关于直线是线段的中点，由预备知识④，则．如图3，当点Px0,由，且与方向相同，设.由点到直线的距离公式，得，由准备知识②，可得,所以.如图，由点在直线上方，设直线上与点横坐标相同的点，则，因为，所以，故，由，又，所以则，将式代入可得．如图4，当点在直线的下方时，取直线的一个法向量，则，且与也方向相同，设.同理可得，如图，由点在直线下方，设直线上与点横坐标相同的点，则，因为，所以，故，由又，所以则，将式代入可得.当在直线上时，则，则点关于直线的对称点即点本身，即，也满足.综上，当时，点Px0,y0关于直线的对称点.（ii）当时，同理可证，上述公式也成立．（iii）当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时点关于直线的对称点坐标为也适合公式．（iv）当时，则方程即方程，.则由以上分析可应