应用随机过程习题参考答案

《应用随机过程》参考答案SolutionManualforAppliedStochasticProcess方杰2024年7月12日目录第一章预备知识1第二章离散时间马氏链5第三章可数状态马氏链29第四章泊松过程35第五章连续时间马氏链56第六章布朗运动71第一章 预备知识XP(Xkp(1p)k−1,k12求随机变量X的期望和方差。解答：∞ ∞ ∞EX=、k·P(X=k)=、kp(1−p)k−1=p、k(1−p)k−1k=1k=1k=1对上式中的寸k=1k(1−p)k−1关于p求积分，可得：k=1k=1k=1∞p−、(1−p)k=1−1∞pk=1部分习题讲解然后对上式关于p求微分，可得：部分习题讲解∞、k(1p)k−1（1−1＼′=1∞因此：

k=1

p p2EX=p·1=1接下来计算二阶矩如下：∞

p2 p∞EX2=、k2·P(X=k)=、k2p(1−p)k−1k=1∞

k=1∞p、k(k1)(1p)k−1p、k(1p)k−1k=1 k=1p寸k=1k(1−p)k−1=1/p对于前面EX2表达式的寸k=1k(k+1)(1−p)k−1关于p进行两次积分，可得：、 (1、 (1−(1 p) =p

2 1=p+p−2k=1然后对上式关于p进行两次微分，可得：∞、k(k+1)(1−p)k−1=lp+1−l′′=2∞因此：

k=1

p p3EX2=p·2−p·1=2−1从而：

p3

p2 pVar(X)=EX2−(EX)2=2

1 1=1−1=1−pp2−p−p2

p2 p p2■《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案PAGEPAGE2X的概率分布函数为：FX(x)=求：A和B

A+Bexpr−x21, x⩾02, x<02解答：根据概率分布函数的含义，我们可知：FX(0)=0, FX(∞)=1因此，我们可以得到如下方程组：A+B=0A+0=1X的概率密度函数为：

⇒A=1B=−1■■试求：系数A的取值.解答：由于

fX(x)=

Ax−x, x>00, x⩽0因此：

∞f(x)dx=1rX0rXrrX∞f(x)dx= ∞Axe−xdxrrXr0 0r=A ∞xe−xdx0e e =A(x+1)−x =A∞从而：A=1. ■x>0,y>0f(x,y)=求：A的值；P(X<1,Y<2)解答：由于

0 其他r∞r∞f(x,y)dxdy=10 0因此：r∞r∞f(x,y)dxdy=Ar∞e−ydyr∞e−xdx0 0 0 0e e e =A −x −y∞ ∞第一章预备知识第一章预备知识从而：A1.

P(X<1,Y<2)=

2 1rrdy f(x,y)dxrrrr0 0rr=yy2e−d=yy0 000 0

1e−dxx0xx=e−yI=e−yI·e−xI=(1−e−2)(1−e−1)■XλαGamma分布，即概率密度函数为：λαfX(x)=Γ(α)x

exp(−λx), x>0求随机变量X的期望、方差和矩母函数。解答：rXXM(t)=E(etX)= ∞etxfrXX0dx0=exΓ(α)exp(−λx)dxr0=exΓ(α)exp(−λx)dx00r∞λαr= xr −0 r −

llll

exp[−(λ−t)x]dx∞(λ t)α= x0

exp[−(λ−t)x]

λαdxd(λ−t)α=lλlαr∞(λ−t)α=

xα−1exp[−(λ−t)x]dxλ−t 0 Γ(α)rr∞由于rr∞因此：

fX(x)dx=0

∞λαx0 Γ(α)

exp(−λx)=1相应地：

MX(t)=

λαl lλ−tl ldMX(t)EX= ddt

=λα·α(λ−t)−α−1I

α =ItI=0

t=0 λ==d2MX(t)IE2 I αI

−α−2I

α(α+1)==因此：

X=

=λt=0

α(α+1)(λ−t)

It=0 λ2Var(X)=EX2−(EX)2=1[α2+α−α2]=αλ2 λ2■Xλ的泊松分布，即：P[X=n]=e−λ

λnn!, n=0,1,...求随机变量X的矩母函数和特征函数。《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案解答：根据矩母函数的定义，可得：、∞、MX(t)=E[etX]= etn·P(X=n)n=0∞n=0n!n、etn·e−λ∞n=0n!n=e−λ、=e−λ、(λe)n!n=0=e−λ·λet根据特征函数的定义，可得：

=expλ(et−1)l、∞、ϕX(t)=E[eitX]= eitn·P(X=n)n=0∞n=0n!n、eitn·e−λ∞n=0n!n=e=e−λ、(λe)n=0=−λ·eλeit

itnn!■■=expλ(eit−1)l■■第二章 离散时间马氏链部分习题讲解1.Y0Y1Y2011/2XnYnYn−1(n⩾1)(n1)n次1的个数。Xn是一个马氏链吗？部分习题讲解解答：举一个反例，若X1=Y1+Y0=2,X2=Y2+Y1=1，这意味着Y0=Y1=1,Y2=0，因此：P(X3=Y3+Y2=2|X2=1,X1=2)=0<P(X3=2|X2=1)=0.52.由此可见P(X3=2|X2=1,X1=2)̸=P(X3=2|X2=1)说明Xn不是马氏链。 ■2.考虑一个均匀的六面骰子，记Xn,n=1,2,...表示前n次投掷出的最大点数值。描述该问题的状态空间，并给出相应的转移概率矩阵。解答：由题意可知，此处的状态空间S={1,2,3,4,5,6}，并且显然：p(6,6)=P(Xn+1=6|Xn=6)=1同时，我们注意到，当j<i时：p(i,j)=P(Xn+1=j|Xn=i)=0由此可得，该问题的转移概率矩阵如下：1/61/61/61/61/31/61/61/61/61/61/61/61/31/61/61/601/21/61/6002/31/60005/600000P= 00

1/61/61/61/611■Xnn左边罐子中白球的个数。求Xn的转移概率及对应的转移概率矩阵。解答：假设左边罐子中原有白球x个，黑球(5−x)个；相应地，右边罐子中原有黑球x个，白球(5−x)个.(黑球)(黑球)x个；《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案PAGEPAGE22(x1)个；(x+1)个；1x4时，5525p(x,x)=（x·−x＼×2=2x(5−x)552555525=p(x,x−1)=x·x=1x255525=p(x,x+1)=

（5−x＼2

1−(5 x)2−25需要注意的是：若左边罐子中原有白球五个，则下一时刻，其白球数量必为4个；类似地，若原有白球0个，则下一时刻白球数量必为1个.即：p(0,1)=1, p(5,4)=1因此，可得最终的转移概率矩阵如下：10008/2516/25004/2512/259/25010008/2516/25004/2512/259/25009/2512/254/250016/258/25000011/25 0 0 00 0000

1/2500■123Ykk次投掷出的数字之和，Sn=Y1···Ynn次投掷出的数字之和，Xn=Sn(mod6)，其中mod表示取余数计算。求Xn的转移概率及对应的转移概率矩阵，并求出该马氏链的平稳分布。Yk2345678P1/162/163/164/163/162/161/16Xn+1012345Yk67Yk2345678P1/162/163/164/163/162/161/16Xn+1012345Yk672,8345P3/162/162/162/163/164/16 3/162/162/162/163/164/164/163/162/162/162/163/163/164/163/162/162/162/163/164/163/162/162/162/163/164/163/162/163/164/162/162/162/163/164/163/162/16

2/162/163/162/16第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链由于该马氏链的每行和每列元素之和均为1，因此该马氏链的平稳分布为均匀分布，即：ll11116ll1111666666■将下雨的概率为0.6Wn表示第nraiyR表示天（sunnyS表示。尽管Wn不是一个马氏链，但是最近两日的天气状况Xn=(Wn−1,Wn)是一个马氏链，并且其状态空间是{RR,RS,SR,SS}。求该链的转移概率矩阵。在给定周日和周一无雨的条件下，周三下雨的概率是多少？解答：(a)根据题目中的条件，可以构造出如下概率转移矩阵：相应可得：

.6 00.40000.600.40000.60.400000.3 0.360.240 P2=0.360 0.360.240.240.160.180.120.210.49给定周日和周一无雨的条件下，周三下雨的概率是：p2(SS,RR)+p2(SS,SR)=0.18+0.21=0.39■6.N41i3时，p(i,i1)0.4p(i,i1)0.6，而端点为吸收态：p(00)1,p(44)1。计算p3(1,4),p3(1,0)。解答：首先根据题意构造转移矩阵：0000000.4000.600.4000.60000010.6P=0 0 《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案由此可得：

0P3= 0P3= 01000000.1920.360.28800.1920.00.288000001

1616因此：p3(1,4)=0.064, p3(1,0)=0.744 ■ABC之间按照如下方式行车：如果他在机场，那么下3/41/4开往另一个宾馆。假设时刻0司机在机场，分别求出时刻2司机在这三个可能地点的概率以及时刻3他在宾馆B的概率。解答：概率转移矩阵：P=3/4P=3/41/203/41/4

1/200001/41/4.75 0.125 0.125 0.18750.40620.40620.0.1875 0.375 0.60940.20310.1875P2=0.18750.4375 0.375, P3=0.60940.18750.20310.1875 00.1875 0.375 0.60940.20310.1875因此：p2(A,A)=0.75, p2(A,B)=0.125, p2(A,C)=0.125, p3(A,B)=13/32=0.4062■2.5中，我们给出了一年期信用评级的转移概率矩阵（。试使用Matlab/Octave软件，计算两年期和三年期信用评级的转移概率。解答：使用Matlab/Octave软件，可得到对应的两年期和三年期转移概率矩阵如下： 0.827740.151160.018160.002170.000470.000060.000020. 0.015770.807320.159890.013160.001870.000900.000410 0.001340.047820.831160.103130.011270.002950.000920.000180.00142 0.000770.004110.080740.818170.071470.016350.003780 P2=0.000220.001130.011310.116020.696390.131670.018690.002360.022400.000180.000610.003300.012510.088500.685570.119880.010640.078820.0002000.000200.000740.002580.011900.127090.626120.000040.001120.000860.012970.052130.150520.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000001.00000.00000

0.043320.188040.266930.51527第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链 0.754070.205240.034850.004360.000850.000190.000070. 0.021470.729570.217390.024710.003520.001530.000660 0.002180.065110.764400.141090.018010.005180.001570.000260.00249 0.001120.007230.110450.747110.094110.025630.006210 P3=0.000340.001900.019020.152330.590130.165640.030310.003490.037110.000260.000930.005170.020990.111120.580210.146720.013710.120930.0003100.000310.001280.004500.019980.155750.506060.000110.001430.002130.016410.064160.152600.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000001.00000.00001

0.043660.268420.142180.62078■0.30.0.30.3000.500.5000.5000.500.5000.300.3(a)(a).50

0.1 0 0 0.40.5 0 0.10.20 0 0 0.9 0 0(b)0 0 0 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.50.5 0 0.2 0 0.8 00 0.6 0 0.4 0(c).10 0.6 0 0.4 00.3 0 0 0 0.7

0.8 0 0 0.2 0 0 (d) 0 0 0.30.40.30 0 0.2 0 0 0.800.7 0 0 0.3 0 0解答：(a){2,4}是常返态；{1,3,5}是非常返态；{2,4}组成不可约闭集从图中可以看出：1→2，但是2̸→1；5→2，但是2̸→5；3→2，但是2̸→3(b){1,4,5,6}是常返态；{2,3}是非常返态；{1,4,5,6}组成不可约闭集从图中可以看出：3→6，但是6̸→3；2→1，但是1̸→22 352524134 5 6(c){1,2,4,5}是常返态；{3}是非常返态；{1,5}和{2,4}组成不可约闭集从图中可以看出：3→1，但是1̸→3(d){1,4,2,5}是常返态；{3,6}是非常返态；{1,4}和{2,5}组成不可约闭集从图中可以看出：3→5，但是5̸→3；3→4，但是4̸→3《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案25125134614253■ 0.50.40. (a)0.20 0.10.30.6

0.50.40.1 (b)0. 0.20.20.6

0.60.4 0 (c)0. 0 0.20.8r 1(b)(=r 1接下来，计算(a)的平稳分布，具体如下：0.5π1+0.2π2+0.1π3=π0.4π1+0.5π2+0.3π3=ππ1+π2+π3=1因此其平稳分布为：π=r11/4719/4717/471

π1=11/47⇒ π=19/4⇒ π=19/42实际上是生灭链，可以使用细致平衡条件来求解：π(1)p(1,2)=π(2)p(2,1)寸π(2)p(2,3)=π(3)p(3,2)寸

⇒0.4π(1)=0.π(2)0.4π(2)=0.π(3)令π(1)=c，则：π(2)=2c,π(3)=4c，由 iπ(i)=1，可得：1c+2c+4c=1⇒c=7因此：π(1)=1, π(2)=2, π(3)=47 7因此平稳分布为：

7llπ=1 2 ll7 7 7■S{015上的一个马氏链，其转移概率矩阵为：0 1 2 3 4 500.5 0.5 0 0 0 0210.3 0210.3 0.7 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0.9 0330.250.25 0 0 0.250.25330.250.25 0 0 0.250.255 0 0.2 0 0.2 0.2 5 0 0.2 0 0.2 0.2 05 0 0.2 0 0.2 0.2 5 0 0.2 0 0.2 0.2 第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链互通类有哪些？常返态有哪些？非常返态又有哪些？解答：从转移矩阵可以看出，0↔1,2↔4,3↔5。因此：(a){0,1},{2,4},{3,5}是互通类。{0124}(相应矩阵元素全不为零)，{35}。对应的转移概率图如下：0013524■假设刚开通一个快速公交系统。在运行第一个月期间发现，25%的通勤者使用快速公交，而75%10%30%的开汽车的通勤者改为使用快速公交。P3；第四个月使用快速公交系统的通勤者所占的比例是多少？从长远看，使用快速公交系统的通勤者所占的比例是多少？解答：AB，则相应的转移概率和初始状态分别为：因此：

0.90.1 P=0.3 P=

π0=r0.250.751.5880.410P3=.8040.19, πP3=r.5880.410因此，第四个月使用快速公交系统的比例是64.2%..91+0.π2=π1π1+π2=1

⇒ π1=75%π2=25%因此，从长远看，使用快速公交系统的比例是75%.■一个大学提供三种类型的健康计划：A、BC。经验显示，人们依照下面的转移概率矩阵改《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案变健康计划：

A B CA0.85.10.05B0.2 .7 0.1C 0.1 0.3 0.6在2020年，选择这三种计划的人所占的比例分别是30%、25%和45%。2021年选择这三种计划的人所占的比例分别是多少？从长远看，选择这三种计划的人所占的比例分别是多少？ 解答： q0=

r0.30.250.451

0.850.10.05 , P= 0. 0.1 0.3 0.6r 1因此：q0P=0.350.340.r 1(a)2021年三种计划的比例将是35%、34%和31%.(b).85π1+0.π2+0.π3=π1.π1+0.π+0.3π=2 3 π1+π2+π3=1

π1=9/17ππ2=11/34⇒π3=5/34⇒从长远看，选择这三种计划的比例分别是52.94%，32.35%和14.71%.■201036%10年，6%的房主将成为租房者，而12%的租房者将成为房主。那么在2020年房主的比例是多少？2030年呢？解答：根据题目中的条件，可以构造出如下概率转移矩阵：房主租房者P= 房主.94 .06 租房者 0.12 0.88r 1 r 1相应的初始比率为q=r0.360r 1 r 1qP=0.41520.5848, qP2=0.46050.5395因此，在2020年房主的比例是41.52%；2030年是46.05%。■RR、、WW而分别开红色、粉色、白色花。如果这些基因类型分别与开粉色花这一品种的植物杂交，那么出现各基因类型的后代的比例是：RRRWRRRWWW0.50.500.250.50.2500.50.5第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链从长远看，这三个品种的植物所占的比例各是多少？解答：0.π1+0.5π+0.5π0.π1+0.5π+0.5π=2 3 π1+π2+π3=1

π1=0.25ππ2=0.5⇒π3=0.25⇒从长远看，这三种品种的植物的比例是25%、50%和25%.■75%25%的抽烟者将戒烟，8%92%201570%2018年有多少比例的人抽烟？2025年呢？从长远看呢？ P=解答： P=因此：

0.750.25.080.9

q0=r0.70.310.16950.8300P3=0.47030.529, q3=r0.16950.8300010=0.25620.7438, qP10=r.25080.7492100.23800.7620因此，在2018年有38%的人抽烟，2025年有25.08%的人抽烟。0.7π1+0.082=π1π1+2=1

⇒ π1=24.24%π2=75.76%因此，从长远看，有24.24%的人抽烟. ■Xn7:30Xn是一个马氏链，转移概率矩阵是：1 2 3 411/21/2 0 0 2 2/3 0 1/3 02 2/3 0 1/3 0 3 3/4 0 0 1/44 1 0 0 0k1/(k41。从长远看，小李刮胡子的天数所占的比例是多少？此链的平稳分布满足细致平衡条件吗？《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案解答：

π1=π2231π2=π331π31π3=π4

π1=24/41π3=4/41⇒ π2π3=4/41π0+π1+π2+π3=1 π4=1/4141因此，从长远看，小李刮胡子的天数所占的比例是24(即：58.54%)41以π(1)p(1,3)和π(3)p(3,1)为例，明显π(1)p(1,3)=0, π(3)p(3,1)>0两者必然不相等。因此，此链的平稳分布不满足细致平衡条件。■求转移概率矩阵2/3002/31/602/503/52/3002/31/602/503/5001/3 05/65/60000的平稳分布，并证明它不满足细致平衡条件。解答：计算平稳分布，具体如下：351π2+2π4=π1353 3

π1=35/186⇒2π1+1π3=π2 π2=33/186⇒3 5352π2+3π4=π3

π3=58/186r 1π1+π2+3+π4=1 π4=r 1因此其平稳分布为：π=35/18633/18658/18660/186细致平衡条件要满足：π(x)p(x,y)=π(y)p(y,x).根据上面的计算结果，我们可知：33 2 22 58 1π(2)p(2,3)=186×3=186=0.118, π(3)p(3,2)=186×6=0.052显然：π(2)p(2,3)̸=π(3)p(3,2).因此它不满足细致平衡条件.注意：该马氏链是一个具有偶数个节点的圆环，因此周期为2，不满足细致平衡条件。 ■考虑转移概率矩阵−0 a 0 1−a−1 b 0 b 00 1−c 0 cd 0 1−d 00abcd(1a)(1b)(1c)(1第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链解答：根据细致平衡条件，我们可得：π(1)p(1,2)=π(2)p(2,1)⇒aπ(1)=(1−b)π(2)π(1)p(1,4)=π(4)p(4,1)⇒dπ(4)=(1−a)π(1)π(2)p(2,3)=π(3)p(3,2)⇒bπ(2)=(1−c)π(3)π(3)p(3,4)=π(4)p(4,3)⇒cπ(3)=(1−d)π(4)将上面各式相乘，可得：abcd·π(1)π(2)π(3)π(4)=(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)·π(1)π(2)π(3)π(4)因此：abcd=(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)>0满足细致平衡条件. ■1/35张的话，小王会以概率1把报纸放到回收箱中，考虑晚上堆起来的报纸数。求相应的状态空间和转移概率矩阵。经过很长一段时间,堆放起来的报纸数的期望值为多少？00的期望时间。解答：(a)状态空间S={0,1,2,3,40002/30002/3001/3 0 πPπ，可得：

1/3 0 0 0 2/31 0 0 0 01π(0)+1π(1)+1π(2)+1π(3)+π(4)=π(0) 3 3 3 332π32π(1)=π(2)332π(2)=32π(3)=π(4)π(0)+π(1)+π(2)+π(3)+π(4)=1因此：(b)

π(0)=1.54/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)π(1)=1.53/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)⇒ π(2)=1.52/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)π(3)=1.5/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)π(4)=1/(1+1.5+1.2+1.53+1.54)、4 3 2、(c)

EN= i·π(i)=i=0

+1.5+2×1.5+3×1.5+4×1=1.24171+1.5+1.52+1.53+1.541E0[τ0]=π(0)=

1+1.5+1.52+1.53+1.541.54 =2.605■《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案每盏灯烧坏的概率都是0.05。从长远看，车库仅有一盏灯工作的时间所占的比例是多少？两次替换之间的时间间隔的期望值是多少？解答：记一盏灯正常照明、两盏灯正常照明和两盏灯都烧坏三个状态分别为状态1、状态2和状态0，相应的转移概率为：1 2 0.95 0 .πPπ可得：

20.020.98 00 0 1 00.9π(1)+0.02π(2)=π(1)00.98π(2)+π(0)=π(2)π(1)+π(2)+π(0)=1

π(1)=20/71ππ(2)=50/71⇒π(0)=1/71⇒因此，从长远看，车库仅有一盏灯工作的时间所占的比例是28.17%（即20/71。两次替换之间的时间间隔，可看作是从状态0首次返回的步数期望值，即E0[τ0]，因此：E[τ]= 1 =7100 π(0)■（新23或（损坏1 2 3 40.950.05 0 00 0.9 .1 03 0 0 0.8750.1253天时间修复。为了将此情况包含在马氏链中，我们增加状态5和6，并假设p(4,5)=1,p(5,6)=1,p(6,1)=1。求解机器处在工作状态的时间所占的比例。31天时间修复机器，使之回到状态1，这使得转移概率矩阵变为1 2 310.95 0.05 020 0.9 0.13 1 0 3 1 0 03 1 0 3 1 0 0求在此新规则下机器处在工作状态的时间所占的比例。第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链(a)转移概率如下：

.95 0πPπ可得：

00.0.050000.90.10000.8750.125000010000000000011

000010.95π1+π6=π10.05π1+0.9π2=0.1π2+0.875π3=π3π4=π5π5=π6π1+π2+π3+π4+π5+π6=机器处在工作状态的时间比例是：

π1=20/41π2π3=8/41⇒π4=1/41π5=1/41π6=1/41(b)转移概率如下：

20 10 8+ + =41 41 41

38=92.68%41πPπ可得：

0 0.9 0.10.950.05 00.95π1+π3=π10.05π1+0.9π2=π2π1+π2+机器处在工作状态的时间比例是：

π1=20/31ππ2=10/31⇒π3=1/31⇒20 + 31

30=96.77%31■14322432从长远看，取得红球、白球和蓝球的概率分别是多少？《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案 πPπ可得：

1/5 0 4/5 3/94/92/9π(1)+π(2)+π(3)=3π(2)+4π(3)=π(2)

π(1)=25/89⇒ π(2)=7 9 4π(1)+2π(2)+2π(3)=π(3) π(3)=36/895 7 9■NN0.20.0.20.60.10.4.2

0.10.0.5每个分级中的雇员所占的百分比分别是多少？解答：由πP=π可得：π(1)+π(2)+π0.7π(1)+0.2π(2)+0.1π(3)=π(1)0.2π(1)+0.π(2)+0.π(3)=π(2)

π(1)=6/17ππ(2)=7/17⇒π(3)=4/17⇒■■■■A0.6A地段，0.4BB0.3A0.7BAB12。求这个出租车司机每次的平均获利。解答：考虑两阶段马氏链，出租车司机在相邻的两个时刻所在的位置组成的状态空间为：于是可得如下转移概率矩阵：

S={AA,AB,BB,BA}AAABBBBA0.40AAABBBBA0.4000.700.70.60.400

0AB BB0BABA

0.3.3BABA第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链由πP=π可得：π(AA)=

9, π(AB)=35

6, π(BA)=35

6 14, π(BB)=35 35因此：司机每次的平均获利如下3535353576π(AA)+8π(BB)+12[π(AB)+π(BA)]=6×9+8×14+12×（6+6＼=62353535357 P=注意：本题还有另一种方法，但不推荐（使用的是一阶段马氏链）{ P=0.60.40.30.由πP=π可得：于是：司机每次的平均获利如下

π(A)=

3 4, π(B)=7 777×0.6×6+4×0.7×8+（177

3−7×

−7×

0.7＼×1210.8= 7

22.4+7

28.8 62=7 7■11结的部件进入步骤2；步骤2结束之后，5%的部件必须返回至步骤1，10%的部件返回步骤2，5%的部件报废，80%的部件制造成功，从而可销售获得利润。3为部件报废，4为部件可被销售获得利润。计算一个部件在制造过程中报废的概率。0.20.20.70.100.050.10.050.800100001相应地：

A=A=.2 0.7, b=.1因此：

0.050.1

.05 h=(I−A)−1b=0 118.25%26.57%；在制造过程中报废的总概率是1−(1−18.25%)(1−6.57%)=23.62%《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案■一家银行将贷款分类为全部付清（F、信誉良好（G、拖欠（A）或者呆账（）四种。贷款按照如下转移概率矩阵在不同的类别之间转换：GBFGAB10000.80GBFGAB10000.80.100.40.40001问：处于信誉良好状态的贷款最终全部付清的比例是多少？那些处于拖欠状态的贷款呢？A解答：将转移概率矩阵按照信誉良好(G)、拖欠(A)、全部付清(F)和呆账(B)四个状态进行重新排列如下：A相应地：

GF

G A F B0.80.80.10.100.40.40.10.10010B0001A=.80.1, b=.因此：

.40.4 . h=(I−)−1b= 所以，处于信誉良好级别的贷款最终全部付清的比例是87.5%；处于拖欠的贷款最终全部付清的比例是75%.■4（无论我们在什么时间观察）下一个事件是“生2/31/3。如果仓库中当前仅有一件商品，那么在仓库变空之前先装满的概率是多少？解答：这里的状态空间{0,1,2,3,4}当中，{0,4}是吸收态，{1,2,3}是非常返，本题的意思是：求出状态1被状态4吸收的概率。相应的马氏链如下：0 1 2 3 401 0 0 0 0211/3 0 2/3 0 020 1/3 0 2/3 04 0 0 0 0 14 0 0 0 0 10 0 1/3 0 2/34 0 0 0 0 14 0 0 0 0 1第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链对马氏链进行重新整理，相应的状态排列为：{1,2,3,4,0}123402/30002/30123402/30002/301/302/30010000121/3 0 3 4000

0000相应地：

0 2/3 0 00 1/3 00 1/3 02/3A=1/3 0 2/3, b=0 1/3 0 1/3 0

00 1/3 0 0 1/3 02/3因此：

h=(I−A)− 14/15如果仓库中当前仅有一件商品，那么在仓库变空之前先装满的概率是8/15■DickHelenJoniMarkSam6DickHelenMarkSamHelenDickJoniSamSamDickHelenMark、JoniMark求转移概率，并对该链的状态分类。DickMark拿到球结束的概率是多少？D(Dick),H(Helen),S(Sam),J(Joni),M(Mark)，得到如下转移概率：HJDHJTMM

D H S J T M00.00.250.2500.250.250.2500.250.250.2500.250.25000.250.2500001000000100000001MM A=0.25 0 0.25, b=0.250.25 0

0 0.250.25

.2500《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案因此：

.4h=(I−)−1b=.2因此，游戏开始时球在Dick手中，游戏以Mark拿到球结束的概率是40%. ■PM70%的程序20%10%（状态95%的项目经理保持职位不变，5%被解雇。平均看来，一名程序设计员在他被解雇之前会工作多长时间？解答：根据题意：状态X是吸收态，状态P和M是非常返态，相应的转移概率为：相应地：

PMXX PMX0.70 PMX0.70.20.100.950.050010

因此：

g=(I−)−1=16.6720因此，平均看来，一名程序设计员在他被解雇之前会工作16.67年。 ■现进行一次评估，过去的记录表明员工级别根据如下马氏链转移到中级（I）和合格F代表员工被解雇：B I Q FB0.45 0.4 0 0.15I 0 0.6 0.3 0.1 010001Q010001F 0最终得到提升的员工所占的比例是多少？从一个初学者直到被解雇或者变为合格所需要的期望时间是多少？解答：根据题意，状态Q和F均是吸收态，因此：A=A=.450., b=0所以

.h=(I−A)−1b=0.5450.75第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链因此，最终得到提升的员工比例是54.55%.g=(I−A)−1=.6362.5从一个初学者直到被解雇或者变为合格所需要的期望时间是1.82年（注意：此处题意当中，每步的长度为六个月。因此期望时间应该为3.6364/2=1.82年） ■TSQ为辞职的员工，我们用一个马氏链来描述他们在这些级别上的变化，其转移概率矩阵是： R 0.2 0.6 0 0.2T 0 0.55 0.15 0.3S0 0 1 0Q 0 0 0 1实习生最终变为管理者的比例是多少？从实习生到最终辞职或者升为管理者所需要的期望时间是多少？解答：根据题意，状态S和Q均是吸收态，因此：A=.2 0.6, b=00 所以

.15h=(I−A)−1b=

0.2525%.

0.333 g=(I−A)−1= 从实习生到最终辞职或者升为管理者所要的期望时间是2.9167年. ■V30301515这三种状态V 30 15 P F0.3500.050.540.250.050.3500.050.540.250.0500.750.0400100030 150.20

0.010.01F 01F 01P0 0F 01F 01对于三种贷款类型，求出到贷款付清或者取消抵押品赎回权时所需的期望时间。贷款付清的概率是多少？《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案解答：根据题意，状态P和F均是吸收态，因此：A=.150.540A=.150.540.25, b=.05

.05所以(a)

0.20 0

0.0413.7278 g=(I−A)−1= 14.9822三种贷款类型，到付清或者取消抵押品赎回权时所需的期望时间分别为：可变利率贷款13.73 年；30年固定贷款14.79年；15年固定贷款14.98年 0.6450 h=(I−A)−1b 0.6760■n[03]内均匀分布的随机14的水平；若当天库存1，则不会补充库存。写出此问题中库存数量的状态空间。根据库存数量，给出对应的转移概率矩阵。求出库存数量的平稳分布。计算每天营业结束时，需补充库存数量的期望值。解答：(a)根据问题所给出的信息，可得到库存数量的状态空间S={0,1,2,3,4}[03]内均匀分布的随机变量，于是可得如下表格：需求量0123概率1/41/41/41/4由此可得，该问题的转移概率矩阵如下：012341/41/41/41 01/41/41/4012341/41/41/41 01/41/41/41/4P3 1/4 1/4 1/4 1/4 04 0 1/4 1/4 1/4 1/4lπPπ进行计算，可得：lπ=1 164 4

3 9l4 16 64lπ(0)π(1)，因此需补充库存数量的期望值为：× ×EN=π(0) 4+π(1) 3=× ×16第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链■ {012 0.5 0 0.5 0 P= 0.50.5 0 00 0 0 1求从状态0到达状态3的期望步数。 解答：根据马氏链的转移概率矩阵，可知：状态3 0.5 0 0. A= 0.50.5 0因此：

8241

301462412126241212g=1=(I−)−1=422=62412126241212因此，从状态0到达状态3的期望步数为14。 ■考虑下图中的简单随机游动A BCCD EA的时间所占的比例为多少？AA的期望步数为多少？CAB的期望次数为多少？BAC的概率为多少？CA所需的期望步数为多少？解答：由题意，可给出相应的转移矩阵：A

A B C D E0 1/31/31/3 0B1/3 0 1/3 0 1/3P=C1/21/2 0 0 0 D1/2 0 0 0 1/2E 0 1/2 0 1/2 0由于本题当中，相邻两个节点是互通的，因此可以使用细致平衡条件进行平稳分布的求解，具《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案体如下：

π(B)1=π(A)1

π(A)=1/43 3 π(C)1=π(A)1

π(B)=1/4π(D)1=π(A)1⇒π(D)1=π(A)1⇒π(C)=1/62 3 π(D)1=π(E)1

π(D)=1/62 2π(A)+π(B)+π(C)+π(D)+π(E)=1Aπ(A14AA的期望步数为

π(E)=1/6A作为吸收态，可得：

BCDEBCDE01/301/2000001/201/20

1)=

=41/31/21/2DDEEEE由此可得：

M=(I−M=(I−)−1=19 14 2 4 12 4 1020E因此，质点从点C开始游动，那么质点到达A之前访问B的期望次数为：M(C,B)=911BAC的概率为：6/11 1=(18+6+4+8)/11 6CA所需的期望步数为1 29(9+14+2+4)=11 11■{12345的马氏链，其转移概率矩阵如下：0.50.0.50.500000.2000.400000.50000P=0 01 第二章离散时间马氏链第二章离散时间马氏链该马氏链是否不可约？是否非周期？求平稳概率分布。11所需要的期望步数。14所需要的期望步数。135的概率。解答：(a)由题意，可以得到此问题对应的转移概率图，结果如下：441253从图中不难看出，这五个状态是互通的。因此它们具有相同的周期，且属于一个互通类，因而马氏链不存在比状态空间更小的闭集，故该马氏链不可约。以状态1为例，其周期是3，但是状态5可以经3步或1步返回，因此这五个状态的周期均是1，故马氏链非周期。πPπ，可得：π(4)+0.π(5)=π(1)0.5π(1)=π(2)00.5π(1)=π(2)0.2π(2)+0.4π(3)=π(4)π(1)+π(2)+π(3)+π(4)+π(5)=1

π(1)=10/37π(2)=5/37⇒ ππ(2)=5/37π(4)=3/37π(5)=14/3711所需要的期望步数为E[T]=

37= =3.7114作为吸收态，可得：

π(1) 101 2 3 510 0.50.5 0

1 23 51055141A M I A 1 = , =(A M I A 1 = , =(− )−= 50.5 0 0 0.514所需要的期望步数是：

3 6 36123 M(1,1)+M(1,2)+M(1,3)+M(1,5)=1(10+5+5+14)=343 3《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案3作为吸收态，可得：1 2 4 510 0.5 0 0

12 4 521.2.1A M I A 1 2 0 0 0.20.8 220.43A M I A 1 4 1 0 0 050.5 0 0 4 1 0 0 050.5 0 0 211.21.64210.23.65从状态1开始，该马氏链在到达状态3之前，到达状态5的概率为：1.6 1=2+1+0.2+1.6 3■第三章 可数状态马氏链部分习题讲解1（ 1 ＼{01部分习题讲解1（ 1 ＼ 2m+2p(m,m+1)= 1− , m2m+22m+2p(m,m−1)=1（1+1 ＼, m2m+2−并且p(0,0)=1 p(0,1)=。求平稳分布π。−4解答：根据细致平衡条件，有：p(m,m+1)π(m)=p(m+1,m)π(m+1), m⩾0因此：

（1−1 ＼π(m)=1（1+1 ＼π(m+1)2m+22m+3π(m+1)=（m+1·m+32m+22m+3由此式进行递推，可得：

π(n)=

m+23(n+1)(n+3)

m+4π(0)i=02n+1n+3令c=π(0)，则π(n)=3cr1−11由于寸∞π(i)i=02n+1n+3∞∞2i=0i+1i+3n→∞22n+2∞∞2i=0i+1i+3n→∞22n+2n+34ii=0

（1−1＼=lim

3cl1+1−1−1l=9c从而：c4/9π(0)因此：

π(n)=2（1−1＼3 n+1 n+3■m{12}的马氏链，其转移概率是m11p(m,m+1)=2m+2, m⩾1p(m,m−1)=2, m⩾2p(m,m)=2m+2, m⩾211−并且p(1,1)=1 p(1,2)=。证明它不存在平稳分布。−4《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案PAGEPAGE31解答：根据细致平衡条件，有：p(m,m+1)π(m)=p(m+1,m)π(m+1), m⩾1因此：

m π(m)=1π(m+1) ⇒ π(m+1)=（m＼π(m)2m+2由此式进行递推，可得：令c=π(1)，则：

2π(m)=∞ ∞

1π(1)m∞

m+1nn、π(n)=、1c=c、1nnn=1 n=1n=1n=1n=1n=1 n=1n=1n=1n=1寸 寸 =∞ π(n)= π(n寸 寸 =∞ π(n)= π(n)=n=1 n=1 n=1n不存在平稳分布。 ■S{01.的马氏链，其转移概率为：p(x,x+1)=

2 1, p(x,0)=3 3寸证明该马氏链为正常返链，并给出极限概率π。寸解答：根据π(x)= y∈Sπ(y)p(y,x)，当x>1时，可得：2π(x)=p(x−1,x)π(x−1)=3π(x−1)假设π(0)=c，则有：又因为：寸xπ(x)=1，因此：

π(x)=c

（2＼x33

, x⩾0因此：

c∞x=0∞

（2＼x33

1=1 ⇒ c=3π(x)=3, x⩾01π(x)=3, x⩾03333该马氏链为正常返链。 ■α。(a)p0=0.25, p1=0.4, p2=0.35；(b)p0=0.5, p1=0.1, p3=0.4；(c)p0

1= , p16

1= , p22

1=0, p3= ；3(d)p0=0.91, p1=0.05, p2=0.01, p3=0.01, p6=0.01, p13=0.01；(e)pi=(1q)qi, 0<q1。解答：由于消亡概率α和一个个体的平均后代数量µ分别满足：∞ ∞k=0k=0k=0k=0α=、pkαk, µ=k=0k=0k=0k=0第三章可数状态马氏链第三章可数状态马氏链因此：(a)µ=1×0.4+2×0.35=1.1>1，接下来需要对消亡概率α加以计算α=0.25+0.4α+0.35α2最终：α1=1,α2=5/7<1，因此消亡概率为α=5/7(b)µ=1×0.1+3×0.4=1.3>1，接下来需要对消亡概率α加以计算：α=0.5+0.1α+0.4α3由于α=1是平凡解，上式可根据(α−1)进行因式分解，从而可得：(α−1)(4α2+4α−5)=0因此：

= 6−2可见：最小正解为α=(√6−1)/2，消亡概率为(√6−1)/2。(c)µ=0×

1 11× 3× 1.51α加以计算：6 2 3

1α= +6

1 13α+α32 3上式可根据(α−1)进行因式分解，从而可得：(α−1)(2α2+2α−1)=0因此：

= 3−2可见：最小正解为α=(√3−1)/2，消亡概率为(√3−1)/2。(d)µ10.0520.0130.0160.01130.010.29<α1∞µ=寸i=0ipi=寸i=0i(1−q)qi对于上式，我们进行如下求解：∞、µ=(1−q)q· iqi−1、「i「d=(1−q)q·dq

∞i=11

qilq=(1−q)q·(1−q)2=1−qq1/2时，µ1α1q>1/2时，µ>1，此时还需要进一步讨论、 i、 iα= piαi=0∞ ∞=、(1−q)qiαi=、(1−q)(qα)ii=0=1−q1−qα

i=0《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案因此：

qα2−α+(1−q)=0最终：α1=1,α2=(1−q)/q<1，因此消亡概率为α=(1−q)/q综合可得：0<q1/2α1；1/2<q<1α(1q)/q。■考虑在例3.5中的问题。这里假定每个家庭拥有孩子的个数服从几何分布，即当k⩾0时，pkp(1p)kpk是第一次成功之前失败的次数。0的概率。解答：首先，此种几何分布的期望值为：、∞、µ= k=0

∞、 −=p k(1 、 −pk=0显然：(1)当p⩾1/2时，µ⩽1，此时以概率1吸收于状态0；∞∞∞、 · − ··(2)当p<1/2时，根据公式α=寸kαkpk，∞∞∞、 · − ··α、αk·pk

= αkp(1 p)k= [α(1 p)]kp= 1 p1−α(1−p)因此：

k=0

k=0

k=0(1−p)α2−α+p=0 ⇒ [(1−p)α−p](α−1)=0故：p0p/(1p).

α= <11−p■小王作为某计算机软件展会上的工作人员，负责服务有意向购买软件并填写申购单的客户。pii位客户正在排队准备填写申购单的概率。p00.2，p10.2，p20.6，并且只有当所有的填单客户（包括排队客户）全部离开，小王才可以坐下休息。问：小王可以坐下休息的概率是多少？解答：此问题可看作一个分支过程，其中小王可以坐下休息的概率可看作消亡概率α。首先计算平均后代数量µµ=0·p0+1·p1+2·p2=0.2+2×0.6=1.4>1接下来需要根据概率母函数计算消亡概率，具体如下：、、k 2α=G(α)= α·pk=0.2+0.2α+0.6αk=0经过整理可得：

3α2−4α+1=0 ⇒ α1=1,α2=1/3<1因此小王可以坐下休息的概率是1/3。 ■第三章可数状态马氏链第三章可数状态马氏链Xn{012.(a)p(x,0)= 1x+2

x+1, p(x,x+1)= ；x+2(b)p(x,0)=x+1, p(x,x+1)= 1 ；x+2x+2(c)p(x,x−1)x+2

x+2+1 1x+2, p(x,x+1)x+2(d)p(x,0)= 2x+3

x+1, p(x,x1) 。x+3解答：(a)根据π(x)=寸y∈Sπ(y)p(y,x)，当x⩾1时，我们可得：x+1π(x)=、π(y)p(y,x)=π(x−1)p(x−1,x)=xπ(x+1于是：

y∈Sπ(x)=x·x−1···1π(0)=1π(0)寸由于 xπ(x)=1，但是：寸∞

x+1 x 2∞

x+1∞x=0x=0x+1x=1x、π(x)=π(0)、1=πx=0x=0x+1x=1x两者之间产生了矛盾，因此马氏链是零常返。π(x寸y∈Sπ(y)p(yx)x1时，我们可得：x+1π(x)=、π(y)p(y,x)=π(x−1)p(x−1,x)=1π(x+1于是：

y∈S

1 1 1 1π(x)=x+1·x···2π(0)=(x+1)!π(0)由于寸xπ(x)=1，并且：、π、π(x)=π(0)、 1 =π(0)、1=π(0)(e−1)因此：最终可得：

x=0

x=0

(x+1)!π(0)=

1e−11

x!x=1根据细致平衡条件可得：

π(x)=x+2

(e−1)(x+1)!1因此：

x+3

π(x+1)=

x+2

π(x)由此可得：

x+3π(x+1)=(x+2)2π(x), x=0,1,2,...2(x+1)!2x!(x+1)!π(x)=x+2π(0)=1l1+ 1 lπ(0), x=0,2(x+1)!2x!(x+1)!《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案∞令π(0)=c，可得：∞∞、π(x∞xx=0

1l1+ 1 lc=1c「∞

1

1 l=1c[e+e−1]∞1x=02x!(x+1)!2x=0x!x=0(x+1)!2由于寸∞1x=02x!(x+1)!2x=0x!x=0(x+1)!2最终可得：

x+2

c=e−0.51

x+2π(x)=2(x+1)!·e−0.5=(2e−1)(x+1)!因此存在平稳分布，该可数状态马氏链正常返。、 − −根据π(x)=寸y∈Sπ(y)p(y,x)，当x⩾1时，我们可得：、 − −π(x)= π(y)p(y,x)=π(x 1)p(x 1,x)= xx+2

π(x−1)于是：

y∈Sπ(x)=x·x−1

1 2 x+2x+1···4·3π(0)=(x+2)(x+1)π(0)由于寸xπ(x)=1，并且：∞∞∞、π(x)=2π(0)、 1 =2π(0)∞∞∞

l1−1l=2π(0)因此：

x=0

x=0

(x+2)(x+1)1π(0)=2

x=0

x+1

x+2最终可得：1 1 1π(x)=(x+2)(x+1)=x+1−x+2■第四章 泊松过程部分习题讲解2的指数分布的随机变量来描述，请问：部分习题讲解2小时以上的概率是多少？35小时的概率是多少？解答：设T为机器的维修时间，则：P(T>2)=exp(−λt)=exp（

1−2×

2＼=e−1=0.3679P(T>5|T>3)=P(T>2)=0.3679维修机器花费的时间是2小时以上的概率是36.79%；在已知维修机器要花费3小时以上的条件下，花费的时间超过5小时的概率也是36.79%. ■573年的概率是多少？解答：设T为收音机的寿命，则：P(T>7+3|T>7)=P(T>3)=exp（−1×3＼=0.54885收音机还能继续工作3年的概率是54.88% ■2解答：根据题意：λ1=λ2=λ3=2，Ti是第i个人钓到一条鱼所需的时间，则：Emax{T1,T2,T3}=ET1+ET2+ET3−E[min(T1,T2)]−E[min(T1,T3)]−E[min(T2,T3)]+E[min(T1,T2,T3)]1 1= +λ1 λ2

131+λ−λ31

1+λ2

1+λ3

1+λ3

1+λ1+λ2

+λ31 1 1 1 1 1 1 11=2+2+2−4−4−4+6=12直到每个人都至少钓到一条鱼需要等待11/12小时.每个人至少钓到一条鱼，意味着首先三人中有一人钓到一条鱼；接下来两人中有一人钓到一条鱼；最后一人钓到一条鱼。E[min(T1T2T3)]，因此：E[min(T,T,T)]= 1 =11 2

λ1+λ2+λ3 6《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案PAGEPAGE36E[min(TiTj)],i̸j123}，因此：E[min(T,T)]= 1 =1i j λi+λj 4E[Ti],i123}，因此：E[T]=1三个期望时间相加，可得：

i 21 1 1 11+ + =6 4 2 12■AB同时进入一家美容院，AB要理发。假定修指甲（理发）的时间服从均20（30）分钟的指数分布，请问：A先修完指甲的概率是多少？AB都完成要花费的时间的期望是多少？解答：SA修指甲的时间，TB理发的时间，则：1 1因此：(a)

S∼E(1/20), T∼E(1/30), λ1=20, λ2=30P(S<T)=λ1 = 1/20

=60%A60%.(b)

λ1+λ2

1/20+1/30E(max(S,T))=1+1− 1 =20+30−12=38λ1 λ2 λ1+λ2直到A和B都完成要花费时间的期望是38分钟.另解：两人中最先完成服务对应的比率为1 1 1+ =30 20 1212分钟。另外：A60%，意味B30分钟；B40%A完成20分钟，于是两人完成服务的总期望时间为：12+(60%×30+40%×20)=12+(18+8)=38■考虑一家有两名柜员的银行。A、BC三个人按顺序几乎同一时间进入银行，AB直接C4分钟的指数分布，C完成他的业务所需总时间的期望是多少？直到三个顾客都离开所需总时间的期望是多少？C最后一个离开的概率是多少？第四章泊松过程第四章泊松过程解答：假设A,B和C三人完成任务所需时间分别为T1,T2,T3，且λ1=λ2=λ3=1/4，因此：E[min(T,T)]+E(T)= 1

1+ =2+4=61 2

λ1+λ2 λ3C6分钟。首先，ABE[min(T1T2)]iC办E[min(T3Ti)]jE[Tj]E[min(T,T)]+E[min(T,T)]+E(T)= 1

1 1+ + =2+2+4=81 2 3 i

j λ1+λ2

λ3+λi λjC要等别人业务完成才能开始办理业务，因此其与另一位顾客同时离开的概率是相同(因为服务时间的均值相同)50%，即：−λ3 −1λi+λ3

1− −=1 4 =− −1+1

1=50%24 4■1年、1.53年的指数分布，那么潜水艇可以在海上平均待多长时间？解答：三个设备损坏的速率分别为：1 1 2 1λ1=1=1, λ2=1.5=3, λ3=3记三个设备的寿命分别为：T1，T2和T3，记ET是潜水艇在海上时间的期望值，则：ET=E[min(T1,T2,T3)]+P(部件1损坏)E[min(T2,T3)]+P(部件2损坏)E[min(T1,T3)]+P(部件3损坏)E[min(T1,T2)] 1 λ1 1 λ2 1 = + · + ·λ1+λ2+λ3 λ1+λ2+λ3 λ2+λ3 λ1+λ2+λ3 λ1+λ3 λ3 1 + ·λ1+λ2+λ3 λ1+λ2λ1+λ2+λ3λ2+λ3λ1+λ3λ1+λ2=λ1+λ2+λ3λ2+λ3λ1+λ3λ1+λ2225=l1+1+1+1l=1.35225潜水艇可以在海上平均待1.35年。 ■一位教授开始办公时，Ron、Sue到达其办公室，他们在办公室的时间服从均值分别为1、1/2、1/3小时的指数分布。1名学生留在办公室所需时间的期望是多少？对每一位学生，其是最后一位离开的概率是多少？到三位学生都离开办公室所需时间的期望是多少？解答：首先，三位学生在办公室的速率分别为1、2、3。最开始三人均在办公室，因此相应的期望时间为：E[min(T,T,T)]= 1 = 1 =11 2

λ1+λ2+λ3

1+2+3 6《应用随机过程》参考答案《应用随机过程》参考答案接下来，看三位学生当中谁先离开，相应的概率分别为：P(1)= 1

1 2= , P(2)=

2 3 3= , P(3)= =1+2+3 6

1+2+3 6

1+2+3 6与之相对应，下一位学生离开的期望时间为：E(1)= 1

1 1= , E(2)=

1 1 1= , E(3)= =因此：

2+3 5

1+3 4

1+2 31236E[min(T,T,T)]+P(1)E(1)+P(2)E(2)+P(3)E(3)=1236

1 1 2 6564+ × + ×6564

3 1 276360+ × =6360仅有1名学生留在办公室时需要时间的期望是27分钟。组合 概率 离开者组合 概率 离开者组合 概率 离开者组合 概率 离开者TSR 3×2=1 R6 1+2 3TRS 3×1=1 S6 1+2 62×1=1 T6 1+3 12STR 2×3=1 R6 1+3 41×3=1 S6 3+2 10RST 1×2=1 T6 2+3 15对应的概率分别如下：P(R)=1+1=7, P(S)=1+1

4 1 1 3= , P(T)= + =3 4

6 10 15

12 15 20解法一：(b)中得到的概率分布，可得：7 1 4 1 3 461×12+2×15+3×20=60-，一 -，一 -，一需要注意的是，这里得到的仅是最后一人离开需要时间的期望，还需把前面算出的“直到仅有名学生留在办公室时需要时间的期望”加上去，因此：ET=46+27=7360 60 60三位学生都离开办公室，需要时间的期望是73分钟。解法二：使用max和min的恒等关系式求解E[max(T1,T2,T3)]=