《数学（下册）（第二版）》 课件 第５章　常微分方程

常微分方程第5章230目录5.1可分离变量的微分方程5.2一阶线性微分方程5.3二阶常系数齐次线性微分方程231教学要求：1.理解微分方程的概念，理解常微分方程的阶、解、通解、初值条件和特解的概念.2.会求可分离变量的微分方程的通解和特解.3.理解一阶线性微分方程的概念，会求一阶线性微分方程的通解和特解.4.理解二阶常系数齐次线性微分方程及其特征方程的概念.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法和步骤.6.了解微分方程在实际问题中的具体应用.232５.1可分离变量的微分方程233微分方程的基本概念微分方程及微分方程的阶实例考察中的等式

都含有未知函数的导数（或微分），它们都是微分方程，由此，我们给出微分方程的定义．在微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶．234微分方程的解、通解与特解如果把一个函数代入微分方程后，能使方程两边恒等，则称此函数称为微分方程的解．微分方程的解有两种形式．如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的（即不可合并而使个数减少的）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解通常称为微分方程的通解；而不包含任意常数的解通常称为微分方程的特解．235微分方程的初值条件我们知道通解中的任意常数一旦由某种特定条件确定后，就得到微分方程的特解．一般地，用以确定通解中任意常数的特定条件称为微分方程的初值条件，初值条件通常以

的形式给出．由于一阶微分方程的通解只含一个任意常数，所以对于一阶微分方程，只需给出一个初值条件便可确定通解中的任意常数．同样，由于二阶微分方程的通解含有两个任意常数，所以对于二阶微分方程需给出两个初值条件236可分离变量的微分方程一般地，可分离变量的微分方程求解步骤如下：（1）把一个可分离变量的微分方程化为形如g（y）dy＝f（x）dx的方程，这一步骤称为分离变量；237（2）两边积分∫g（y）dy＝∫f（x）dx；（3）求出积分得通解G（y）＝F（x）＋C，其中，G（y），F（x）分别是g（y），f（x）的原函数，C是任意常数；（4）若方程给出初值条件，则可确定常数C，得到方程满足初值条件的特解．238239如果一阶微分方程

＝f（x，y）中的函数f（x，y）可以写成

的函数，即则称这样的方程为齐次方程．在齐次方程中变量x与y一般是不能直接分离的，而引进新的未知函数u

＝，即y＝ux，则代入齐次方程，得可以分离变量，得两边积分，求出积分后，再用代替u，便得齐次方程的通解．2405.2一阶线性微分方程241一阶线性微分方程的定义242一阶线性微分方程的解下面我们先来求与一阶非齐次线性微分方程相对应的齐次线性方程的解．显然，一阶齐次线性微分方程②是可分离变量的．分离变量，得243两边积分，得即得一阶齐次线性微分方程②的通解公式现在我们使用所谓“常数变易法”来求非齐次线性方程①的通解．我们把方程①所对应的齐次线性方程②的通解中的C换成x的未知函数u（x），从而得到244于是把y和

代入方程①，得整理，得即245对上式两边积分，得把上式代入y＝

，即得一阶非齐次线性方程①的通解公式或上述这种求微分方程解的方法，就是常数变易法．246容易看出，通解中的第一项就是方程①所对应的齐次线性方程②的通解，第二项就是原非齐次线性方程①的一个特解（它可以从通解中取C＝0得到）．由此可知，一阶非齐次线性方程的通解是由对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而构成的．2475.3

二阶常系数齐次线性微分方程248二阶常系数齐次线性微分方程的定义249二阶常系数齐次线性微分方程解的结构250定理（二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）设函数y1（x）与y2（x）是方程y″＋py′＋qy＝0的两个解，则函数y＝C1y1（x）＋C2y2（x）（C1，C2是任意常数）也是方程y″＋py′＋qy＝0的解，且当y1（x）与y2（x）线性无关时，y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是该方程的通解．251证明将y＝C1y1（x）＋C2y2（x）代入方程y″＋py′＋qy＝0，得[C1y1（x）＋C2y2（x）]″＋p[C1y1（x）＋C2y2（x）]′＋q[C1y1（x）＋C2y2（x）]＝C1[y1″（x）＋py1′（x）＋qy1（x）]＋C2[y2″（x）＋py2′（x）＋qy2（x）]＝0．所以，函数y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是方程y″＋py′＋qy＝0的解．因为y1（x）与y2（x）线性无关，且方程的解y＝C1y1（x）＋C2y2（x）中所含的任意常数的个数与方程的阶数相同，所以它是该方程的通解．252二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理告诉我们，欲求方程y″＋py′＋qy＝0①的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解．为此，我们来分析齐次线性方程①的特点．方程①的左边是y″，py′与qy三项之和，且右边为0，即满足方程①的函数y很可能与它的一阶导数y′，二阶导数y″只差一个常数因子，什么样的函数具有这样的特点呢?容易联想到指数形式的函数y＝erx（r为常数，它的各阶导数是函数erx

乘以一个常数因子）．253为此，我们设函数y＝erx为方程①的解，则y′＝rerx，y″＝r2erx．把y，y′，y″代入方程①，整理得（r2＋pr＋q）erx＝0．由于erx≠0，所以有r2＋pr＋q＝0．

②254这表明，只要常数r满足方程②，函数y＝erx就是二阶常系数齐次线性微分方程①的解．我们称一元二次方程r2＋pr＋q＝0为二阶常系数齐次线性微分方程①的特征方程．特征方程r2＋pr＋q＝0中，r2，r的系数及常数项，依次是微分方程①中y″，y′，y的系数．由一元二次方程的求根公式，可得特征方程r2＋pr＋q＝0的两个根（简称特征根）r1，r1．255y″＋py′＋qy＝０的通解的步骤如下．第一步写出特征方程r2＋pr＋q＝0．第二步求出特征方程的两个根r1