《数学实验 第4版》课件 第六章 方差分析

数学实验国家“十二五”规划教材山东省优秀教材一等奖2第六章方差分析实验6.1

单因素方差分析实验6.2双因素方差分析数学实验3实验6.1单因素方差分析数学实验一、方差分析概述二、单因素方差分析4实验6.1单因素方差分析方差分析(AnalysisOfVariance)是分析各类别自变量对数值因变量影响的一种统计方法.

方差分析是20世纪20年代由英国统计学家费雪（RonaldAylmerFisher）首先提出的，最初主要应用于生物和农业田间试验，以后推广到多个领域应用.

它是对多个方差相等的正态分布总体的均值是否相等进行检验，从而得出各个分布的均值是否有显著性差异.这样不但可以减少工作量，而且可以增加检验的稳定性.一、方差分析概述5实验6.1单因素方差分析例1某公司采用四种方式推销其产品，为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样如下（见表6.1）.试分析销售方式对销售量是否有显著影响(α=0.05).

序号销售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279总均值81.56实验6.1单因素方差分析1．方差分析中的常用术语

因素（Factor）是指影响试验指标的条件、原因等.在例1中销售方式即是因素.试验指标是指试验中所要考察的指标.在例1中产品的销售量就是试验指标.水平（Level）指因素的具体表现.如销售的四种方式就是四个水平.有时水平是人为划分的，比如质量被评定为好、中、差.如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析.如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分析.

如果一个单因素试验设计中任一因素各水平的数据个数相同，则称该试验是为均衡（Balance），否则，就被称为不均衡.7实验6.1单因素方差分析2．方差分析任务方差分析中的基本假定：各水平的数据来至相互独立且方差相等的各个正态分布的简单样本；

在实际应用中能够严格满足这些假定条件的客观现象是很少的，在社会经济现象中更是如此.但一般应近似地符合上述要求.否则会影响到判断结果.方差分析的任务是推断出对试验指标影响显著的因素.其方法是通过检验因素下不同水平的均值是否相等，从而推断出该因素对试验指标的影响是否显著.8实验6.1单因素方差分析二、单因素方差分析1．单因素方差分析的数学模型设因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，在水平Ai下的总体在水平Ai下进行ni次试验，i=1,2,…,r；假定所有试验都是相互独立.水平样本观测值平均值9实验6.1单因素方差分析1．单因素方差分析的数学模型因此，要检验的是

备择假设

原假设目的：根据这组样本观测值来检验因素A对试验指标的影响是否显著.如果因素A对试验结果的影响不显著，则所有样本就可以看作是来自同一个总体水平样本观测值平均值10实验6.1单因素方差分析2．构造检验F统计量设第i

组样本均值为即总的样本均值考察全体样本对总体样本均值的偏差的平方和，称为总偏差平方和记为即11实验6.1单因素方差分析12实验6.1单因素方差分析

它反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，它是由因素A取不同水平引起的，称为组间(偏差)平方和，也称为因素A的偏差平方和

它表示各水平下样本值与该水平下的样本均值之间的差异的总和，它是由随机误差引起的，称为误差(偏差)平方和，也称为组内(偏差)平方和.13实验6.1单因素方差分析就各组样本而言如果H0正确,所有样本xij来自同一个正态分布,且相互独立.14实验6.1单因素方差分析方差来源平方和自由度

值临界值显著性组间误差总计(3)当时，我们认为影响特别显著，用记号“**”表示.(2)当时，我们认为影响显著，用记号

“*”表示；(1)当时，我们认为影响不显著；如果H0正确,所有样本xij来自同一个正态分布,且相互独立.15实验6.1单因素方差分析例1某公司采用四种方式推销其产品，为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样如下（见表6.1）.试分析销售方式对销售量是否有显著影响(α=0.05).

序号销售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279总均值81.516变差来源平方和自由度F值临界值显著性列间(因素)列内(误差)6854983167.34**总计118319实验6.1单因素方差分析由于故应拒绝原假设，不同推销方式销量有特别显著差异，因此销售方式对销售量有特别显著影响.17实验6.1单因素方差分析3．单因素方差分析的MATLAB实现在MATLAB统计工具箱中单因素方差分析的命令是:anova是analysisofvariance(方差分析)的缩写，数字1表示单因素分析.

x是n*p数据矩阵，g是用于标识不同水平的数据的向量,均衡试验可以缺省;输出结果中，p是大于统计量F的观测值的概率，当p<α时，拒绝H0,

否则不能拒绝.[p,t,s]=anova1(x，g)t是方差分析表的文本数据,s是进行多重比较的结构数据.拒绝原假设后需要进行多重比较，以判断各水平之间差异的显著性.c=multcompare(s)其中输入变量s是anova1的输出结果s;输出结果c是两两显著性差异的比较.18实验6.1单因素方差分析如再解例1的程序：ｘ=[7786818883959278968971766881748084797082]'↙[p,t,s]=anova1(x);↙结果为：

由于p=0.0026<0.01，故应拒绝原假设，推销方式对销售量有特别显著影响.19实验6.1单因素方差分析从箱体图可知水平二的销售量最大.但是它们之间的这种差异是显著的吗?通过多重比较才可以知道.在命令窗口接着输入:c=multcompare(s)↙结果如下：c=1.00002.0000-17.0950-7.00003.09500.23471.00003.0000-1.09509.000019.09500.08941.00004.0000-6.09504.000014.09500.67492.00003.00005.905016.000026.09500.00172.00004.00000.905011.000021.09500.03043.00004.0000-15.0950-5.00005.09500.5073矩阵c中前两列是对比的因素水平号,第三列和第五列是差异的置信区间,第四列是区间中值.第六列是相应的两个水平均值检验时所得p值.p<0.05时差异显著.通过观察p值可知销售方式二和三,销售方式二和四差异是显著的.20也可以通过点击交互图，利用上面的提示来判断结果.综合判断可知销售方式二的销售量显著地不同于销售方式三和四的.21实验6.1单因素方差分析

例2

用四种不同的的工艺生产电灯泡，从各种工艺生产的电灯泡中分别抽取样品，并测的样品的使用寿命（单位：h）工艺A1A2A3A4样本观测值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680平均值1708163515401585检验这四种不同的工艺生产电灯泡的使用寿命是否有显著的差异（显著性水平0.05）.解其程序为x=[1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680];g=[1111122223334444];anova1(x,g)↙22实验6.1单因素方差分析输出结果为：ans=0.0331

因为0.01<p=0.0331<0.05,所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著的差异.进一步进行多重比较可知，A1工艺生产的灯泡的寿命最长.多重比较此处省略.23最后，说明一下关于水平数据正态性和方差相等的检验方法.

正态性检验方法:h=lillietest(x),当h=1时，检验结果为数据x不服从正态分布;h=0时，说明数据x服从正态分布.正态分布方差相等的检验方法:p=vartestn(X),当p>0.05,说明X各列数据的方差相等.应用方差分析前，对数据进行检验是必要的.文中为了重点说明方差分析的用法，把这些假设条件的检验都省略了.24第六章方差分析实验6.1

单因素方差分析实验6.2双因素方差分析数学实验25实验6.2双因素方差分析数学实验一、无交互作用的双因素方差分析二、有交互作用的双因素方差分析26实验6.2双因素方差分析一、无交互作用的双因素方差分析

在现实中，常常会遇到两个因素同时影响结果的情况.这就需要检验究竟一个因素起作用，还是两个因素都起作用，或者两个因素的影响都不显著.双因素方差分析有两种类型：

一种是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；

另一种是有交互作用的方差分析，它假定A、B两个因素不是独立的，而是相互起作用的，两个因素同时起作用的结果不是两个因素分别作用的简单相加，两者的结合会产生一个新的效应.27实验6.2双因素方差分析设因素取个水平，因素取个水平在水平组合下的总体若每一因素组合仅做一次试验，则称双因素无重复试验，记组合下的样本观测值为，结果如下：

因素因素

试验的任务就是要根据这些样本观测值来检验因素A或B对结果的影响是否显著.

28实验6.2双因素方差分析原假设是：因素A对试验指标没有显著影响；关于因素A的检验：备选假设是：因素A对试验指标有显著影响；关于因素B的检验：原假设是：因素B对试验指标没有显著影响；备选假设是：因素B对试验指标有显著影响；29实验6.2双因素方差分析设第i行样本均值为设第j列样本均值为总的样本均值考察全体样本对总体样本均值的偏差的平方和，总偏差平方和方差分析30实验6.2双因素方差分析因素A的偏差平方和因素B的偏差平方和误差平方和31实验6.2双因素方差分析如果原假设成立，则所有个样本可以看作是来自同一总体进一步可知：32实验6.2双因素方差分析方差来源平方和自由度

值临界值显著性因素A因素B误差总计方差分析表33则拒绝原假原假设，反之,则说明因素A对试验指标没有显著影响；

即因素A对试验指标有显著影响；则拒绝原假原假设，反之,则说明因素B对试验指标没有显著影响；

即因素B对试验指标有显著影响；34实验6.2双因素方差分析在MATLAB统计工具箱中双因素方差分析的命令是：p=anova2

例3

某公司想知道产品销售量与销售方式及销售地点是否有关，随机抽样得如表6.10所示资料，以0.05的显著性水平进行检验.地点一地点二地点三地点四地点五方式一7786818883方式二9592789689方式三7176688174方式四8084797082解x=[7786818883959278968971766881748084797082];p=anova2(x)↙注：这里省略了适用条件的检验.35实验6.2双因素方差分析结果为p=0.28810.0032结论：∵销售地点对销售量的影响不显著.销售方式对销售量有显著影响.36实验6.2双因素方差分析二、有交互作用的双因素方差分析设因素有个水平，因素有个水平，共有个组合处理，每一处理组合

(;)有个观测值(有重复观测)，则全部试验共有个观测值.因为水平下的样本与总体服从同一分布，所以

试验的任务就是要根据这些样本观测值来检验因素A、B及其交互作用对试验的结果的影响是否显著.

37实验6.2双因素方差分析

因素B因素A数据结构38实验6.2双因素方差分析原假设是：因素A对试验指标没有显著影响；关于因素A的检验：备选假设是：因素A对试验指标有显著影响；关于因素B的检验：原假设是：因素B对试验指标没有显著影响；备选假设是：因素B对试验指标有显著影响；关于因素AB交互作用的检验：原假设是：因素AB交互作用对试验指标没有显著影响；备选假设是：因素AB交互作用对试验指标有显著影响；39实验6.2双因素方差分析第行第列的个样本的均值

第行的所有个的均值为第列的所有个的均值为总的样本均值考察全体样本对总的样本均值的偏差平方和(称为总偏差平方和)方差分析40实验6.2双因素方差分析因素A的偏差平方和因素B的偏差平方和因素A与B的偏差平方和误差平方和41实验6.2双因素方差分析可以证明42实验6.2双因素方差分析方差来源平方和自由度F值临界值显著性因素A因素B交互作用A×B误差总计双因素等重复试验的方差分析表43则拒绝原假原假设，反之,则说明因素A对试验指