微积分 第3版 课件 6.4 广义积分_第1页
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6.4

广义积分

本章的前几节我们讨论了有界函数在有限闭区间上的定积分，可以称之为常义积分。这一节我们将把定积分的定义从有限区间推广到无限区间，从有界函数推广到无界函数，这就是所谓的广义积分（也有人称之为反常积分）.

6.4.1无限区间上的广义积分定义

设函数在区间上连续,称为函数f(x)在区间上的广义积分.否则,称广义积分发散.极限

存在,称广义积分收敛;极限

存在,称广义积分收敛;为函数在区间上的广义积分.设函数在区间上连续,

则称否则,称广义积分发散.设函数在区间上连续,称在区间上的广义积分,为函数否则,称广义积分发散.如果

都收敛,称广义积分收敛;设是的一个原函数,则例6.21

计算解或写为解当

时广义积分发散.因此,当

时广义积分收敛,其值为例

6.22

讨论广义积分的收敛性.(1)当

p≠1时(2)当

p

=1时计算解练习6.4.2无界函数的广义积分(瑕积分)定义

设函数在区间(a,b]上连续,称为

在区间(a,b]的广义积分,否则,称广义积分发散.如果

存在,则称广义积分

收敛;如果函数在点a的任意邻域无界,则称点a是的一个瑕点.点a是的一个瑕点.如果

存在,称广义积分收敛；

为函数在区间[a,b)的广义积分,设函数在区间[a,b)上连续，否则,称广义积分发散.

点

b是的一个瑕点.称否则,称广义积分

发散.设函数在

上连续,

为

在区间[a,b]的广义积分.如果

都存在,则称在[a,b]上无界函数

的广义积分

收敛;点c是的一个瑕点.解例

6.23

讨论广义积分的收敛性.因此,当

时广义积分收敛,其值为当

时广义积分发散.(1)当

p≠1时(2)当

p

=1时解例

6.24

计算广义积分是瑕点.解例6.25

计算广义积分是瑕点.

练习

计

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