微积分 第3版 课件 7第二节 偏导数_第1页
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7.2偏导数7.2.1偏导数的概念及其计算法

例如,二元函数

z=f(x,y),先让

y固定

(即y视为常数),这时z就是

x的一元函数,z对

x的导数,为了一元函数的变化率,我们引入了导数的概念.对于多元函数,我们先考虑它关于一个自变量的变化率.称为二元函数

z

对

x的偏导数.设二元函数z=f(x,y),P0(x0,y0)为平面上一点.定义7.3如果z=f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点即极限存在,则称此极限为函数对x的偏导数,记为或可导,同理,可定义函数

在点

处对y的偏导数为记为或的偏导数,

如果函数

z=f(x,y)在区域D内任一点

(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y同理,可以定义函数

对自变量

y数,简称偏导数.的函数,称其为函数z=f(x,y)对自变量

x的偏导函记作或记作或求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数只需将y看作常量,的求导法对x求导即可.解例1求

在点

处的偏导数．证证毕．例2

设证明偏导数的概念可以推广到二元以上函数如

在

处

解利用函数关于自变量的对称性,有例3

求的偏导数．证例4

已知理想气体的状态方程(R

为常数),求证:有关偏导数的几点说明：例解1.偏导数

是一个整体记号,不能拆分;2.分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;按定义得3.偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在

连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，在(0,0)处,例如,函数例5研究函数在(0,0)点的解因为连续性与可导性.

所以,函数在(0,0)点连续.

而所以,设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义7.2.2偏导数的几何意义可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.例6求曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角.解设纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.7.2.3高阶偏导数函数的二阶偏导数为解例7

设求一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏在区域D内连续,定理7.1那么在导数该区域内如问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件

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