2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.2第2课时组合的综合应用学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次课时组合的综合应用内容标准学科素养1.能应用组合学问解决有关组合的简洁实际问题．2.能解决有限制条件的组合问题.利用数据分析建立数学建模提升数学运算授课提示：对应学生用书第14页[基础相识]学问点组合的特点学问梳理1.组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．2．组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究依次，没有位置的要求．3．相同的组合依据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管依次如何)，就是相同的组合．[自我检测]1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在选择5名选手参与竞赛，种子选手必需在内，那么不同选法共有()A．26种 B．84种C．35种 D．21种答案：C2．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．答案：10授课提示：对应学生用书第14页探究一有限制条件的组合问题[阅读教材P24例8]在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中随意抽出3件，(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？题型：有限制条件的组合问题方法步骤：对于(1)是无限制条件的组合问题，由组合数公式即可．对于(2)是“恰好”有几个的组合问题，分两步完成这件事．对于(3)是“至少”“至多”型的组合问题，分类完成这件事或者用间接法．[例1]课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．[解析](1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(种)．(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有Ceq\o\al(4,12)＝495(种)选法，其次类女队长没当选，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．方法技巧有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用干脆分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是干脆分类法，但要留意分类要不重不漏；二是间接法，留意找准对立面，确保不重不漏．跟踪探究1.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有Ceq\o\al(2,4)种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有Ceq\o\al(4,6)种选法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90种抽调方法．(2)(干脆法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)种选法；②选3名外科专家，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,6)种选法；③选4名外科专家，共有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,6)种选法，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,6)＝185种．(3)至多有2名外科专家的抽调方法有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)＝115种．探究二几何中的组合问题[阅读教材P24例7](1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中第2个点为端点的有向线段共有多少条？题型：与几何图形有关的组合问题方法步骤：(1)一条线段就是两个点的一个组合．由组合数公式得共有Ceq\o\al(2,10)条线段．(2)一条有向线段就是两个点的一个排列．由排列数公式得共有Aeq\o\al(2,10)条有向线段．[例2]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[解析]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,8)＝48个不同的三角形；其次类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8)＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(3,8)＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二：(间接法)：从12个点中随意取3个点，有Ceq\o\al(3,12)＝220种取法，而在共线的4个点中随意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的状况有Ceq\o\al(3,4)＝4种．故这12个点构成三角形的个数为Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,4)＝216个．方法技巧解答几何组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的学问和空间想象实力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列组合．这类问题情境新奇，多个学问点交汇在一起综合性强．(2)解答几何组合问题的思索方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．(3)计算时可用干脆法，也可用间接法，要留意在限制条件较多的状况下，须要分类计算符合题意的组合数．跟踪探究2.(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱的中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解析：(1)如图所示，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中随意取出3个点必与点A共面，共有3Ceq\o\al(3,5)种取法；在含顶点A的3条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．依据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33(种)．(2)如图所示，从10个点中取4个点的取法有Ceq\o\al(4,10)种，减去4点共面的取法种数就可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面，有4Ceq\o\al(4,6)＝60(种)；四面体的每一条棱上的3个点与相对的棱的中点共面，共有6种共面状况；从6条棱的6个中点中取4个点时有3种共面状况(对棱中点连线两两相交且相互平分)．故4点不共面的取法有Ceq\o\al(4,10)－(60＋6＋3)＝141(种)．探究三分组、安排问题[例3]6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的安排方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．[解析](1)每组2本，均分为3组的方法数为eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝eq\f(15×6×1,6)＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝20×3＝60.(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝eq\f(15×2,2)＝15.方法技巧“分组”与“安排”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全匀称分组，每组的元素个数均相等；②部分匀称分组，应留意不要重复，有n组匀称，最终必需除以n！；③完全非匀称分组，这种分组不考虑重复现象．(2)安排问题属于“排列”问题，安排问题可以按要求逐个安排，也可以分组后再安排．跟踪探究3.6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的安排方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本．解析：(1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向安排问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(种)不同的安排方法；(2)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法；(3)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝30(种)不同的安排方法．(4)(5)(6)属于不定向安排问题，是该类题中比较困难的问题．安排给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．事实上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数Aeq\o\al(3,3)即可．因此，(4)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)÷Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝90(种)不同的安排方法；(5)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝360(种)不同的安排方法；(6)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)÷Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＝90(种)不同的安排方法．探究四排列、组合的综合应用[阅读教材P28习题1.2B组3题]从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？解析：分三步：第一步：从1,3,5,7,9中任取3个数字，有Ceq\o\al(3,5)种取法．其次步：从2,4,6,8中任取2个数字有Ceq\o\al(2,4)种取法．第三步：将取出的5个数字全排列有Aeq\o\al(5,5)种排法．共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝7200个没有重复数字的五位数．[例4]有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．假如取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？[解析]分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)种．其次类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)种．故满意题意的全部不同的排法种数为Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋2Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432.方法技巧解答排列、组合综合问题的思路及留意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要留意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的困难问题，应仔细分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪探究4.某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的安排方案种数为________．解析：先分组再安排第一步分组：有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))，其次步安排：有Aeq\o\al(3,3)种，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝36(种)，∴不同的安排方案种数为36.答案：36授课提示：对应学生用书第16页[课后小结](1)无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：①推断；②转化；③求值；④作答．(2)有限制条件的组合应用题：①“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特别元素和特别位置，一般来讲，特别要先满意，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，找寻问题的突破口，即采纳解除法．解题时要留意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的准确含义，精确把握分类标准．②几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．③分组、安排问题：分组问题和安排问题是有区分的，前者组与组之间只要元素个数