《4.5相似三角形的性质及其应用》知识清单

《4.5相似三角形的性质及其应用》知识清单#浙教版（2012）九年级上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用知识清单##一、相似三角形性质的基础认知1、**相似比的概念**-相似三角形对应边的比叫做相似比。比如说，有两个相似三角形，一个小三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，另一个大三角形与它相似，对应边分别是6厘米、8厘米、10厘米，那这个相似比就是2，因为大三角形的边是小三角形对应边的2倍。-相似比是有顺序的哦。如果说三角形ABC相似于三角形DEF，AB与DE是对应边，AB=3，DE=6，那么从三角形ABC到三角形DEF的相似比就是1:2；要是从三角形DEF到三角形ABC的相似比就是2:1。2、**相似三角形周长的关系**-相似三角形周长的比等于相似比。就像刚刚那两个三角形，小三角形周长是3+4+5=12厘米，大三角形周长是6+8+10=24厘米，24÷12=2，这个2就是相似比，和我们之前算的相似比是一样的。-假设三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k，AB=a，BC=b，AC=c，A'B'=ka，B'C'=kb，A'C'=kc，那么三角形ABC的周长是a+b+c，三角形A'B'C'的周长是ka+kb+kc=k(a+b+c)，所以它们周长的比就是k，也就是相似比。3、**相似三角形面积的关系**-相似三角形面积的比等于相似比的平方。这就有点意思了，还是那两个三角形，我们可以通过面积公式来算一下。小三角形面积可以用海伦公式（假设这里我们用这个公式方便计算），先算半周长p=(3+4+5)÷2=6厘米，面积S=sqrt(p(p-3)(p-4)(p-5))=6平方厘米。大三角形半周长p'=(6+8+10)÷2=12厘米，面积S'=sqrt(p'(p'-6)(p'-8)(p'-10))=24平方厘米。24÷6=4，而相似比是2，2的平方就是4，正好符合面积比等于相似比的平方。-从原理上讲，三角形的面积公式是S=1/2*底*高。对于相似三角形，底的比是相似比，高的比也是相似比。假设三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k，三角形ABC的底为b，高为h，三角形A'B'C'的底为kb，高为kh，那么三角形ABC的面积S=1/2*b*h，三角形A'B'C'的面积S'=1/2*kb*kh=k²*1/2*b*h，所以面积比就是k²，也就是相似比的平方。##二、相似三角形性质的应用1、**在实际测量中的应用**-比如我们要测量一个池塘的宽度。我们可以在池塘的一边找一个点A，在池塘对岸找一个能看到的点B，然后在A点的这一侧找一个点C，使得三角形ABC能够构成一个三角形。再在AC这条边上找一个点D，使得三角形ABD和三角形DBC相似。-我们可以测量出AD、DC和BD的长度。假设AD=3米，DC=6米，BD=4米。因为三角形ABD相似于三角形DBC，根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以得到AB/BD=BD/BC。设AB=x米，BC=y米，就有x/4=4/6，这样就能算出x的值，也就是池塘的宽度了。2、**在几何证明中的应用**-已知有两个相似三角形ABC和DEF，要证明某些线段的比例关系。比如说要证明AB/DE=AC/DF。因为三角形ABC相似于三角形DEF，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AB/DE=BC/EF=AC/DF，这样就可以证明出来了。-再比如，已知在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，且三角形ADE相似于三角形ABC。要证明AD*AC=AE*AB。因为三角形ADE相似于三角形ABC，所以AD/AB=AE/AC，交叉相乘就得到AD*AC=AE*AB。3、**在解决图形面积问题中的应用**-有一个大的三角形ABC，里面有一个小三角形ADE，三角形ADE相似于三角形ABC。已知三角形ABC的面积是36平方厘米，相似比是1/3。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，设三角形ADE的面积为S，那么S/36=(1/3)²，S=36×(1/9)=4平方厘米。-又比如，有两个相似的多边形，一个是四边形ABCD，一个是四边形A'B'C'D'，相似比为2。已知四边形ABCD的面积是10平方厘米，要求四边形A'B'C'D'的面积。因为相似多边形面积比等于相似比的平方，设四边形A'B'C'D'的面积为S'，则10/S'=(1/2)²，S'=40平方厘米。##三、相似三角形性质应用的易错点1、**相似比与周长、面积关系的混淆**-好多同学容易把相似三角形面积比和周长比搞混。就像前面说的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我有个同学，在做一道题的时候，已知两个相似三角形相似比是3，他算面积比的时候也写成3，这就错了，应该是3²=9。-还有一种情况，给了周长比，让求面积比。比如周长比是2，那相似比就是2，面积比就是2²=4，可有些同学就直接用周长比当面积比，这是要特别注意的。2、**对应边的错误判断**-在相似三角形中，正确判断对应边是很重要的。有一次考试，有个图形里有好几个相似三角形，题里让根据相似三角形的性质求线段长度。有个同学没有找准对应边，把不对应的边当成对应边来列比例式，结果算出的答案完全不对。比如说三角形ABC和三角形DEF相似，角A和角D对应，角B和角E对应，角C和角F对应，AB和DE是对应边，BC和EF是对应边，AC和DF是对应边。要是把AB和EF当成对应边来做题，那就大错特错了。3、**应用相似性质时条件的缺失**-在证明两个三角形相似并应用相似性质的时候，一定要先证明相似的条件是满足的。我看到过这样一道题，直接就用相似三角形面积比等于相似比的平方这个性质来解题，但是前面并没有证明这两个三角形是相似的。就好像盖房子没有打地基，肯定是不行的。要先通过角相等或者边成比例等条件证明三角形相似，然后才能应用相似三角形的性质。##四、相似三角形性质相关的习题1、已知三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为2，三角形ABC的周长为18厘米，求三角形A'B'C'的周长。-答案：因为相似三角形周长的比等于相似比，已知相似比为2，三角形ABC周长为18厘米，设三角形A'B'C'的周长为x厘米，则18/x=1/2，解得x=9厘米。2、两个相似三角形面积比为9:16，求它们的相似比。-答案：因为相似三角形面积比等于相似比的平方，设相似比为k，则k²=9/16，解得k=3/4。3、在三角形ABC中，DE平行于BC，AD=2厘米，DB=3厘米，三角形ADE的面积为4平方厘米，求三角形ABC的面积。-答案：因为DE平行于BC，所以三角形ADE相似于三角形ABC，相似比为AD/AB=2/(2+3)=2/5。因为相似三角形面积比等于相似比的平方，设三角形ABC的面积为S平方厘米，则4/S=(2/5)²，解得S=25平方厘米。4、已知两个相似多边形，相似比为1:3，其中一个多边形的周长为12厘米，求另一个多边形的周长。-答案：分两种情况。如果已知周长的多边形是较小的那个，设另一个多边形的周长为x厘米，则12/x=1/3，解得x=36厘米；如果已知周长的多边形是较大的那个，设另一个多边形的周长为y厘米，则y/12=1/3，解得y=4厘米。5、三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，