《4.最大(小)值和值城》导学案

《4.最大(小)值和值城》导学案一、学习目标1、同学们要能准确说出余弦函数的最大值和最小值，就像能清楚说出自己最喜欢的动漫角色的特点一样熟练。2、可以独立求出给定余弦函数表达式的最大值、最小值和值域，就像自己能独立算出买东西找零一样有把握。3、学会通过分析余弦函数图象来理解它的最值和值域，就像通过看地图了解一个地方的地形一样直观。二、知识链接同学们，咱们之前已经学习过正弦函数的图象与性质啦，就像我们之前已经认识了一个好朋友，现在又要认识他的兄弟余弦函数。咱们已经知道正弦函数的图象像波浪一样起伏，在一定的范围内有最大值和最小值。那余弦函数呀，和正弦函数有很多相似的地方呢。就好比双胞胎，虽然有不同之处，但也有很多共同的特征。咱们就利用已经知道的正弦函数的知识来帮助咱们理解余弦函数的最大（小）值和值域吧。三、知识预习1、咱们先回顾一下余弦函数的表达式，余弦函数可以写成y＝cosx，这里的x可以取任意实数，就像你在生活中可以遇到各种各样的事情一样。2、那余弦函数的值域呢？它的值域是－1,1。这就好比是一个小宠物的活动范围，它只能在这个范围内活动。那什么时候取到最大值呢？当x＝2kπ，k∈Z的时候，余弦函数y＝cosx取到最大值1，这就像小宠物在特定的地点能得到最多的食物一样。3、什么时候取到最小值呢？当x＝（2k＋1)π，k∈Z的时候，余弦函数取到最小值－1，就像小宠物在某个不太好的地方得到最少的食物。4、现在咱们来看看如果余弦函数的表达式稍微复杂一点，比如说y＝Acos(ωx＋φ)＋B（这里A、ω、φ、B都是常数哦）。那它的最大值就是A＋B，最小值就是A＋B，值域就是A＋B,A＋B。咱们可以想象这个函数就像是给原来的余弦函数穿上了不同的衣服，但是它的本质还是余弦函数，所以最值和值域的求法还是有规律可循的。我给大家讲个我自己的事情吧。我之前在整理书架的时候，发现有很多不同版本的数学教材。就像余弦函数有不同的表达式一样，虽然外表看起来有点乱，但是只要我按照一定的规则去整理，比如按照出版年份或者学科内容，就能把它们整理得井井有条。学习余弦函数的性质也一样，只要咱们按照规律去分析，就能轻松掌握。四、学习活动（一）阅读与思考1、认真阅读教材中关于余弦函数最大值、最小值和值域的部分，就像读一个精彩的故事一样，一边读一边在脑海里想象余弦函数的图象是怎么随着自变量x的变化而变化的。2、读完之后，思考这个问题：如果把余弦函数的图象沿着y轴方向拉伸或者压缩，它的最大值、最小值和值域会怎么变化呢？就像如果把小宠物的活动范围变大或者变小，它能到达的最远距离和最近距离会怎么改变呢？（二）小组讨论1、分组讨论这个问题：在实际生活中，有没有什么现象可以用余弦函数的最大值和最小值来描述呢？比如说，像摩天轮的高度变化，它的高度可能就和余弦函数有相似的变化规律哦。每个小组至少要想出一个例子，然后大家一起分享。2、讨论一下如何快速判断一个复杂的余弦函数表达式的最大值、最小值和值域。小组内可以互相出题考考对方，就像玩游戏一样，看谁回答得又快又准。五、学习指导（一）问题启发1、当我们看到一个余弦函数表达式，比如y＝3cos(2xπ/3)＋1，首先我们要关注什么呢？对啦，要先看A、ω、φ、B的值。那这里的A是多少呢？（答案：3），ω呢？（答案：2），φ呢？（答案：π/3），B呢？（答案：1）。2、那根据我们前面学的知识，这个函数的最大值怎么求呢？提示一下，就用我们前面说的公式A＋B，那就是3＋1＝4。最小值呢？用A＋B，也就是－3＋1＝－2。值域就是－2,4。3、如果一个余弦函数的图象向上平移了2个单位，向下平移了3个单位，它的最大值、最小值和值域会怎么变呢？这就像小宠物的家换了个位置，它的活动范围会怎么改变呢？大家可以先画个简单的草图来帮助自己理解哦。（二）小提示1、同学们在求复杂余弦函数的最值和值域的时候，一定要把函数表达式和咱们学的公式y＝Acos(ωx＋φ)＋B对应起来，不要弄混了各个参数哦。2、如果遇到困难，可以多回顾一下余弦函数的基本图象，就像迷路的时候看看地图一样，图象能给我们很多有用的信息。六、练习题（一）基础题1、求余弦函数y＝cos(x＋π/4)的最大值、最小值和值域。2、对于函数y＝2cos(3x)1，说出它的最大值和最小值分别是多少，值域是什么。（二）提高题1、已知函数y＝acos(bx＋c)＋d（a≠0），当a＝2，b＝1，c＝π/6，d＝3时，求这个函数的最大值、最小值和值域。2、若函数y＝5cos(2xπ/2)＋k的值域是－2,8，求k的值。（三）拓展题1、一个余弦函数的图象经过点（0,3)，并且它的最大值是5，最小值是1，请写出这个余弦函数的表达式。2、观察余弦函数y＝cosx在区间0,2π上的图象，思考如何通过图象平移得到一个值域为0,2的余弦函数图象？并写出这个函数的表达式。七、答案以及解析（一）基础题1、对于函数y＝cos(x＋π/4)，因为余弦函数的值域是－1,1，所以这个函数的最大值是1，最小值是－1，值域是－1,1。2、对于函数y＝2cos(3x)1，根据公式，最大值为A＋B＝2＋（－1)＝1，最小值为A＋B＝－2＋（－1)＝－3，值域是－3,1。（二）提高题1、当a＝2，b＝1，c＝π/6，d＝3时，函数y＝2cos(x＋π/6)＋3。最大值为A＋B＝2＋3＝5，最小值为A＋B＝－2＋3＝1，值域是1,5。2、对于函数y＝5cos(2xπ/2)＋k，最大值为5＋k，最小值为－5＋k。因为值域是－2,8，所以可得方程组＼begin{cases}5＋k＝8\＼－5＋k＝－2\end{cases}，解得k＝3。（三）拓展题1、设函数表达式为y＝Acos(ωx＋φ)＋B。因为最大值是5，最小值是1，所以＼begin{cases}A＋B＝5\＼A＋B＝1\end{cases}，解得A＝2，B＝3。又因为图象经过点（0,3)，所以3＝2cos(φ)＋3，即cos(φ)＝0，可以取φ＝π/2，则函数表达式为y＝2cos(x＋π/2)＋3。2、余弦函数y＝cosx在区间0,2π上的值域是－1,1。要得到值域为0,2的余弦函数图象，可以将y＝cosx向上平移1个单位，得到y