《6.2.1向量基本定理》导学案

《6.2.1向量基本定理》导学案一、学习目标1、咱得知道向量基本定理是啥玩意儿，就像你知道你家小区门口有个超市一样熟悉。能够清楚地说出这个定理的内容，还能把这个定理里涉及到的那些向量关系搞明白。2、学会怎么用向量基本定理去表示其他向量，这就好比你学会用钥匙开你家的门一样，要熟练掌握这个技能哦。3、能够在一些具体的数学问题里，比如说给你几个向量，你能根据向量基本定理来分析和解决问题，就像你在生活中解决遇到的小麻烦一样。二、知识回顾咱们先想想以前学过的向量知识。1、向量是啥呢？它既有大小又有方向。就像你走路，你朝哪个方向走，走了多远，这就可以用向量来表示。比如说你从家去学校，这个过程就可以看作是一个向量，家是起点，学校是终点，你走的路线就是向量的方向，从家到学校的距离就是向量的大小。2、那向量的加法和减法大家还记得不？向量加法就像是两个人一起拉一个东西，力量合起来了。向量减法呢，就好像一个人比另一个人多出来的那部分力量。三、新课学习（一）向量基本定理的内容1、先给大家讲个事儿啊。我有一次在公园里看到一群小朋友在玩一个游戏。他们把很多小木棍摆成不同的形状，然后规定了一个方向是正方向。这就有点像向量的概念呢。在数学里啊，向量基本定理是这样的：如果两个向量e1，e2不共线，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1+λ2e2。这就好比在那个游戏里，每个形状都可以用特定数量的某种小木棍（e1和e2就像特定的小木棍）按照一定的规则（λ1和λ2就是规则）组合起来。2、这里有几个重点要注意哦。首先，e1和e2不共线这个条件很重要，就像那两种小木棍得是不同方向的，要是共线了，那就不能表示平面内所有的向量啦。比如说，如果两根小木棍是平行放着的，那很多其他方向的形状就没法用这两根小木棍组合表示了。其次，有且只有一对实数λ1，λ2，这个唯一性也很关键。就像每个形状用那两种小木棍组合的时候，只能有一种组合方式才能得到这个形状，不能有两种不同的组合得到一模一样的形状。（二）向量基本定理的理解1、咱们来做个小讨论。想象一下，咱们现在是一群小蚂蚁，e1和e2是我们找到的两种特殊的路径，这两种路径方向不一样，而平面内的任何一个地方（用向量a表示）我们小蚂蚁都可以通过先走一定倍数（λ1）的e1路径，再走一定倍数（λ2）的e2路径到达。大家讨论一下，怎么才能更好地理解这个定理呢？可以结合我们刚刚说的小蚂蚁的例子哦。2、学习指导：启发性问题：如果有一个向量a特别长，那λ1和λ2可能会是什么样的情况呢？如果e1和e2之间的夹角特别小，对λ1和λ2又会有什么影响呢？提示：可以从向量的大小和方向的改变去思考这些问题哦。（三）用向量基本定理表示向量1、咱们来看个例子啊。已知向量e1＝（1,0)，e2＝（0,1)，向量a＝（3,4)。那根据向量基本定理，我们要找到λ1和λ2，使得a＝λ1e1+λ2e2。那其实就是解方程组，因为e1＝（1,0)，e2＝（0,1)，所以a＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)＝（λ1,0)＋（0,λ2)＝（λ1,λ2)。那这样就得到λ1＝3，λ2＝4啦。2、再给大家一个练习。已知向量e1＝（2,1)，e2＝（1,3)，向量a＝（5,7)，大家试着用向量基本定理求出λ1和λ2的值。四、难点突破（一）确定基底向量1、在向量基本定理里，e1和e2这两个向量是很关键的，我们把它们叫做基底向量。那怎么确定合适的基底向量呢？这就像你要盖房子，得选合适的砖头一样。比如说在一个平行四边形里，如果我们知道了相邻两边的向量，那这两个向量就可以作为基底向量来表示这个平行四边形里的任何向量。2、学习指导：启发性问题：如果给你一个三角形，你怎么选择基底向量呢？如果向量都在一条直线上，还能按照向量基本定理找基底向量吗？提示：可以从三角形的边或者角的关系去思考选择基底向量的方法，而如果向量都在一条直线上，那就不符合向量基本定理里e1和e2不共线的条件啦，所以不能按照这个定理找基底向量。（二）共线向量与向量基本定理的关系1、大家要注意啊，当向量a与e1或者e2共线的时候，这个情况有点特殊。比如说，如果a与e1共线，那λ2就等于0啦，就好像小蚂蚁只沿着e1这一种特殊路径走，不需要走e2路径了。2、咱们来做个小测试。已知向量e1＝（3,2)，向量a＝（6,4)，判断a和e1的关系，并且根据向量基本定理分析一下。五、练习题（一）基础练习1、已知向量e1＝（1,2)，e2＝（2,1)，向量a＝（5,3)，求满足a＝λ1e1+λ2e2的λ1和λ2的值。2、判断对错：如果e1和e2共线，那么对于平面内任意向量a，也能用a＝λ1e1+λ2e2表示。（）3、若向量e1＝（1,0)，e2＝（0,1)，向量a＝（2,3)，则λ1＝，λ2＝。（二）提升练习1、在三角形ABC中，向量AB＝（2,3)，向量AC＝（1,1)，设向量AD是角A的平分线向量，用向量AB和向量AC作为基底向量表示向量AD。2、已知向量e1，e2不共线，且3λ1e1+（10λ2)e2＝4λ1e1+2λ2e2，求λ1和λ2的值。（三）拓展练习1、设向量e1，e2是平面内一组基底向量，已知向量AB＝e1ke2，向量CB＝2e1+e2，向量CD＝3e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值。2、给定一个平面向量场，向量a(x,y)＝（x＋y,xy)，能否找到两个基底向量e1和e2，使得对于平面内任意点(x,y)对应的向量a都能用e1和e2表示？如果能，找出这两个基底向量；如果不能，说明理由。六、答案以及解析（一）基础练习1、解：因为a＝λ1e1+λ2e2，即(5,3)＝λ1(1,2)＋λ2(2,1)＝（λ1＋2λ2,2λ1λ2)。则得到方程组：λ1+2λ2＝5，2λ1λ2＝3。由2λ1λ2＝3可得λ2＝2λ13，代入λ1+2λ2＝5中，得到λ1+2(2λ13)＝5，展开得到λ1＋4λ16＝5，5λ1＝11，λ1＝11/5。把λ1＝11/5代入λ2＝2λ13，得到λ2＝2×（11/5)－3＝22/515/5＝7/5。2、答案：错。解析：因为向量基本定理要求e1和e2不共线，如果e1和e2共线，就不能表示平面内所有向量了。3、解：因为a＝λ1e1+λ2e2，即(2,3)＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)＝（λ1,λ2)。所以λ1＝2，λ2＝3。（二）提升练习1、解：设向量AD＝λAB+（1λ)AC（因为AD在角A的平分线上，根据角平分线的向量性质可以这样设）。则AD＝λ(2,3)＋（1λ)（1,1)＝（2λ+（1λ)，3λ+（1＋λ)）＝（λ＋1,4λ1)。2、解：因为3λ1e1+（10λ2)e2＝4λ1e1+2λ2e2，移项得到3λ1e14λ1e1+（10λ2)e22λ2e2＝0，即λ1e1+（103λ2)e2＝0。因为e1，e2不共线，所以λ1＝0且103λ2＝0。解得λ1＝0，λ2＝10/3。（三）拓展练习1、解：因为BD＝CDCB＝（3e1e2)（2e1+e2)＝e12e2。又因为A，B，D三点共线，所以AB与BD共线。则存在实数μ，使得AB＝μBD，即e1ke2＝μ(e12e2)。所以1＝μ，k=－2μ，解得k＝2。2、解：设e1=（a,b)，e2=（c,d)。对于任意(x,y)，（x＋y,xy)＝λ1(a,b)＋λ2(c,d)＝（λ1a+λ2c,λ1b+λ2d)。则得到方程组：x＋y＝λ1a+λ2c，xy＝λ1b+λ2d。这个方程组对于任意的x,y都要成立。如果我们令a＝1,b