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文档简介
第十三章轴对称专项突破练5构造等腰三角形的常见辅助线类型1作底边中线、高(三线合一)1.
[2024周口月考]如图，等边三角形
ABC
的边长为12，
D
是
AC
边上一点，
AD
＝4，
DE
∥
AB
交
BC
于点
E
，连接
AE
，
F
是
BC
上的一点，
AF
＝
AE
，则
EF
的长为(
A
)A.4B.5C.2D.3A234567812.
[2023大连模拟]如图，在△
ABC
中，∠
C
＝90°，
CB
＝
CA
＝6，
F
是
AB
边上的中点，点
D
，
E
分别在
AC
，
BC
边上运动，且保持
AD
＝
CE
.
连接
DE
，
DF
，
EF
，则
△
CDE
面积的最大值为
.
23456781点拨：连接
CF
.
∵在△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
CB
＝
CA
＝6，点
F
是
AB
的中点，∴∠
FCB
＝∠
FCA
＝∠
A
＝45°，∴
CF
＝
AF
.
∵
AD
＝
CE
，∴△
ADF
≌△
CEF
，∴
S△
CEF
＝
S△
ADF
，∴
S四边形
CEFD
＝
S△
AFC
，∴
S△
CDE
＝
S四边形
CEFD
－
S△
DEF
＝
S△
AFC
－
S△
DEF
.
∵
S△
AFC
为定值，∴要使△
CDE
的面积最大，则需△
DEF
的面积最小.23456781
∵△
ADF
≌△
CEF
，∴
EF
＝
DF
，∠
CFE
＝∠
AFD
.
234567813.
如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
是
BC
的中点，过点
A
作
EF
∥
BC
，且
AE
＝
AF
.
求证：(1)
DE
＝
DF
；证明：(1)连接
AD
.
∵
AB
＝
AC
，点
D
为
BC
的中点，∴
AD
⊥
BC
，∴∠
ADB
＝90°.∵
EF
∥
BC
，∴∠
DAF
＝∠
ADB
＝90°，∴
AD
⊥
EF
.
∵
AE
＝
AF
，∴
AD
垂直平分
EF
，∴
DE
＝
DF
.
234567813.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过
点A
作EF∥BC，且AE＝AF.
求证：(2)BG＝CH.
23456781类型2作平行线4.
如图，点
D
在等边三角形
ABC
的边
AB
上，延长
BC
至点
E
使
CE
＝
AD
，连接
DE
，交
AC
于点
F
.
求证：
FE
＝
FD
.
23456781
234567815.
[2024沧州期末]如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
为
CA
延长线上一点，且
DE
⊥
BC
交
AB
于点
F
.
若
AD
＝
AF
，
F
为
AB
的中点.求证：
DF
＝2
FE
.
23456781
23456781类型3截长补短法作辅助线6.
[2023秦皇岛模拟]如图，在△
ABC
中，∠
B
＝2∠
C
，∠
BAC
的平分线
AD
交
BC
于点
D
.
求证：
AB
＋
BD
＝
AC
.
23456781
234567817.
如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
是△
ABC
外一点，且
∠
ABD
＝60°，∠
ACD
＝60°.求证：
BD
＋
DC
＝
AB
.
23456781证明：如图，延长
BD
到点
F
，使
BF
＝
BA
，连接
AF
，
CF
.
∵∠
ABD
＝60°，∴△
ABF
为等边三角形，∴
AF
＝
AB
＝
BF
，∠
AFB
＝60°，∵
AB
＝
AC
，∴
AF
＝
AC
，∴∠
ACF
＝∠
AFC
.
又∵∠
ACD
＝60°，∴∠
AFB
＝∠
ACD
＝60°，23456781∴∠
DFC
＝∠
DCF
，∴
DC
＝
DF
.
∴
BD
＋
DC
＝
BD
＋
DF
＝
BF
＝
AB
，即
BD
＋
DC
＝
AB
.
23456781类型4倍长中线法作辅助线8.
[2024北京西城区期末]在△
ABC
中，
AB
＜
AC
，点
D
在
△
ABC
的内部，
CD
＝
AB
，∠
DBA
＝∠
DCA
.
(1)如图①，线段
BD
的延长线交
AC
于点
E
，且
BE
⊥
AC
.
①求∠
DAE
的度数；②用等式表示线段
AC
，
BD
，
DE
之间的数量关系，
并说明理由.23456781(1)解：①∵
BE
⊥
AC
，∴∠
AEB
＝∠
DEC
＝90°.∵
AB
＝
DC
，∠
EBA
＝∠
ECD
，∴△
AEB
≌△
DEC
(AAS)，∴
AE
＝
DE
，∴∠
DAE
＝∠
ADE
＝45°.②
AC
＝
BD
＋2
DE
.
理由如下：∵△
AEB
≌△
DEC
，∴
BE
＝
CE
.
∵
AE
＝
DE
，
AC
＝
CE
＋
AE
，
BE
＝
BD
＋
DE
，∴
AC
＝
BE
＋
DE
＝
BD
＋2
DE
.
234567818.
[2024北京西城区期末]在△
ABC
中，
AB
＜
AC
，点
D
在
△
ABC
的内部，
CD
＝
AB
，∠
DBA
＝∠
DCA
.
(2)如图②，点
F
在线段
DB
的延长线上，连接
CF
，交射
线
AD
于点
M
，且
M
为
CF
的中点.
求证：
DF
＝
AC
.
23456781(2)证明：如图，延长
AM
到点
N
，使
MN
＝
AM
，连接
FN
，在
CA
上截取
CP
＝
BD
，连接
DP
.
∵
M
为
CF
的中点，∴
MF
＝
MC
.
又∵∠
FMN
＝∠
CMA
，
MN
＝
MA
，∴△
FMN
≌△
CMA
，∴
FN
＝
AC
，∠
FNM
＝∠
CAM
.
23456781∵
AB
＝
DC
，∠
DBA
＝
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