第26讲三角函数的图象与性质

第26讲三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)考点1三角函数的定义域[名师点睛]三角函数的定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．[典例]1.（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，得，则．故选：B．2.（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，函数有意义，则满足，即解得，所以函数的定义域.故选：A.3.（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是________.【答案】【解析】由已知，得，即，则.因此，函数的定义域为.故答案为：．[举一反三]1.（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（）A． B．且C． D．或【答案】C【解析】解：由，得，∴且．∴函数的定义域为．故选：C．2.（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是____________．【答案】【解析】解：因为，所以，即，即，解得，故函数的定义域为故答案为：考点2三角函数的单调性[名师点睛]1.求三角函数单调区间的方法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．2.已知函数单调性求参数(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．(2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．[典例]1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的单调递减区间即函数的单调递增区间，令,解不等式得到，令得，，所以是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【解析】，令，解得，.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】解：令，解得，所以函数的单调递增区间为，，故选：C4．（2022·湖南娄底·高三期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象.因为，所以，因为在上单调递减，所以，，所以的最大值为.故选：B.5.（2022·安徽宣城·二模（文））已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上为减函数，且，所以，所以，即，因为在上为减函数，且，所以，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，所以，即，所以，故选：A[举一反三]1．（2022·山东·青岛二中高三期末）下列区间中，函数的单调递增区间是（

）A．（0，） B．（，） C．（，π） D．（，2π）【答案】C【解析】解：，令，可得，令可得：，因为，故选项C正确；选项ABD都不符合题意.故选：C.2．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为，当时可得函数的一个单调递增区间为，因为，所以函数在上单调递增；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递减.则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当且时，，因为余弦函数的单调递减区间为，所以，，所以，，解得，由，可得，且，，.因此，的最大值为.故选：C4.（2022·全国·高三专题练习）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A选项，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，，即，A选项错误；对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，所以，，B选项错误；对于C选项，，，因为余弦函数在为减函数，且，所以，，即，C选项正确；对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，，D选项错误.故选：C.5．（多选）（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数在上单调递增，则的可能值是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意，得，由，解得,当时，，即函数f（x）在上单调递增.因为函数在上单调递增，所以.故选：AC.6．（2022·浙江温州·高三开学考试）若函数在区间上单调递增，写出满足条件的一个的值__________.【答案】（答案不唯一）【解析】依题意，，当时，，因函数在区间上单调递增，而函数上单调递增，因此，，于是得：，，解得，取，得.故答案为：（答案不唯一）7．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.【答案】【解析】因为，又，所以，所以，，当且时，，因为在区间上单调递减，则，即，即，因为，则，则且，故，从而，因此，的最大值为.故答案为：.考点3三角函数的最值（值域）[名师点睛]三角函数值域的求法(1)利用y＝sinx和y＝cosx的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．(3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域．[典例]1．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，当时，即时，取最大值1，当，即时，取最小值大于，故值域为故选：C2．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，则，要使f(x)在上的值域是，则.故选：C.3．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知，当时，的取值范围是__________．【答案】【解析】，当时，，所以，即，故答案为：[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A． B．3C． D．4【答案】C【解析】解：根据题意，设，则，则原函数可化为，，所以当时，函数取最大值.故选：C.2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）函数的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】解：函数，由于，故，由于函数的对称轴为，当时，取得最大值，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由的值域为可得由可得所以，解得所以的最大值是故选：C4．（2022·海南·模拟预测）函数在区间上的最大值是__________．【答案】【解析】,当时,,当时,有最大值,且最大值为.故答案为:5．（2022·广东·二模）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．【答案】（答案不唯一，取，均可）【解析】函数的最大值为1，可取与同时取到最大值1，又时，，时，也取到1，，不妨取，此时的最大值为1，符合题意，故常数的一个取值为，故答案为：（不唯一）．6．（2022·辽宁沈阳·一模）函数的最大值为______．【答案】【解析】因为，所以，令，所以函数等价于，又，当时，，即函数的最大值为.故答案为：.7．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.【答案】【解析】解:,令,可得,当时,y取得最大值为,故答案为:．8．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域是___________.【答案】【解析】令（），则，所以.故答案为：.考点4三角函数的周期性[名师点睛]周期的计算方法(1)定义法．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．[典例]1．函数y＝eq\r(3)sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3)C.π D.2π解析：选C.因为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A.eq\f(10π,9) B.eq\f(7π,6)C.eq\f(4π,3) D.eq\f(3π,2)解析：选C.由题图知，函数f(x)的最小正周期T满足0－(－π)<T<π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)))，即π<T<eq\f(13π,9)，即π<eq\f(2π,|ω|)<eq\f(13π,9)，即eq\f(18,13)<|ω|<2.因为函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)ω＋\f(π,6)))＝0，所以－eq\f(4π,9)ω＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－eq\f(9,4)k－eq\f(3,4)(k∈Z)，又eq\f(18,13)<|ω|<2，所以k＝－1，ω＝eq\f(3,2)，所以T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3).3．若函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx＋\f(π,3)))的最小正周期T满足1＜T＜2，则正整数k的值为________．解析：由题意得1＜eq\f(π,k)＜2，k∈Z，所以eq\f(π,2)＜k＜π，k∈Z，所以k＝2或3.答案：2或34．(2022·福建省南平市高三联考)已知f(x)不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x)：________．①定义域为R；②f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))；③1＋f(2x)＝2f2(x)；④feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))≠－1.解析：由1＋f(2x)＝2f2(x)，得f(2x)＝2f2(x)－1，联想到cos2x＝2cos2x－1，可推测f(x)＝cosωx，由f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，得eq\f(π,2)＝k·eq\f(2π,|ω|)(k∈N*)，则|ω|＝4k(k∈N*)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))≠－1，所以f(x)＝cos(4kx)(k∈Z，k为偶数，且|k|＞1)，则当k＝2时，f(x)＝cos8x.答案：f(x)＝cos8x(答案不唯一)[举一反三]1．（2022·河北张家口·三模）已知函数的图象关于点对称，则的最小正周期T的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由已知得，，因为，所以，.所以的最小正周期T的最大值为.故选：C.2．（多选）（2022·辽宁·三模）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.故选：ACD.考点5三角函数的奇偶性、对称性[名师点睛]1.三角函数的奇偶性(1)可结合常用结论判断奇偶性．(2)若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．2.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sinx图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x＝eq\f(（2k＋1）π－2φ,2ω)，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(kπ－φ,ω)，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．[典例]1.（2022·北京市第一六一中学模拟预测）下列函数中，定义域为的偶函数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，根据指数函数的性质知，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数满足为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；对于C，函数为偶函数，但定义域为，不为，不符合题意；对于D，函数，定义域为，且满足为偶函数，符合题意.故选：D.2.（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，解得：，，令，解得：，此时，的对称中心为，当时，的一个对称中心为.故选：C.3.（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若函数是周期函数，最小正周期为．则下列直线中，图象的对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为最小正周期为，故恒成立，故，，代入得，所以，令，可得对称轴为，故结合选项，函数图象的对称轴为，其它直线均不是函数图象的对称轴.故选：B[举一反三]1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）下列函数与的图象关于原点对称的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，与关于原点对称，则，所以.故选：C2．（2022·重庆·三模）函数的图象的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：令，则，即函数的图象的对称轴为，当时，.故选：B.3．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数满足，所以的图象关于对称，所以，，所以，，所以的最小值为.故选：B4．（2022·广东·模拟预测）函数的一个对称中心是（

）A．（0，0） B．（，0） C．（，0） D．以上选项都不对【答案】B【解析】因为的对称中心为所以令，当k=1时，，即（，0）为函数的一个对称中心.经检验，其他选项不成立.故选：B5．（多选）（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）若函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列关于函数的说法中，错误的是（

）A．数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数的单调递增区间为D．函数是偶函数【答案】ABC【解析】由题意得：，将代入得：故A错误；将代入得：，B错误；令，解得：，故）的单调递增区间不是，C错误；，为偶函数，D选项正确.故选：ABC6．（多选）（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线有完全相同的对称中心的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】设k∈Z，对于，由；对于A：由；对于B：由；对于C：由；对于D：由；则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD．7．（2022·辽宁大连·二模）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则的最小值为___________.【答案】3【解析】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，得到，，因为两个函数图象的对称轴重合，所以，Z，所以，Z，因为，所以当时，取得最小值为3．故答案为：3．考点6三角函数图象性质的综合[名师点睛]解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y＝f(x)化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．[典例]1．（2022·天津南开·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，因为，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的值可能为，故选：B2．（2022·山东济南·三模）已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的图象：f(x)在上有4个零点，则，故a的最大值为．故选：C．3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．的最小正周期是C．在区间上单调递增D．的图象关于直线对称【答案】C【解析】A选项，定义域为R，且，所以是奇函数，A错误；当时，画出图象，显然的最小正周期是，B错误；在区