专题11数列（讲义）（原卷版）

专题11数列易错点一运用公式“”不当致误易错点二忽视等比数列公比的偶次方为正数易错点三求数列最值忽略为正整数易错点四忽视两个同号的数的等比中项有个易错点五利用等比数列求和忽略的情况.易错点六裂项求和剩余项出错易错点七混淆数列与函数的区别易错点八利用局部等差数列求和忽略对的讨论易错点一运用公式“”不当致误注意：,成立的条件是,求出的中不一定包括,而a1应由求出,然后再检验是否在中例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且．数列的通项公式为________．例2．（浙江省衢温51联盟20222023学年高二下学期期中联考数学试题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，为数列的前项和，求证：.易错点二忽视等比数列公比的偶次方为正数注意：等比数列{an}的各项为实数,则同号,同号例3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为__________．例4．（2023春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）若，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为__________易错点三求数列最值忽略为正整数注意：关于正整数的对勾函数,使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得,代入检验,便可确定最值例5．（2023春·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）等差数列的前项和为，若，则当取到最大值时__________.例6．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且．(1)求及数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的n的值．易错点四忽视两个同号的数的等比中项有个注意：若是的等比中项,则例7．（2023秋·吉林·高三校联考期末）在等比数列中，，，则与的等比中项为_____例8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省太和中学校考期中）在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（

）A．2 B．4 C．2 D．4易错点五利用等比数列求和忽略的情况.注意：在等比数列求和公式中,若公比未知,则要注意分两种情况和讨论例9．（2023·浙江温州·统考二模）（多选）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（

）A． B．是数列的公比C． D．可能为常数列例10．（2023春·湖北·高三湖北省鄂州高中校联考期中）已知某等比数列首项为4，其前三项和为12，则该数列前四项的和为__________.易错点六裂项求和剩余项出错注意：抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项例11．（2023·江西九江·统考二模）已知数列的通项为，则其前8项和为（

）A． B． C． D．例12．（河南省南阳市六校20222023学年高二下学期期中考试数学试题）设正项数列的前n项和为，已知，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．易错点七混淆数列与函数的区别注意：利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数例13．（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）记为数列的前项和，满足，，若对任意的恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．4例14．（2022秋·北京·高三中关村中学校考阶段练习）已知数列满足，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件易错点八利用局部等差数列求和忽略对的讨论注意：对于分段数列,要注意的取值对通项的影响例15．（2023·安徽宣城·统考二模）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．例16．（2023春·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.一、单选题1．（2023秋·天津河西·高二统考期末）已知实数列、、、、成等比数列，则（

）A． B．4 C． D．2．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）若，则“”是“，，成等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（

）A．6 B．7 C．9 D．104．（2023春·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（

）A．－64 B．－8 C． D．二、多选题5．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，=3，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．为等比数列 D．为等比数列6．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，则（

）A． B．为等差数列C．数列是等比数列 D．是的最小值三、填空题7．（2022秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知等比数列，，是方程的两实根，则等于______.8．（2023秋·北京·高二校考期末）已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数的最大值为___________.9．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为___________.四、解答题10．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知数列各项均为正数，且，．(1)求的通项公式；(2)记数列前项的和为，求．11．（2023秋·吉林·高