专题06导数的应用（原卷版）

专题06导数的应用真题特点分析：1.【2022年中科大3】已知，（1）求满足什么条件恒成立。（2）若存在,使得则满足什么条件。2【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（）．A． B． C． D．3.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（）．A．2 B． C．3 D．4二、知识要点拓展一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。若令，则（*）式可改写为。二．导数的几何意义：函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。三．基本求导法则：①；②，（为常数）；③；④反函数导数；⑤复合函数导数。四．基本初等函数导数公式①（为常数）；②（为任何实数）；③，，，，，；④，；⑤；⑥。五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。七.不定积分的性质：①；②，③，④。八．常见积分公式，，，，，，，，。九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。三、典例精讲类型一：导数的定义例1．已知在处可导，且，求下列极限：（1）；（2）练习1：若函数在区间内可导，且则的值为（）A．B．C．D．练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则。类型二：基本初等函数的导数例2．求函数的导数。练习3.,若,则的值等于（）例3．函数的导数为_________________；例4．求函数的导数。例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。类型三：导数证明不等式例6．求证下列不等式（1）（相减）（2）（相除）（3）例7．已知函数，，（1）证明：当时，恒有（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;。类型四：利用导数求和例8．利用导数求和：（1）；（2）。类型五：导数与数列的综合应用例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记（），求数列的前项和。四、强基真题训练1.若，则（）A．B．C．D．2.（上海交大）设，则（）2（B）2（C）4（D）43.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（）A．B．为常数函数C． D．为常数函数4.若,则等于（）A． B．C． D．5.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）6.于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A．B.C.D.7.函数在点处的导数是()A．B．C．D．8.设(是两两不等的常数),则的值是______________.9.证明下面不等式：（1）已知：，求证；（2）已知：，求证：。10.已知函数（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）当时，求证:11.设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，(Ⅰ)判断函数在上的单调性；(Ⅱ)设，，比较与的大小，并证明你的结论；（Ⅲ）设，，，若，比较与的大小，并证明你的结论.12.设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.五、强化训练A组1.函数的极小值、极大值分别为（）A.极小值0，极大值4B.极小值16，极大值4C.极小值1，极大值4D.极小值0，极大值12.设，则（）A.B.C.D.3.函数的单调递减区间为____________4.若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？5.若方程有3个不同实根，求实数的取值范围6.已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围7.已知函数（1）判断函数的奇偶性（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围8.已知三次曲线的图象关于点中心对称（1）求常数（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程B组1.一元三次函数的三次项系数为，的解集为（1）若有两个相等实根，求的解析式（2）若在上单调递减，求的取值范围2.设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为（1）求证：（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围3.已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同（1）若，求的值（2）用表示，并求的最大值4.已知函数.（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；六、高考真题训练1．(2022高考北京卷·第20题)已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意，有．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第21题)已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则环．3．(2022年浙江省高考数学试题·第22题)设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：(ⅰ)若，则；(ⅱ)若，则．(注：是自然对数的底数)4．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．5．(2022新高考全国I卷·第22题)已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．6．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第21题)已知函数(1)当时，求曲线在点处切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．7．(2021年高考浙江卷·第22题)设a，b为实数，且，函数(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足．(注：是自然对数的底数)8．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．9．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．10．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．11．(2021年高考全国甲卷理科·第21题)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．12．(2021高考北京·第19题)已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．13．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．14．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤15．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第21题)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．16．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第21题)已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a取值范围．17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第22题)已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．18．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．(Ⅰ)当时，(i)求曲线在点处的切线方程；(ii)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．19．(2020北京高考·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．20．(2019年高考浙江·第22题)已知实数，设函数，．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．21．(2019年高考天津理·第20题)设函数为的导函数．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，证明；(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．22．(2019年高考全国Ⅲ理·第20题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．23．(2019年高考全国Ⅱ理·第20题)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．24．(2019年高考全国Ⅰ理·第20题)已知函数，为的导数．证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点．25．(2019年高考江苏·第19题)设函数、为的导函数．(1)若，，求的值；(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；(3)若，且的极大值为，求证:．26．(2019年高考北京理·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程；(Ⅱ)当时，求证：；(Ⅲ)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值．27．(2018年高考数学江苏卷·第19题)(本小题满分16分)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．(1)证明：函数与不存在“S点”；(2)若函数与存在“S点”，求实数a的值；(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．28．(2018年高考数学浙江卷·第22题)(本题满分15分)已知函数．(1)若在处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．29．(2018年高考数学天津(理)·第20题)(本小题满分14分)已知函数，，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．30．(2018年高考数