《数学》高职院校单独招生考试总复习 第四章

ddd第四章指数函数与对数函数上篇基础知识目录1.2.指数与指数函数对数与对数函数第一节第二节1.理解n次方根、n次根式和分数指数幂的概念，能进行根式和分数指数幂的互化；理解实数指数幂的概念，识记实数指数幂的运算法则，并会利用法则进行化简和求值.2.了解幂函数的概念，了解y=_x001A__x001B_x_x001B_和y=x3的图像与性质.3.理解指数函数的图像与性质，会判断指数函数的单调性；会求函数值；会利用指数函数的单调性比较同底指数值的大小.4.理解对数的定义，会进行指数式和对数式的互化；理解常用对数和自然对数的定义；识记对数性质:logaa=1和loga1=0(a＞0，且a≠1)；了解积、商、幂的对数运算法则，能进行简单的对数运算.5.了解对数函数的图像与性质，会求形如f(x)=logc(ax+b)(c＞0，且c≠1)的定义域；会利用对数函数的单调性比较同底对数值的大小.考纲解读本章内容在考题中多以选择题形式出现，主要涉及的知识点有:有理指数和对数的运算，换底公式的运用，指数函数和对数函数的单调性及运算等.命题分析第一节指数与指数函数真题在线【2019·四川省高职单招】函数y=2x的图像大致为（）.【专家详解】由于2＞1,所以y=2x为增函数；又因为指数函数过点（0,1）.故选A..1.定义（1）正整数指数幂:an=a·a·a·…·a(n∈N*).（2）负指数指数幂:a-n=_x001A_1_x001B_an_x001B_(a≠0,n∈N*).（3）分数指数幂:a_x001A_m_x001B_n_x001B_=_x001A_n_x001B_am_x001B_(a＞0,m，n∈N*)；a－_x001A_m_x001B_n_x001B_=_x001A_1_x001B__x001A_n_x001B_am_x001B__x001B_

(a＞0,m，n∈N*).（4）零指数幂:a0=1(a≠0).知识聚焦一、指数幂的性质与运算（1）aman=am+n（n∈N*）.（2）am÷an=am－n.（3）（am）n=amn（a＞0,m,n∈N*）.（4）（ab）n=anbn（a＞0,m,n∈N*）.知识聚焦2.有理数指数幂的性质一般地，如果xn=a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，n∈N*._x001A_n_x001B_a_x001B_称为根式.n称为根指数，a称为被开方数.性质:（1）当n是奇数时，_x001A_n_x001B_an_x001B_=a；当n是偶数时，_x001A_n_x001B_an_x001B_=|a|=（2）负数没有偶次方根.（3）零的任何次根都是零.（4）当n为任意正整数时，_x001A_n_x001B_an_x001B_=a..知识聚焦3.根式1.幂函数的概念形如y=xα(α∈R)的函数,叫作幂函数,其中α为常数.知识聚焦二、幂函数2.幂函数的性质(1)图像分布:幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像.幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；是奇函数时，图像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图像只分布在第一象限.(2)过定点:所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都通过点(1，1).(3)单调性:如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在［0，+∞)上为增函数.如果α<0，则幂函数的图像在(0，+∞)上为减函数，在第一象限内，图像无限接近x轴与y轴.知识聚焦二、幂函数(4)奇偶性:当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.当α=_x001A_q_x001B_p

_x001B_(其中p，q互质，p和q∈Z)，若p和q均为奇数时，y=x_x001A_q_x001B_p

_x001B_是奇函数；若p为奇数q为偶数，则y=xqp是偶函数；若p为偶数q为奇数，则y=x_x001A_q_x001B_p

_x001B_是非奇非偶函数.(5)图像特征:幂函数y=xα,x∈(0，+∞)，当α>1时，若0<x<1，其图像在直线y=x下方，若x>1，其图像在直线y=x上方；当α<1时，若0<x<1，其图像在直线y=x上方，若x>1，其图像在直线y=x下方.知识聚焦二、幂函数1.指数函数的概念y=ax(a>0,且a≠1),例如,y=2x,y=(_x001A_1_x001B_3_x001B_x).知识聚焦三、指数函数知识聚焦2.指数函数的图像和性质典例解析【例1】计算:(2_x001A_1_x001B_4_x001B_）0.5+（0.1）-2-（2_x001A__x001B_2_x001B_）-_x001A_2_x001B_3_x001B_-(_x001A_1_x001B_2_x001B_)-3+（_x001A__x001B_2_x001B_+1）0.

A.幂函数的图像都经过（0,0）,（1,1）两点B.幂函数的图像不可能在第四象限C.当α>0时,幂函数y=xα的值随x增大而增大D.当α=0时,幂函数y=xα的图像是一条直线【解析】当α>0时,幂函数图像才经过（0,0）,（1,1）两点,此时函数在（0,+∞）内为增函数；当α<0时,幂函数图像只经过（1,1）点,此时函数在（0,+∞）内为减函数；当α=0时,图像不经过点（0,0）.而当x>0时,y>0,故本题选B.典例解析【例2】下列结论中正确的是().（1）0.7-0.9与0.7-1.2;(2)3_x001A_1_x001B_4_x001B_与3_x001A_1_x001B_5_x001B_.【解析】（1）设f(x)=0.7x,因为0<0.7<1,所以函数f(x)=0.7x是减函数.因为-0.9>-1.2,所以0.7-0.9<0.7-1.2.(2)设f(x)=3x,因为3>1,所以函数f(x)=3x是增函数.因为_x001A_1_x001B_4_x001B_>_x001A_1_x001B_5_x001B_,所以3_x001A_1_x001B_4_x001B_>3_x001A_1_x001B_5_x001B_.典例解析【例3】比较下列各组中两个数的大小:【解析】解析式中含有二次根式，需被开方式大于或等于零，从而转化为解含有指数幂的不等式:（_x001A_1_x001B_3_x001B_）x-9≥0,变形得3-x≥32，根据指数函数y=3x在R上是增函数知-x≥2,即x≤-2，所以该函数的定义域是（-∞,-2］.典例解析

（1）(_x001A_1_x001B_27_x001B_)x=91-x;(2)32x+3=3x+1+2.【解析】（1）原方程变形为（3-3）x=(32)1-x,即3-3x=32-2x,有-3x=2-2x,解得x=-2.（2）原方程变形为33×(3x)2-3×3x-2=0,令3x=t(t>0),原方程变为27t2-3t-2=0,解得t=_x001A_1_x001B_3_x001B_或t=-_x001A_2_x001B_9_x001B_(不合题意),则3x=_x001A_1_x001B_3_x001B_,解得x=-1.典例解析【例5】解下列方程:【解析】以荒漠为研究对象,它以每年20％的速度减少,故符合指数衰减模型y=c·ax,其中c=3万公顷,a=1-20%=0.8,x=3年,y就是x年后还剩的荒漠的面积,于是得y=3×0.83≈1.536万公顷.典例解析【例6】我国某地区对3万公顷（1公顷=10000平方米）荒漠化的草地进行治理，从2013年起，当地政府组织牧民种草，每年将荒漠的20％重改为草地，经过3年的治理还有多少公顷需要改造的荒漠(精确到0.001)？第二节对数与对数函数A.lg7B.3C.2D.1真题在线【2017·四川省高职单招】lg5+lg2的值是（）.【专家详解】lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1.故选D.A.1B.2C.3D.4真题在线【2018·四川省高职单招】log39=（）.【专家详解】log39=log332=2.故选B.真题在线【2019·四川省高职单招】log22= .【专家详解】log22=1.（1）对数的概念:如果ab=N(a>0,且a≠1)，则b称为以a为底N的对数，记作b=logaN(a>0,a≠1,N>0).(2)常用对数与自然对数.常用对数:lgN,即log10N;自然对数:lnN,即logeN（其中e=2.71828…）.(3)对数的运算性质.知识聚焦一、对数与对数运算如果a>0，a≠1,M>0,N>0,那么①加法:logaM+logaN=loga(MN).②减法:logaM-logaN=loga_x001A_M_x001B_N_x001B_.③数乘:nlogaM=logaMn(n∈R).④alogaN=N.⑤logabMn=_x001A_n_x001B_b_x001B_logaM(b≠0,且b≠1).⑥换底公式:logaN=_x001A_logbN_x001B_logba_x001B_(b>0,且b≠1).知识聚焦一、对数与对数运算（1）对数函数的概念:y=logax(a>0,a≠1,x>0).(2)对数函数的图像和性质.知识聚焦二、对数函数的概念、图像和性质(1)lg_x001A_1_x001B_100_x001B_;(2)(_x001A_1_x001B_2_x001B_)log23;(3)log48.【解析】（1）由logaab=b知,lg_x001A_1_x001B_100_x001B_=lg10-2=-2.(2)由alogaN=N知,(_x001A_1_x001B_2_x001B_)log23=(2-1)log23=(2log23)-1=3-1=_x001A_1_x001B_3_x001B_.(3)可设log48=x,转化为指数式得4x=8,将等式两边化为同底数指数幂得22x=23,即2x=3,解得x=_x001A_3_x001B_2_x001B_,即log48=_x001A_3_x001B_2_x001B_.典例解析【例1】求下列各式的值:【解析】对数函数y=log2x在（0,+∞）上是增函数,故log20.8<log21=0,而对数函y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_x在（0,+∞）上是减函数,故log_x001A_1_x001B_3_x001B_

0.7>log131=0,所以log20.8<log_x001A_1_x001B_3_x001B_

0.7.典例解析【例2】比较大小:log20.8与log_x001A_1_x001B_3_x001B_0.7.（1）y=log5(x-3);(2)lg(x2+2x).【解析】(1)要使函数有意义,则需x-3>0,即x>3.所以函数的定义域为(3,+∞).（2）要使函数有意义,则需x2+2x>0,即x>0或x<-2.所以函数的定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞).典例解析【例3】求下列函数的定义域:【解析】函数y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

(3-2x-x2)的定义域为{x|3-2x-x2>0}={x|-3<x<1}.令t=3-2x-x2,x∈(-3,1),y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

t在其定义域内为减函数.t=3-2x-x2,x∈(-3,1),对称轴为x=-1.当x∈(-3,-1)时,t=3-2x-x2是增函数,所以y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

(3-2x-x2)在(-3,-1)内是减函数.当x∈(-1,1)时,t=3-2x-x2是减函数.所以y=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

（3-2x-x2）在（-1,1）内是增函数.典例解析【例4】求函数=log_x001A_1_x001B_3_x001B_

(3-2x-x2)的单调区间.（1）f(x)=lgx4+lgx-2;(2)f(x)=lg_x001A_1_x001B_x_x001B_.【解析】（1）函数的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞),关于原点对称.又因为f(-x)=lg(-x)4+lg(-x)-2=lgx4+lgx-2=f(x),所以f(x)是偶函数.（2）函数的定义域为（0,+∞）,不关于原点对称.所以函数f(x)=lg_x001A_1_x001B_x_x001B_为非奇非偶函数.典例解析【例5】