2023年湖南省郴州市成考专升本高等数学二自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省郴州市成考专升本高等数学

二自考模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

设m是常数，则lim也姿等于

1.L。工()o

A.0

B.1

C.m

1

2

D。

若=A=lim/(£)，则f(x)在z()点

A.一定有定义B.一定有f(x0)=AC.一定连续D.极限一定存在

3.

设£/(，)市=，/，贝ij/(幻=

A.(l+x+x2)exB.(2+2x+x2)ex

C.(2+3x+x2)e4D.(2+4x+x2)ex

由曲线y=-f,直线1=1及上轴所围成的面积S等于()

A.T

B.一不

jc—3

.D.|

4./

已知函数/(x)=P,则lim09):/⑴二

5."Ar()。

A.-3B.OC.lD.3

(x3j-+jr)dx等于、

J-1()

A.-2

B.0

C.2

6.D・4

7,下列命题正确的是()。

A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点

B.若xO为函数f(x)的驻点，则xO必为f(x)的极值点

C.若函数f(x)在点xO处有极值，且r(xO)存在，则必有F(xO)=O

D.若函数f(x)在点XO处连续，则RxO)一定存在

8.

已知a为常数JG)=2•，则lim①2一人")等于().

47n

A.24B”2・TC.2'ln2D.0

9.

设f(工)是连续函数，则J：/(z)dx—J/(a+6—x)dx等于

A.0B1

C・a+6D.//(i)dN

IO.定枳分/j,arctanx+cos3x)d-r

IL某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8,超过60年

的概率为0.6,该建筑物经历了50年后，它将在10年内倒塌的概率

等于1】

A.0.25B.0.30C.0.35D.0.40

12设/(x)的一个原函数为xh?x,MiJ/(x)的导函数是()°

A(lnr*-2)Iru

—(1+Inx)

B.x

2,

—(1-Inx)

C.x

—(2+Inx)

D.x

13.

设函数〃x)=J；Q-l)dr,则/(幻有

A.极小吗B.极小值qC.极大值;D.极大值q

14・—I

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+8

级数2a,

n-lVW(

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

15D.无法确定敛散性

Jorln(l+2r)dz

lim--------5--------=

16.一°x()o

A.3B.2C.lD.2/3

过曲线y="ku上M)点的切线平行直线y=2x+3,则切点M)的坐标是

A.(1,1)B.(e,e)

17C.(1，e+1)D.(e,e+2)

设/(力=吧，则［J/a)dxr=

18.”()o

cosx

X

A.

sinx

B.x

c,『

—+C

D.x

19.设?(x)具有任意阶导数，且，？’(x)=2f(x),“'(x)等于(

A.2?(x)B.4?(x)C.8?(x)D.12?(x)

20.

下列定积分等于零的是

2

A.JxcosxdxB.jxsinxdr

C.Jsinx)dxD.J(e*+x)dr

设u,v都是可导函数，且y，0,则(l)'=

21.v

/

u

A.A.'

uv-uv/

B.V2

uV+uv/

C.V2

u/一八

D./

22下列等式中，一定是正确的是（）

A.「/(x)dxx)djr

B.J/(j)cLr-2j./(x)dj-

C.J/(x)cLr=»—j/(—x)dx

D.1/(x)dx=0

二次枳分jSLr'/(3_y)dy等于()

A."山」，/(i.y)d/

B.

C・H，dyjW/5・)•)cb

23.D.1d”"Q")dr

24.若事件A与B为互斥事件，且P(A)=O.3,P(A+B)=O.8,则P(B)

等于().

A.A.O.3B.O.4C.O.5D.O.6

若x=_l和x=2都是函数/(x)=(a+x)e'的极值点，则如b分别为

25.A.b2B.2,1

函数y=2V+3/-121+1的单谢递减区间是,

设函数==（I”尸，则老等于（）

A.产J

B.（ln%y）'''lnin>'

C.【ny尸lnlnj»

27.D.①（Iny尸】nl”

A.A.l/2B.l/3C.l/4D.l/5

29.反常积分j：土也等于（）

A.A.lB.l/2C.-1/2D.+oo

30.下列等式不成立的是（）

二、填空题（30题）

不定积分［*=

31..

32.已知',则/=

设尸=—,则y'=_____________.

33.xT

・二元函数z=——的定义域是__.

1+-A-

34.f

设lim(l+2『=e"，则”=

35.«-I”)-------------

36.函数y=lnx,则丫⑺。

37.

Jx-Jl+x2dX・

38.

设r(a)存在.则lim2匕小G=

x-a

A・_/(a)B./(«>—a//(u)C.—u//(a)D.af(.a)

39.

从0.123.4,5共六个数字中，任取3个数组成数字不重复的3位奇数的概率是

40•设/(I)=*]+1严,则f/(z)dr=____.

41.

曲线y=x3-3x2-5x4-6的凸区间为.

42.

设/(x)=7誓/，则/(x)=_________.

1十COSX

心/1+4-2z,n

设函数八幻=j2i在x=0处边续，则«=______

43.I。，L0

44.当f(0)=时，f(x)=ln(l+kx)m/xx=0处连续.

设z=/(P-八且/⑷可微,则中二______________.

45.取

46.已知/(，，，)=/-，'，则啕”——■

47.

(兴=.

48.J，。T)(l+£)必=------------.

49.函数y=x-ln(i+x)的驻点为%=______.

50.

函数=J；sinz&在z=f处的导数值为.

51.

不定积分j(sin孑-h1)dj

A.-COS[+N+CB.——cos[+1+C

ir4

C.xsinfqI+CD.xsin[•+]+C

4

52若J/(x)&=2sin：+C,则/(x)=

设/Q)=£!坦二,则/Q)

53.

54.

Jcosv/x-FTcLr=

设/(x)=/，g(x)=e。0'Jf-(5(/-(x)))=

55.也

56.

-10123

设随机变量&的分布列为尸a3a2aa3a*则0=

ioIoToioTo

57/+8%=----------

58.

设/Go)=-1,则lim"红二2»一/(工。―“)=

若Jirn(l+J)4r则

59♦

60•设y=excosx,贝！jyn=,

三、计算题（30题）

61设z为由方程ftr+y.y+z）=0所确定的函数•求偏导数z,.

已知蒯纹y。工3试求।

<1>曲线在点（1・1）处的切蚊方程与法线方程,

62.（2）曲线上事一点处的切线与■线,-41一】平行？

求极限lim(J----------?—).

63.…HUX-I

64.在抛物线y="2与x轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD,

其一边AB在x轴上（如图所示）.设AB=2x,矩形面积为S（x）.

①写出S(x)的表达式;

②求S(x)的最大值.

65.求南数/(，)=冗一在定义域内的最大值和最小值.

ln(G+l)dX・

67.求微分方程3xf4-5x-5/-0的通解.

已知=zlru•，求炉・).

69设=”)是由方程也〜=。所确定的卷函数，碎

70.求定枳分€*

xarcsinr.

求不定积分_d.r.

71.yi-J-J

求不定枳分11・arctartzdr.

72.

73.求函数f(x,y)=x2+y2在条件2x+3y=l下的极值.

74设z=uv+sin/•而“=e"=c。”.求去.

小,x>0,,

求J/(x-

工V0,

75.

2

求呵m

76.，・i"+1x+lj-

求极则巳台

77.

求|,L(hdy.其中区域D由y=5,yh2,*=1及*=2所围成.

79.求"=tan<Tjz)的全微分.

计算二重积分向立,其中0是由撤物线/-I及直线y=i-2限成.

80.£

求极限则年;)

81.

设.+J：+2I-2A=c，确定函数z=之(工,川•求生,生.

82.Hrdy

求极限!ijn(l-5).

83.

求微分方程今+?=J的通解.

Of.

85设函数之=(2：+求也

1+iLx<0.

设函数八公

86.x>0.

87•求函数f(x)=x3-3x-2的单调区间和极值.

QQ计算定积分「/^二？山

OO.J。

设八i)为可傲函数且播足方程：

ij：/(，)&=(x4-l)£r/(t)d/(x>0).

89.求函数八力.

90.求函数f(x)=(x2-l)3+3的单调区间和极值.

四、综合题(10题)

it/t当">0*•有，］VInVL

91."Ii

92.

设函数/（j-）在闭区间［0・1］上连续.在开区间（0.1）内可导且/（0）=/（I）=0.

/（7）=1•证明:存在sw（0.1）使/<e）-i.

93.

求由曲线¥=/与直线I1门=2及y=0圉成平面图形的面枳S以及该图形绕

」轴旋转一周形成的旋转体的体积.

94.

过曲线y=x:（x^0）上某点A作切线.若过点A作的切线.曲线J「/及I轴围成

的图形面枳为之•求该图形绕“轴旋转一周所附加转体体枳忆

95.

设函数y=or'-6a/+%在上的最大值为3,最小值为一29•又a>0,求a也

设平面图形D是由曲线y=/,自线y=c及y轴所围成的，求।

（1）平面图形D的面枳；

96.（2）平面图形D绕y轴旋箝一周所形成的旋转体的体积.

97证明：方程4/-1=j：苦尸在（0,1）内仅有一个根.

98.

过曲线y-上“工>0）上一点作切线/•平面图形D由曲线>，=.J•切线/及

上轴国成.

求：（1）平面图形D的面积,

（2）平面图形D绕上轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

证明：方程「占;山=J在（0.1）内恰有一实根.

QQJ”1十，10

100.证明方程/-3工-1=0在1与2之间至少有一个实根.

五、解答题（10题）

101.

-1012

设随机变濯&的分布列为20201040丁求E0和

"4）.

设“咐，

其中/为可张函数.

证明:嚏+2琮=3z.

102.

50件产品中有4件次品,现从中任取5件,求：（】）恰有I件次品的取法的收率是多少?

（2）至少有3件次品的取法的概率是多少？

103.

（率・11分8分）的一个［为即皿1、.求卜.i«h.

JLUf•

105.

求二元函数/(x,y)=e2*Q+y2+2y)的极值.

lim（--

106,求极限一八'

107.设y=e'lnx,求y'。

计算四

108.xsinx

109.加工某零件需经两道工序，若每道工序的次品率分别为0.02与

0.03,加工的工序互不影响，求此加工的零件是次品的概率。

110.求曲线》R=2x+l,y2=・2x+l所围成的区域的面积A,及此平面图形

绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vxo

六、单选题（0题）

111.

函数y=/Cr）在点工=70处取得极小值，则必有（）

A./Vo）＜OB./Uo）=O

C./Uo）=O且/Vo）＞OD/Cro）=O或/口。）不存在

参考答案

l.A

2.D

从左右极限存在，可推出lim/(^)=A.但不能推出其他几个结论.故选D.

3.D解析：

因为/(x)=(x2ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex

所以/口)=(2+2x)ex+(2x+x2)ex=(2+4x+x2)ex

4.C

5.D

=/'(况,户也.3.

&TO

6.B

7.C

根据函数在点X0处取极值的必要条件的定理，可知选项C是正确的。

8.D

答应选D.

提示利用函数在一点可导的定义的结构式可知

yy.(力

注意到本题中〃力)-2-是常数函数，所以/'(*)=0,所以选D.

9.A

10.16/15

ll.A

设A=｛该建筑物使用寿命超过50年｝,B=｛该建筑物使用寿命超过60

年｝,由题意，P(A)=0.8,P(B)=0.6,所求概率为:

0.8.P®=0.6.所求统阜为十回A)7-P,A"一霸=-畿=|一合

y-0.25.

12.B

因为/(x)=(xln?x)*=ln:x+2lnx=lnx(24-lnx).

所以/'(x)=(2+lnx)」+11nx=2(i+inx).

xxx

13.B解析

因为八x)=［J；("l)d"=x-l

令/'(x)=。，解得：X=\

又/"(1)=1>0

所以X=1是函数/(X)的极小值点，极小值:

/(i)=£(x-i)dx=1a-i)2|'=-1

14.D

因为当时，一!—一7,而当X-1时，—1—■*+«>

x-1X-1

1I

所以当x—J-时，e*T-0,而当r-T♦时，ex-1-*+«>

।

则lime*-1不存在且不是2,故选D.

15.C

16.D

「L”n(l+2f)山洛必达法则xln(l+2x)等阶代换..2x22

hm----------7--------hm--------；-----==lim--=—

32

ioxXTO3xI。3必3

［解析］本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立.

事实上y'=l+」=2得*=1,所以y=l

17.Ax

18.B

【解析】本即是由/'(,)求函数的三阶导数/・■).)(关惚是利用已知条件化简.

因为/•(«)-2/，)•“叫."(*).

19.C所以厂(x)=4/'(*)=8/(x).选c

20.C

21.B

22.A

23.A

24.C

本题考查的知识点是互斥事件的概念和加法公

事件4与B互斥，则4B=0,因此P(48)=0.

由于P(/t+8)=P(4)+P(8)-P(/1B),

式.即0.8=0.3+尸(8).得。(8)=0.5.故选(：.

[解析]

因为f\x)=ex+(a+x)ex(一•马=ex--"0b

xx

由于x=-Lx=2是函数f(x)的极值点。

严"=0

[4-2/>-ab=0

25.B解得a=2,b=1

26.(-21)

27.C

28.B

29.D

本题考查的知识点是反常积分收敛和发散的概念.

直接计算：f——dx=lim[--d(lnx)=limln(Inx)|J=limln(lnb)=­¥»,

J.xlnxin*

所以反常枳分是发散的•选0.

30.C

利用重要极限n的结构式，可知选项c不成立.

31.

【答案】应填

凑微分后用积分公式计算即可.

1舟八N六""4)=*+4八C

32.

【答案】应填4(Al)e5

求出y',化简后再求)，”更简捷.

y'=e'2，-2xe":,=(1-2x)e-z，,

y,r=-2eJ*-2(l-2x)e-,,=4(x-l)e:,.

-2x-2x

33(x2-l)2(x2-!)2

34.

35.-2

利用重要极限n的结构式：

lim(1+□)°=e或lim(1+.

由已知?史1+?=「，可得2A=-4,所以k=-2.

(-DFD!HD!

36.x"/

37.

Jx\/l+x2dx=g^1+x2d(l4-x2)

n4

=-(l+x2p+C

8

38.B

39.

40.

Yr+i)ygi)"+c

41(8,1)

42.

%+sinjr

1+COSN

43.

±

8

lim/(x)=limln(H-tr)"=limlnCl=Ine*"=km,.

44.mk……一。所以当

f(O)=km时，f(x)在x=0处连续.

45.

3x2f(/-/)

［解析］-=彗2~=3x2r(/-/).

dxdi/dx

46.应填0.本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求

法.熟啜W（2，）=0

47.1/6

4-00

十8।1

—dx=—=~(0--^)=2

6X2

X6OO

48.2/3x3/2+2x,/2—In|x|+C

,G-l)(l++)&h卜*，—1+*+-x'1)<Lr=-yj?—*+2*+-Inix|+C.

49.应填0.本题考查的知识点是驻点的概念及求

根据定义，使/'（幻=0的名称为函数/（“）的驻点，因此有y'=l-A=0,得%=0.

法.故填0.

50.1

51.D

Xx

cos-cos-

52.2

53.

54.2(1c+1•sin，工+1+cos，i+l)+C

2(，c+l•sinyx+l+cos、/N+1)+C

2M

［解析)因为g(f(x))=e/

所以^-(g(/(x)))=2xep

55.改

1

3a2aa3a.

［解析］因为言+—+---+-H----=1,所以a=1.

56.10101010

57.

填-sin—+C.

/4cos-dx=-Jcos-d^—j=-sin--♦C.

58.1

59.2

6O.-2exsinx

由y=eJcosx,则y=e'cosz—e7siru?.y=eJcosx—eJsinx—eJsiar-eJcosz=—2e2sinz.

6L由隐函数求导公式知迷一景:；蓝:二

由隐函数求导公式知，。T；c：；密.

62.

（1）根据号数的几何意义.曲线y在点（1・1）处切线的斜率为

川,「2.

曲线y=/在点（1.1）处法线的斜率为

k—­L

2,

所以切线方程为=2（x-l）.

即

2x-y-1=0.

则法线方程为y-\=一）《1一1〉.

即

1+2y-3—0）

（2）设所求的点为MJr•%）,曲线y=/在点《“。，”）处切线的斜率为

y\=2]|=2x».

I”.I,■■■

切线与直线y=4,1平行时•它们的斜率相等,即2入=4•所以4=2.此时y,4.故在

点MJ2.4）处的切线与直线y=4i—1平行.

（1）根据导致的几何意义•曲线在点《1.1）处切线的斜率为

"L「2.

曲线y=/在点（1.1）处法线的斜率为

k--1.

Z

所以切线方程为y-1=2（x-l）,

即

2x-y-1=0.

则法线方程为>-1=一：（工一1）,

即

l+2y-3=0）

<2）设所求的点为,曲线y在点《N・.”）处切线的斜率为

y\=2x1=2八.

切线与直线y7平行时•它们的斜率相等，即2人二・1,所以*=2.此时加4,故在

点MN2.4）处的切线与直线y=4/—1平行.

I;工一1

,li11-f-xlnj

!呷I+ler*】一'2'

64.@S(x)=ABBC=2xy=2x(l-x2)(0<x<l).

②S'(x)=2-6/3o.得—(舍去负值).

由于只有唯一驻点，根据实际问题有最大值,所以当唠时心卜华为最大值

65.

函数/(x)=JTC~'的定义域为(-8.+8)，且/(I)处处可导;

因为/"(l)=e~*-j-e*=ez(1—n),令f(x)=0

得驻点工=1.且”V1时/(i)>0,x>1时./\])<0

所以八1)=「=J>为函数/《外的最大值.

e

又lim/(x)=limje'=-8；

lim/(x)=limxe'=lim==lim-y=0.

于是f(x)定义域内无最小值

函数/(x)=jre~'的定义域为(-8・+8),且/(1)处处可导;

因为/"(彳)=e*—j-e*=e"(l—/),令f(x)=0

得驻点/=1.且zV1时/G)>0,x>1时・，(/)<0

所以/(I)=e1=-为函数/(z)的最大值.

e

又lim/(x)=limxe'=-8；

lim/(x)—Iinixe'-limf=lini-=0.

于是f(x)定义域内无最小值。

原式Jn(/4-l)•2汕

=|ln(I4-f)d(r)=/:•ln(14-r)

,:-1+Idf=ln2—J(f-1+/1-j)dr

In2一

r+1

：)门

In2—京-坟+ma+i

In2-(0-J)-(In2-0)

x

66.7,

MS-U令Q

原式1ln(/4-1)-2tdt

=jln(14-nd(f:)=tl•ln(14-/)|-J：y—^dr

至一(^^山=12

一J：(L】+rhy

1

=In2-r4-(/-i)+ln(r+H：］

In2—(0-(In20)

x

原方程变形为

5学=3—+5z.

dr

分离变帷得

5dy=(3xJ+5”)dx.

枳分得

5y=/+"+G.

故通解为

y-J1'++C

67.3L

原方程变形为

5学=3*'+5<r.

dr

分离变俄得

5dj=《3/+5j-)dx«

积分得

1

5y=F+yx+Ct,

故通解为

(•"=~y了=(xln.r)=IILT+J,y=1+lnx»

y(・)=IV,了=(14-1TLT)Z=J.

68.

、(・”="y-]/=(/ln.r)'=Iru+n•J=14-Inx,

69.设F(x,y,z)=x2+y2-ez,

则

所以

Rz

『贤谭

-fJrtrcKZQ+j：lnrd(2/^)

=-26IlLX匕+。》”+26间J3

—+4|_j+4e-4H=8(1，

70.e

=—|：lrtrd(2-Zr)4-Jlnrd(2

=-2-Zrln-r|]+j%d/+2vGjnx

--£+4-7x(t+4e-4•fx|=8(】—

jarcsinz

dj=­Iarcsirvrd，1一«r’

5/l-x2arcsirw+-/

—>/l-x2arcsinx+JcLr

rcsiru-+C.

arcsirurdv1-x*

—xarm

arcsinx+jd/

arcsinj-+C.

1

除式=-Arctan-rd()

2.

=—x'arctan-r-

:arcs一戈（一上产

4-x:arctanx-1(J-arctanr)卜(’.

72.

除式=y|arctan-rd(J-1)

=—i'arcta

=犷arctau一演一土#亚

=-j-:arctanx-—(j-arcurkr)+C.

73.解设F(x,y,k)=X2+y2+k(2x+3y-1),

F；=2x+2A==0,

令c

F；=2?+3A=-0,

今c

/：=2x+3y-l0

消去人，解得x=Qq,则_/(春后)4为极值,

dzdu.dzdv.dzdzdzdu.dzdv,8c

3udtdvd/dtd/8ud?dvd/dt

=ve'-wsin/+cos/=ve*—//sin?+cos/

=efcos/-e'sin/Icost=efcos/-ezsin/Icos/

74.=er(cos/sin/)4-cos/.=e1(cos/-sinr)-f-cos/.

令i-l=“♦则Ar=d”.当[0・2]时・“£[―l.l].于是

原式一Jf(工1)<Lr

=J/(u)du

=J°/(tt)du4-J/(u)du

=「+1_!_&

J-I1+1Jo1+工

75.=Ind4-c).

令iI=".则<Lr=d”.当《r£[0・2]时.“£[l.l].于是

原式二J/(x—1)(Lr

=Jf(u)du

=I/(u)dM-f-I/(M)dw

=ln(l4-c).

2—+

原式=li2-£二：十1）1

m3

76.IX+11+1

2—（］2-4+1）2—（1-1+1）

原式

x3+l♦+1

oe+sin-r.

=2rlim-----------=1.

77.L。L

eJ-cosx

=2ohrm-------------

oI-e'+sin-r.

=2lim-----------=1.

L。L

78.

画出枳分区域甥D.如图所示，

考虑到被枳函数的情况.先对z枳分较宜.

Tye,vd/dy=jdy|d_r+J：dyj.ycndx

=j（c2*-cf）d,y4-J

画出枳分区域甥＞如图所示I

考虑到被枳函数的情况，先对1积分较直.

^ye°dj-d,v=jd>|ye"d”+j：d>J।yc"dr

1,J,

=J(e-,-c3dly+Ji(e-c)d_y

因为“「=ytscc2(.xyz)»u,=jrsec:(_r>z),

u,*■xy5ec2(xyz).

79.所以dujyr)dr+•»»«?Czyz)dy+j!yscd(；o«)&.

因为“r=yzscc2(.xyz)=xzsec:(-r>z)«

2

ut«■x>sec(j^r).

所以d“一

80.

区域D如图所示.D既是y-型区域•又是X-

壁区域，直线y=l-2与抛物线V=1的交点为

(1.-1).(4.2).为更方便计算首选区域D是丫一型区

域.

所以

区域D如图所示.D既是丫一型区域•又是X

整区域.直线、=工-2与抛物线式=”的交点为

(1・一1).(4.2).为更方便计算苜选区域D是丫一型区

域.

所以

师（R）=触（1+母）

令F(1・y.N)=尸+y'+2«r-2yz一c'=0•则

F,工2l+2.F,=2yZz,Ft=-2,一e，

故与一2y-e，/0时・有

红=_&=2—D,生=_J=2(L)

82.dxF,2y+e'dyF.2y+c*

令+y，+2工-2yz—e*=0.则

F,=*2x42.F,=2y2N,F,=—2y—1,

故当—2y-e，#0时•有

生=_&=2G+DQ=_J=25-N)

dxF,2y+e'dyF,2y+c*

IUl>OU

州（一；）岬（】+｝）

=岬(|+))‘,呵(1+力丁

「呵(|+：)二［［网"!)’［

83.=I・L=」.

令一/=f,则当i—8时•存8,所以

1Ul>岬("})OU

用(I-;)

「叫l+力•呵(1+：)丁

=岬(1+力・“叩+十)丁

=1•e1=«c\

由盟意•知P（i）=j.Q（r）=J・

Jea，==c"=1.

|Q"Jmdr=[e,•xd-r=；卜dj^=呆’.

84:.该微分方程的通解丫=｝：*：+广,

由盟意•知P(x)=-J.Q(J)=J.

・•.eJw,=e升山=c***=e"

/.该微分方程的通解丫=『+（'

85.

方程两边取对数,得

Irv=(»r+ZyNnSi+y)・

两端微分有

—<Lr=(dx+2d>)ln(2x+y)+(1+2v)铝二—'.

xZ«r+y

所以dz=(2J-4->)^M[ln(2x4->)-F2•+[2ln(2«r+y)+

方程两边取对数,得

Itu*=(1+2y)ln(2jr+y).

两端微分有

—cLr=(dx+2d>)ln(2x4->)4-(x+2v)空^”山.

xZ*+y

所以dz=(2J-+>>^M[ln(2x+y)+2・疔+[2ln(2x+y)+法刍]力・

£/(x-2)(Lr=j(/(/)d/

=j+j

人=[(1+I)山+fe'd/—4——.

86.令x・2=t^B么:JTJ。3'令,x-2=t,

jy(x-2)(Lr=j*/(r)d/

=/J⑺&+(/(«)&

=「(1+，ldr+fc'山工!一1

那么：

87.函数的定义域为(-8,+oc).

/'(4)=3--3-。，得彳=±1.

列表如下：

jr(-«.-1)-1(-1.1)1(1.♦»)

/,<«)■0—0♦

/(I)…

/(x)/

为极大值为极小值

函数f(x)的单调增区间为(・8,・1),(1,4-00)；单调减区间为(・1,1)。极

大值为f(・l)=0,极小值为f(l)=・4.

jy/2x—JC2dx=J。—(4—1)?d(/—1)=JJ\-—d/

令t-MnA

--co**cos/idA

J-i

=《「(14-cos2/i)dA

2JT

+Jc。期d⑵).

・.

=5+4-sin2/ij=-7-.

44l-f4

/2/一dz=f，1—(1—1—d(z—1)=—(d/

JoJ-i

令t-ninAr0

f・r’--------------------co"-cos/idA

JT

=!「(14-cos2h)dA

2JT

0

=~rP-d/l+yj^cos2Ad(2A)'

■.

=9+4-sin2/iI=-7-.

44J4

Yg为可微函数•方程式两端对/求导得

j\l-"⑺山=了/外，

两端再对“求导得

(l-x)/(x)=2”(力+，/(“)・

即JHf*(x)=(1-3x)/(x)•

上式是可分离变僮的微分方程.通解为

89./(1)=Cr