数据、模型与决策（原书第16版）课件 第16章、马尔可夫过程

AnIntroductiontoManagementScience,16e第十六章、马尔可夫过程章节内容16-1 市场份额分析16-2 应收账款分析

本章小结章节目标完成本章后，你将能够:LO16.1 根据场景建立马尔可夫过程模型LO16.2 整合并运用转移概率LO16.3 计算稳态概率LO16.4 求解具有吸收状态的马尔可夫过程模型介绍马尔可夫过程模型对于研究系统经过重复试验后的变化非常有效。这里的重复试验通常意味着连续的时段。马尔可夫过程模型可以用来描述：一个周期内运行的机器在下一周期继续运行或发生故障的概率；消费者在一个周期内购买品牌A而在下一个周期购买品牌B的概率。由于对马尔可夫过程的深入讨论超出了本书的范围，本章的分析仅限于由平稳转移概率的马尔可夫链组成有限个状态转移概率随时间保持不变在任何一个时段处于特定状态的概率仅取决于前一时段的状态16-1市场份额分析假设我们想要分析墨菲食品店和卡特琳娜超市(小镇上仅有的两家商店)的市场份额和顾客忠诚度。我们关注一位顾客的购物行程，并假设该顾客每周都会去墨菲食品店或卡特琳娜超市购物一次，但不会两个都去。我们将每周的周期或购物行程称为过程试验。在每次试验中，顾客都会在墨菲食品店或卡塔琳娜超市购物。顾客在给定的一周内选择的特定商店被称为该周期内的系统状态。因为顾客在每次试验时都有两种购物选择，所以系统有两种状态：状态1.

顾客在墨菲食品店购物状态2.

顾客在卡塔琳娜超市购物如果我们说系统在试验3时处于状态1，那么就是说顾客在第三周选择在墨菲食品店购物。为了确定在马尔可夫过程的连续试验中发生的各种状态的概率，我们需要有关顾客在该过程中从一个试验到下一个试验或从一个周期到下一个周期留在同一商店或切换到其竞争商店的概率的相关信息。16-1转移概率假设作为市场研究的一部分，我们在10周内收集了100名顾客的数据。

假设我们在分析数据时发现，第一周在墨菲食品店购物的所有顾客中，90%的人在第二周继续在墨菲食品店购物，而10%的人转去了卡特琳娜超市购物;第一周在卡特琳娜超市购物的顾客中，80%的人在第二周会继续在卡特琳娜超市购物，而20%的人选择了去墨菲食品店购物。因为这些概率表示顾客从给定周期的某个状态移动或转移到下一个周期的每个状态的可能性，所以这些概率被称为转移概率。注意：转移概率表每行中的概率之和为1概率0.9和0.8可以解释为对顾客忠诚度的度量，因为它们表示重复访问同一家商店的概率。同样，概率0.1和0.2是衡量顾客商店切换特征的指标。在为这个问题开发马尔可夫过程模型时，我们假设任何顾客的转移概率都是相同的，并且转移概率不会随着时间而改变。16-1树状图视觉描述

16-1状态概率

16-110周后的状态概率从墨菲食品店开始购物

从卡特琳娜超市开始购物

16-1稳态概率

16-1决策应用

16-2应收账款分析马尔可夫过程可以应用在会计方面。例如，估计坏账准备金。该准备金是对最终无法收回的应收账款金额（即坏账）的估计。马尔旺百货公司的应收账款采用两种账龄分类：0~30天31~90天

如果账户余额的任何一部分超过90天，则该部分将作为坏账注销。马尔旺百百货公司按照最早的未支付账单对客户账户中的总余额进行账龄分析。例如，假设一位客户在9月30日的账户余额如下：9月30日的应收账款账龄分析将把总余额85美元归入31~90天类别，因为最早的未支付账单(8月15日)是46天。让我们假设一周后(10月7日)客户支付了8月15日的25美元账单，则剩余的60美元总余额现在将归人0~30天类别，因为9月18日对应的是最早未支付金额日，不足31天。16-2转移概率假设在12月31日，马尔旺百货公司的账户中有总计3000美元的应收账款，公司管理层希望估计3000美元中有多少最终将被收回，以及有多少最终会导致坏账。预计的坏账金额将在年末财务报表中作为坏账准备金出现。随着公司的继续运营，我们可以将每周视为马尔可夫过程的一次试验，其中每一美元存在于系统的以下状态之一：状态1.

支付类别状态2.

坏账类别状态3.0~30天类别状态4.31~90天类别

16-2吸收状态

马尔旺百货公司应收账款情况的马尔可夫过程模型的一个重要性质是存在吸收状态。例如，一旦有1美元转移到状态1，即支付状态，则转移到任何其他状态的概率为0。同样，一旦有1美元转移到状态2，即坏账状态，则转移到任何其他状态的概率为0。因此，一旦账款转移到状态1或状态2，系统将永远保持这种状态。我们可以得出结论，所有应收账款最终将被吸收到已支付或坏账状态，因此被称为吸收状态。16-2基本矩阵当马尔可夫过程具有吸收状态时，我们不计算稳态概率，因为每个单位最终都会处于吸收状态之一的某个状态。有了吸收状态，我们就能计算出一个单位最终处于每个吸收状态的概率。对于马尔旺百货公司的问题，我们想知道以下情况的概率：目前0~30天类别的每一美元最终被支付的概率(吸收状态1)和最终成为环账的概率(吸收状态2)。目前处于31~90天类别的每一美元转化为这些吸收状态的概率。吸收状态概率的计算需要确定和使用所谓的基本矩阵。基本矩阵的数学逻辑超出了本书的范围。然而，如我们所示，基本矩阵是从转移概率矩阵推导得出的，对于状态数较少的马尔可夫过程来说，它相对容易计算。在下面的例子中，我们将展示：马尔旺百货公司基本矩阵的计算马尔旺百货公司吸收状态概率的确定16-2基本矩阵计算

16-2建立坏账准备金

16-2新信贷政策（减少坏账政策）假设根据前面的分析，马尔旺百货公司正在考虑制定一项涉及即时付款折扣的新信贷政策，来减少坏账金额的可能性。管理层认为，正在考虑的政策将把0~30天类别转移到支付类别的可能性从0.4提高到0.6，并将从0~30天类别转移到31~90天类别的可能性从0.3降低到0.1。因此，我们需要将前面的转移概率矩阵P进行修改:p31

从0.4增加到0.6p34

从0.3降低到0.1

16-2减少坏账准备金

本章小结在本章中，我们介绍了马尔可夫过程模型及其应用实例。我们发现，马尔可夫分析可以为涉及一系列重复试验的情况提供有用的决策信息，每个试验中可能存在的状态数量有限。主要目标是获得关于在经过长