4.2 角（12大题型提分练）2024-2025学年七年级数学上册同步课堂（北师大版2024）

第第页（北师大版）七年级上册数学《第4章基本平面图形》4.2角知识点一知识点一角的概念、表示方法◆1、角的概念：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角；②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角；◆2、角的表示方法：角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种：∠AOB∠O）∠1∠α表示方法温馨提示用三个大写表示顶点的在中间.用一个大写一个.用一个阿拉伯弧线，用一个小写希腊弧线，知识点二知识点二角的度量单位及换算方法◆1、角的度量单位是：度、分、秒.我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.◆2、角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.◆3、平角与周角的概念平角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边成一条直线时,所成的角叫作平角；周角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边重合时,所成的角叫作周角.1周角＝360°1平角＝180°◆4、度、分、秒是角的基本度量单位，它们的换算关系如下：160′1′＝60″1″＝知识点三知识点三角的比较与运算◆1、角的比较有两种方法：方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小.方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较①若边OB在内部，则∠AOB＜∠A'O'B'②若边OB与重合，则∠AOB＝∠A'O'B'③若边OB在外部，则∠AOB＞∠A'O'B'◆2、角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠BOC＝12◆3、角的和、差∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=∠AOC知识点四知识点四用尺规作一个角等于已知角◆作一个角等于已知角.已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.题型一角的定义及角的表示方法解题技巧提炼（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．1．（2023春•肥城市期中）如图所示，下列说法错误的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【分析】根据角的表示方法进行判断．【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；故选：B．【点评】本题考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．2．（2024春•聊城月考）下列说法中正确的是（）A．直线是平角 B．角的大小与角的两边长有关 C．角的两边是两条射线 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了【分析】分析题意，根据“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”即可判断A、C选项的正误；放大镜是将物体整体放大，但不改变角的大小；角的大小只与它的两边张开的大小有关据此解答．【解答】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误，不符合题意，C正确，符合题意；角的大小与边的长短无关，只与它的两边张开的大小有关，故B错误，不符合题意；放大镜是将物体整体放大，所以不改变角的大小，故D错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了角的概念，关键是角的概念的熟练应用．3．下列关于角的说法中，正确的个数为（）①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可．【解答】解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①③正确，②错误；角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是角的知识，熟练掌握角的定义是解题的关键．4．（2023秋•晋江市期末）如图，下列说法不正确的是（）A．∠BAC和∠DAE是同一个角 B．∠ABC和∠ACB不是同一个角 C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示【分析】根据角的定义解答即可．【解答】解：A、∠BAC和∠DAE是同一个角，正确，不合题意；B、∠ABC和∠ACB不是同一个角，正确，不合题意；C、∠ABC可以用∠B表示，正确，不合题意；D、∠AED可不以用∠E表示，不正确，符合题意；故选：D．【点评】此题考查的是角的定义，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．5．（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．6．（2024春•淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（）A． B． C． D．【分析】根据顶点只有一个角时可用一个大写字母表示角，所以可判定答案．【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角（小于平角），可用∠O表示，符合题意；选项B：∠1顶点处有三个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；选项C：∠1顶点处有2个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；选项D：∠1顶点处有4个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．题型二角的换算解题技巧提炼角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．1．（2024春•张店区校级月考）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（）A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′【分析】根据大单位化小单位除以进率，可得答案．【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，故选：A．【点评】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．2．（2023秋•新乐市期末）若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（）A．5°12' B．5°7'12'' C．5°7'2'' D．5°10'2''【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．【解答】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．故选：B．【点评】此题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握1°＝60′，1′＝60″．3．（2023秋•永年区期中）下列各式中，正确的是（）A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断．【解答】解：A．35.5°＝35°30′，不符合题意；B．15°12′36″＝15.21°，不符合题意；C．28°18′18″＝28.305°，不符合题意；D．65.25°＝65°15′，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确1°＝60′，1′＝60″．4．下列式子中错误的是（）A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42'＝50.7° C．98°45'+2°35'＝101°20' D．108°18'﹣57°23'＝51°55'【分析】根据“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．【解答】解：A、38.78°＝38°46′48''，计算正确，故本选项不符合题意．B、50°42'＝50.7°，计算正确，故本选项不符题意．C、98°45'+2°35'＝（98°+2°）+（45′+35′）＝100°+80′＝101°20'，计算正确，故本选项不符合题意．D、108°18'﹣57°23'＝（107°﹣57°）+（78′﹣23′）＝50°55'，计算错误，故本选项符合题意．故选：D．【点评】考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．5．（2024春•张店区校级月考）1.16°＝°′″；45°57′18″＝°【分析】度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．【解答】解：①∵0.16°＝0.16×60′＝9.6′，0.6′＝0.6×60″＝36″，∴1.16°＝1°9′36″；②∵18″＝18÷60＝0.3′，57.3′＝57.3÷60＝0.955°，∴45°57′18″＝45.955°；故答案为：1，9，36；45.955．【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，掌握相关运算是解题的关键．6．计算：（1）8.76°＝°′″；（2）540″＝°．【分析】（1）根据1°＝60'，1'＝60''进行换算即可；（2）根据1°＝3600''进行换算即可．【解答】解：（1）0.76°×60＝45.6'，0.6'×60＝36''，所以8.76°＝8°45'36''，故答案为：8，45，36；（2）540''÷3600＝0.15°，故答案为：0.15．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握单位之间的换算关系是解题的关键．题型三角度的运算解题技巧提炼1、度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．2、度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．1．（2024春•坊子区校级月考）计算：（1）47°53′43″+53°47′42″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″．【分析】（1）先度分秒分别相加，再根据满60进1的原则求出即可；（2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可．【解答】解：（1）47°53′43″+53°47′42″＝100°100′85″＝101°41′25″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″＝91°+115′+63″﹣46°﹣57′﹣54″＝45°+58′+9″＝45°58′9″．【点评】本题考查了度分秒之间的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．2．（2023秋•孝南区期末）计算：（1）48°39'+67°31'；（2）23°53'×2﹣17°43'．【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．【解答】解：（1）48°39'+67°31'＝115°70′＝116°10′；（2）23°53'×2﹣17°43'＝46°106′﹣17°43′＝29°63′＝30°3′．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．3．（2023春•谯城区校级期末）计算：（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）．【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．【解答】解：（1）89°35'+20°25'＝109°60′＝110°；（2）123°24'﹣60°36'＝123.4°﹣60.6°＝62.8°．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．4．如图，AB是一条直线，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度数．【分析】根据已知条件可得∠3＝180°﹣∠1﹣∠2；接下来将∠1与∠2的度数，代入计算，即可解答．【解答】解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣65°15′﹣78°35′＝36°10′．故∠3的度数是36°10′．【点评】本题侧重考查度分秒的换算．掌握度、分、秒之间的进率和计算方法是解题的关键．5．（2023秋•罗山县校级月考）计算：①180°﹣18°15'×6；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．【分析】①先计算乘法，再计算减法即可；②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可．【解答】解：①180°﹣18°15'×6＝180°﹣109°30'＝70°30'；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″）＝90°﹣75°18'30″＝14°41'30″．【点评】此类题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．6．计算．（1）56°18'+61°35'（2）19°26'﹣7°33'（3）78°14'+25°46'（4）108°11'5'﹣22°38'26″【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答．【解答】解：（1）56°18'+61°35'＝117°53'；（2）19°26'﹣7°33'＝18°86'﹣7°33'＝11°53'；（3）78°14'+25°46'＝103°60'＝104°；（4）108°11'5″﹣22°38'26″＝107°70'65″﹣22°38'26″＝85°32'39″．【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．7．计算：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．【分析】（1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法．（2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法．【解答】解：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″＝51°37′11″+12°25′40″﹣30°30′30″＝63°62′51″﹣30°30′30″＝33°32′21″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″＝39°159′﹣32°5′31″＝7°153′29″．＝9°33′29″．【点评】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．计算除法时，度的余数化为分，分的余数化为秒再计算．计算乘法时，秒满60时转化为分，分满60时转化为度．两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．两个度数相减，被减数可借1°转化为60′，借一分转化为60″，再计算．题型四钟表中的角度问题解题技巧提炼1、钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走1122、计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．3、钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．1．（2023秋•梁山县期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．110° B．75° C．105° D．90°【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2×30°+1＝60°+15°＝75°，∴钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°．故选：B．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．2．（2023秋•西山区期末）从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是（）A．90° B．120° C．180° D．150°【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：6×30°＝180°，∴从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是180°，故选：C．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．3．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：4.5×30°＝135°，∴1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是135°，故选：C．【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．4．（2023秋•乌鲁木齐期末）钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（）A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【解答】解：如图，从6：50到7：30，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上的分针经过40分钟旋转的角度是30°×8＝240°，钟表上的时针经过40分钟旋转的角度是240°×1故选：B．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（1125．（2023秋•金台区校级月考）当时针指向上午10：15时，时针与分针的夹角是°．【分析】根据时针一分钟转360°÷12÷60＝0.5°，分钟一分钟转360°÷60＝6°，求出从10：00到10：15，时针和分针所走的度数，进行求解即可．【解答】解：∵时针一分钟转360°÷12÷60＝0.5°，分钟一分钟转360°÷60＝6°，∴从10：00到10：15，时针转过的度数为：15×0.5°＝7.5°，分针转过的度数为15×6°＝90°，∵十点时，时针与分针的夹角为60°，∴时针与分针的夹角是90°+60°﹣7.5°＝142.5°；故答案为：142.5．【点评】本题考查钟面角，解题的关键是理解时针一分钟转360°÷12÷60＝0.5°，分钟一分钟转360°÷60＝6°．6．知识的迁移与应用问题一：甲、乙两车分别从相距180km的A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），后两车相距120km？问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．（1）3：40时，时针与分针所成的角度；（2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为；（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？【分析】问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可；问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份30°，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．（2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，分针每分钟转过的角是15分，即1（3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．【解答】解：问题一：设xh后两车相距120km，若相遇前，则36x﹣24x＝180﹣120，解得x＝5，若相遇后，则36x﹣24x＝180+120，解得x＝25．故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5或25后两车相距120km；（1）30°×（5−40故3：40时，时针与分针所成的角度130°；（2）分针每分钟转过的角度为6°，时针每分钟转过的角度为0.5°；（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成60°角．①当分针在时针上方时，由题意得：（3+x60）×30﹣6解得：x=60②当分针在时针下方时，由题意得：6x﹣（3+x解得：x=300答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过6011或300故答案是：5或25；130°；6°；0.5°．【点评】问题一：考查了一元一次方程的应用，主要利用了相遇问题等量关系，追及问题等量关系，熟练掌握行程问题的等量关系是解题的关键，难点在于分情况讨论．问题二：考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数．题型五角的计数与规律探究解题技巧提炼数角的个数的方法类似于数线段的方法,当∠AOB内部有n条射线时，射线的总数就有（n+2）条，共有（n+11．（2023秋•青龙县期中）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（）A．10个 B．9个 C．8个 D．4个【分析】根据角的定义即可解决．【解答】解：图中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB，∠AOB共10个．故选：A．【点评】本题考查了角的概念，是基础题，难点在于计算角的个数时要分单个的角与复合角两个部分查出．2．（2023秋•兴城市期末）如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（）A．n（n+1） B．(n+1)(n+2)2C．n(n+1)2 D．【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，根据图①，图②得出规律，即可．【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；图②：有4条射线，组成1+2+3个角；∴当有a条射线，组成1+2+3+⋯+(a−1)=1∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，∴组成12故选：B．【点评】本题考查角的定义，解题的关键是理解角的定义，观察上述图形，找出规律．3．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（）A．n22 B．C．n(n−1)2 D．【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式．【解答】解：画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故选：D．【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．4．（2023秋•连城县期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A．165 B．186 C．199 D．210【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．【解答】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=12×（n∴画19条不同射线，可得锐角12故选：D．【点评】此题考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是12×（n+1）×（5．观察如图，回答下列问题：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…则图中有个不同的角．【分析】（1）根据图形数出即可；（2）根据图形数出即可；（3）根据图形数出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66个角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11＝66个不同的角，故答案为：66．（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案为：(n+1)(n+2)2【点评】本题考查了角的有关概念的应用，关键是能根据题意得出规律．题型六角的比较解题技巧提炼角的大小比较（1）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．1．（2023春•岱岳区期末）在∠AOB内取一点C，作射线OC，则一定成立（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC【分析】由角的大小比较方法，即可判断．【解答】解：A、只有OC平分∠AOB时，∠AOC＝∠BOC，故A不符合题意；B、∠AOC不一定大于∠BOC，故B不符合题意；C、∠BOC不一定大于∠AOC，故C不符合题意；D、∠AOB＞∠AOC，正确，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查角的大小比较，关键是掌握角的大小比较方法．2．（2023秋•呼和浩特期末）如图所示，正方形网格中有∠α和∠β，如果每个小正方形的边长都为1，估测∠α与∠β的大小关系为（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．无法估测【分析】将∠α平移，让∠α与∠β两个角的顶点重合，即可解答．【解答】解：将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合，可得：∠α在∠β的内部，所以∠α＜∠β，故选：A．【点评】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．3．（2023秋•渠县校级期末）如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【分析】依据叠合法，将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置，即可得出结论．【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法判断角的大小关系．4．（2023秋•红桥区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定【分析】由图知/A∠45°，∠B＞45°，故可比较大小．【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，∴∠A＜45°，＜B＞45°，∴∠A＜∠B，故选：B．【点评】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键．5．（2023秋•长安区期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定【分析】先换算单位，再进行比较．【解答】解：∵40.4°＝40°24′，∴40°24′＞40°4'，∴∠A＞∠B．故选：A．【点评】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算．6．（2024春•莘县期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下面说法正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等【分析】据观察题中的角表示方法，只要把∠1转化为度的形式，即可比较三个角的大小．【解答】解：∵∠1＝251260∴∠1＝∠3．故选：C．【点评】本题主要考查比较的大小，把∠1转化为度的形式是解本题的关键．7．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】连接OE，根据题意可得：∠COE＝∠AOB，然后进行比较即可解答．【解答】解：如图：连接OE，由题意得：∠COE＝∠AOB，∵∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案为：＞．【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．题型七角的和、差、倍、分解题技巧提炼角的和、差、倍、分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠1．（2023秋•驻马店期末）如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA【分析】根据角平分线的性质，可得答案．【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，利用了角平分线的性质．2．（2023春•阳谷县期中）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列说法正确的是（）A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB【分析】一种可能OA是∠COB的角平分线，另一种可能是OA在∠COB的外边．【解答】解：如图：有两种可能：①；②；∠AOC＝3∠AOB不一定，故A选项错误，不符合题意；∠AOC＝∠AOB不一定，故B选项错误，不符合题意；∠AOC可能等于∠BOC，故C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题关键考虑到两种可能的情况，再对选项一一判断．3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（）A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC【分析】根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠BOC，∴∠AOD﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB＝∠BOD，故选：A．【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中角的和差关系是正确解答的前提．4．（2023秋•肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（）A．∠COD=12∠AOB B．∠AOD=2C．∠BOD=12∠AOD D．∠BOC=【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案．【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOC=12∠AOB，∠BOD=12∠AOC∴∠BOC=23∠故选：D．【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．5．（2023秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（）A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分线的定义再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，从而可得答案．【解答】解：∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠BON，∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM，∵OC是∠MOB的平分线，∴∠MOC＝∠BOC=12∠∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON，∴∠AOM＝2∠NOC，故选：B．【点评】本题考查了角的和差运算，角的平分线定义，熟练运用角的和差关系探究角与角之间的关系是解题的关键．6．【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD＝∠BOC【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC∠AOF=∠BOF=1∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=1即∠DOE=12∠AOB②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF，=1=1=1=1=1=1∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正确；③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，∠DOF=1∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD，∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD，∴∠EOF=12(∠COF+∠BOF)综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF=1题型八角的平分线的应用解题技巧提炼1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．2.性质：若OC是∠AOB的平分线：则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠1．（2024春•潍城区期中）如图，已知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是（）A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1与∠AOB表示同一个角【分析】根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可．【解答】解：A．∠AOC≠2∠BOC，故本选项不符合题意；B．∠BOC可能大于∠AOB，也可能小于∠AOB，也有可能等于∠AOB，故本选项不符合题意；C．∠AOC不可以用∠O表示，故本选项不符合题意；D．∠1与∠AOB表示同一个角，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查角的大小比较及角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC【分析】分两种情况，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的内部．【解答】解：分两种情况：当∠BOC在∠AOB的外部，如图：∵∠BOC=12∠∴∠AOC＝3∠BOC，当∠BOC在∠AOB的内部，如图：∵∠BOC=12∠∴∠AOC＝∠BOC，故选：D．【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．3．（2023•大庆开学）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线，OC为∠BOE的平分线，∠BOC＝．【分析】依据题意，设∠BOC＝x°，结合题意，可得∠BOE＝2x°，∠DOE＝90°﹣x°，再由OE是∠BOD的平分线，即可得解．【解答】解：由题意，设∠BOC＝x°，∵OC为∠BOE的平分线，∴∠COE＝∠BOC＝x°．∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝2x°．又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°．又OE是∠BOD的平分线，∴∠BOE＝2x°＝∠DOE＝90°﹣x°．∴x＝30．故答案为：30°．【点评】本题考查了角平分线的定义，解题时要熟练掌握并理解是关键．4．（2023秋•南明区期末）如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则∠BOE的大小为．【分析】先根据已知的三个角计算∠AOD的度数，再根据角平分线求得∠AOE的度数，最后根据角的和差关系计算∠BOE的大小．【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，∴∠AOD＝96°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=1∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝48°﹣30°＝18°．故答案为：18°．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，注意：角平分线把角分成相等的两个角，这是解题的主要依据．5．（2023秋•碑林区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度数．【分析】设∠BOC＝x°，则∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，再根据角平分线的定义用x表示出∠COE，通过∠BOE＝∠COE﹣∠COB解出值，再根据角的和差关系即可求解问题．【解答】解：设∠BOC＝3x°，则∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，∵OE是∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC＝4∵∠BOE＝∠COE﹣∠COB，∴16°＝4x°﹣3x°，解得x＝16．∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=12∠BOC＝1.5∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+16°＝40°．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，分析出角的和差倍分关系是解题的关键．题型九角的尺规作图解题技巧提炼角的尺规作图是利用直尺和圆规作一个角等于已知角.1．（2023秋•桥西区期末）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧【分析】运用作一个角等于已知角的方法可得答案．【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．2．（2024春•辽阳期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（）①以C为圆心，OE长为半径画MN，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交MN于点D．④以O为圆心，任意长为半径画EF，分别交OA，OB于点E，F．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②【分析】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断．【解答】解：根据作一个角等于已知角的过程可知：④以O为圆心，任意长为半径画EF，分别交OA，OB于点E，F．①以C为圆心，OE长为半径画MN，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交MN于点D．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．3．（2023秋•裕华区期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（）如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F（4）作⊕，∠DEF即为所求作的角A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射线EF【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．所以A，B，C选项都错误，D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）是解题的关键．4．（2024春•芝罘区期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（）A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D；②以点B为圆心，以OC为半径画EF，交射线BO于点E；③以点E为圆心，以CD为半径画MN，交EF于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF＝∠AOB．故选：D．【点评】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答本题的关键．题型十三角板中角的计算解题技巧提炼三角板中的角的计算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°进行相关的计算.1．（2023秋•广州期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（）A．15° B．20° C．30° D．70°【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果．【解答】解：由图形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°．故选：A．【点评】此题考查了角的计算，关键是掌握三角板各角的度数，每副三角板中，都有一个等腰直角三角板和一个直角三角板，再根据角的度数进行计算．2．（）A．24° B．25° C．26° D．27°【分析】先利用角的和差关系求出∠ACD，再利用角的和差关系求出∠2．【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1＝45°﹣9°＝36°．∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD＝60°﹣36°＝24°．故选：A．【点评】本题考查了角的计算，掌握三角板各个角的度数及角的和差关系是解决本题的关键．3．（2023春•滕州市校级期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD【分析】根据题意，利用角的和差判断正误．【解答】解：根据题意可知：∠CAE+∠DAC＝90°，∠BAE﹣∠DAB＝90°，∠BAE+∠DAC＝180°，∠DAC+∠BAD＝90°，∴A、B、D选项不成立，只有C选项成立，故选：C．【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算．4．（2023秋•市北区期末）如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是度．【分析】根据∠1可以求出∠EAC，从而求出∠2即可．【解答】解：∵∠1+∠CAE＝∠BAC＝60°，∠1＝23°，∴∠CAE＝37°，又∵∠2+∠CAE＝∠DAE＝90°，∴∠2＝53°．故答案为：53．【点评】本题主要考查了角的计算，合理运用图中各角的数量关系是本题解题的关键．5．（2023秋•江汉区期末）如图，将三角板的直角顶点O放在直线AB上，OE平分∠AOC，绕点O转动三角板，若∠BOD＝20°，则∠AOE＝°．【分析】由题意可得∠COD＝90°，由补角的定义可求解∠AOC＝70°，再由角平分线的定义即可求∠AOE的度数．【解答】解：由题意得：∠COD＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝70°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠故答案为：35．【点评】本题主要考查补角，角平分线的定义，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．6．（2023秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（）A．55° B．65° C．70° D．75°【分析】根据题意可得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，从而可得∠AOD＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝45°﹣∠DOB，再结合已知可得60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，然后求出∠DOB＝35°，从而求出∠BOC＝10°，最后利用角的和差关系求出∠AOC，即可解答．【解答】解：由题意得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB，∵∠AOD+∠BOC＝35°，∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，∴∠DOB＝35°，∴∠BOC＝10°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°，故选：C．【点评】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．题型十一角度计算的解答题解题技巧提炼角度计算的解答题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到角分线的性质。1．（2023秋•灵宝市期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数；（2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠MOC=12∠AOC，∠NOD=1（2）根据角的和差关系解答即可．【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOD=1∴∠MON=12（∠AOC+∠BOD）+∠COD=12（2）∠DOM＝∠CON，理由如下：∵∠MOC=12∠AOC，∠NOD=12∠BOD，∠∴∠MOC＝∠NOD，∴∠MON﹣∠NOD＝∠MON﹣∠MOC，∴∠DOM＝∠CON．【点评】本题考查的是角的计算，掌握角的和差计算、正确认识图形是解题的关键．2．（2023秋•德惠市期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？（2）在（1）的条件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，可得∠COE=12∠AOB（2）由∠BOE＝∠EOD＝∠EOC﹣COD，然后将∠COD＝20°31′，∠COE的度数代入即可．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∴∠COD＝∠AOC=12∠AOD，∠DOE＝∠BOE=1∴∠COE＝∠COD+∠DOE=1=1=1=1＝65°；（2）∵∠COD＝20°31′，∠COE＝65°，∠DOE＝∠COE﹣∠COD，∴∠DOE＝65°﹣20°31′＝44°29′，∵∠BOE＝∠DOE，∴∠BOE＝44°29′．【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：由角平分线的定义得到∠COE=13．（2023秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠AOD的度数；（2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数．【分析】（1）根据∠AOD＝2∠BOD可得∠AOD=23∠AOB，代入∠（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD=23∠∴∠AOD=23∠AOB（2）当OC在∠AOB内时，∵∠AOC：∠COB＝1：3，∴∠AOC=14∠∵∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°；当OC在∠AOB外时，∵∠AOC：∠COB＝1：3，∴∠AOC：∠AOB＝1：2，∵∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝80°+60°＝140°，综上所述，∠COD的度数为50°或140°．【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．4．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键．5．（2023秋•江源区期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．（2）若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．【分析】（1）①根据角的和的关系解答，②利用周角的定义解答；（2）①根据同角的余角相等解答，②根据图象，表示出∠AOC整理即可得到原关系仍然成立．【解答】解：（1）①∵∠AOD＝90°+∠BOD∠BOC＝90°+∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°＝360°，∴∠AOC+∠BOD＝180°；（2）①∵∠AOD＝90°﹣∠BOD，∠BOC＝90°﹣∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②成立．∵∠AOC＝90°+90°﹣∠BOD，∴∠AOC+∠BOD＝180°．【点评】本题主要考查角的和、差关系，理清和或是差是解题的关键．6．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB=12∠AOE（2）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB=12∠AOE，即∠AOE（3）由角平分线的定义得出得出∠AOB=∠BOC=12∠AOC，∠COD=∠EOD=12∠COE，根据∠AOE＝∠【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC，∴∠COD=1∵∠AOE＝140°，∴∠COD+∠COB=1∵∠COD＝30°，∴∠BOC＝40°；故答案为：40°．（2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．∴∠COD=1∴∠COD+∠COB=12∠AOE即∠AOE＝2∠BOD，（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．∴∠AOB=∠BOC=1∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD−∠BOC=1∴∠AOE＝2∠BOD．【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．题型十二角度计算的动态问题解题技巧提炼角度计算的动态问题是化动为静，综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想.1．（2023秋•桥西区期末）已知直角三角形MON的直角顶点O在直线AB上，射线OC平分∠AON．（1）如图1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度数；（2）如图2，将三角形MON绕点O逆时针旋转，若∠BON＝100°，求∠AOM的度数；（3）如图3，将三角形MON绕点O逆时针旋转，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角的和差及互余的定义求解即可；（2）根据角的和差求解即可；（3）根据角平分线定义及邻补角定义求解即可．【解答】解：（1）∠MOC＝34°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣34°＝56°，又∵OC平分∠AON，∴∠NOC＝∠AOC＝56°，∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝56°﹣34°＝22°；（2）∵∠BON＝100°，∴∠AON＝180°﹣∠BON＝180°﹣100°＝80°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝90°﹣80°＝10°；（3）∠BON＝2∠MOC，理由如下：∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∠AON＝2∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即∠BON＝2∠MOC．【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．2．（2023秋•泊头市期末）已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，∠COD＝30°．（1）将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边OC上，则∠BOD＝；（2）将直角三角尺OCD从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使OB恰好平分∠COD，求∠AOC的度数；（3）如图3，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，若三角尺OCD在∠AOB内部绕点O任意转动（OC、OD均在∠AOB内部），试判断∠MON的度数是否会发生变化？通过计算说明理由．【分析】（1）根据∠BOD＝∠AOB﹣∠COD即可得出答案；（2）根据角平分线性质得∠COB＝15°，再根据∠AOC＝∠AOB﹣∠COB可得出答案；（3）先求出∠AOC+∠BOD＝60°，再根据角平分线定义得∠MOC+∠NOD＝30°，由此可得∠MON得度数．【解答】解：（1）依题意得：∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，故答案为：60°；（2）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OB恰好平分∠COD，∴∠COB=12∠∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；（3）∠MON的度数不发生变化，始终等于60°，理由如下：∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，∵OM平分∠AOC