2023届高考数学专项练习高分突破智取压轴小题15 立体几何中最值问题含答案

2023届高考数学专项练习

立体几何中最值问题

一.方法综述

高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类

问题，既可以考杳学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力。最值问题一般涉及到

距离、面积、体积、角度等四个方面。

此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与

距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量

的坐标运算,建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态,

直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.

二.解题策略

类型一空间角的最值问题

【例0（2020•浙江高三期末）如图，四边形ABC。，AB=BD=DA=4,=CO=2拉，现将△/WD

沿8。折起，当二面角人一3。一。的大小在杏］时，直线A3和。。所成角为。，则cosa的最大值

为（）

A2V2-V6口V6-2V2「2>/2+>/6n2V2+V6

8484

【答案】C

【解析】取8。中点。，连结AO.CO,

•：AB=BD=DA=4.BC=CD=2曰・・.CO_LB。，AOVBD,且CO=2,40=26,

・•・NAOC是二面角A-BD-C的平面角，

以。为原点，OC为x轴，。。为y轴，

过点。作平面8c。的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

B(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0),

兀）］

设二面角4-8。-。的平面角为。，则。£—

JJ

连A。、B0,则NAOC=0,A(^cosO^l^sinG),

・•・BA=(260必2,2氐讥。)，CD=(-2,2,0),

ABCD1-\[3cos0

设AB、CD的夹角为a,贝I」cosa---------------

AB\\CD2V2

712万11

■:ewcos0E-------------I--Geos，®。，

7'T22哼.

・・・8sa的最大值为20+G.故选：c.

8

【指点迷津】空间的角的问题，只要便于,建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意,

空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.

【举一反三】.

1.（2020・广东高考模拟）在正方体ABCD-A|B£|D|中，E是侧面AD»A1内的动点，且»E〃平面

BDJ,则直线BF与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）

B

1

i1R石rn友

—o.C.-D.

3322

【答案】B

【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD-A[B]C]D]中棱长为1,

设E(a,0,c),0<a<l,0<c<l,

1),B(lj,0),D(O,0,0),C1(0j,1),

B,E=(a-l,-l,c-l),DB=(1.1,0),DC,=(0,hD,

设平面DBC1的法向量n=(x,y,z),

n-DB-x+y—0_,一、

则：，取x=l,得n=

n-DC,=y+z=0'7

♦・・B|E〃平面BDG，.•.B|En=a-l+l+c-l=0,解得a+c=l,

/.a2+c2=(a+c)2-2ac=l-2ac,ac<a+c]_

丁4

设直线B,E与直线AB所成角为3,

ABB|E

AB=(0,1,0),/.cos9=

AB|.|B,E^(a-l)2+l+(c-l)2

(士,2-24一，，二,

*/ac<

[2J422-2ac3

1

/.sin9=11

(a-l)2+l+(c-l)2+c2-2(a+c)+3

・•・直线BF与直线AB所成角的正弦值的最小值是巫.故选B.

3

2.（2020•河南高三月考（理））如图，在菱形A4CO中，NA3c=60。，E,尸分别是边CD的中点，现

将AA8C沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为（）

…B.殍C.乎D.当

【答案】D

【解析】如图,

以AC的中点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角8-AC-O为8,可证N3QZ）=e,设棱

形的边长为4,则A（0,-2,0）,8（26cosM,0,2』sing）,E（Gcos，,—l,Gsin。），C（0,2,0）,

0（26,0,0）,尸（6,1,0）

FE=（Gcos8一一2,y/3sin。），易知平面ACD的法向量〃二（0,0,1）

设直线环与平面ACO所成角为a,则

__________3sin2<9__________3sin*

JH|-|FE|J-3(cos<9-l)2+4+3sin2<9-10-6COS6>2(5-3COS6>)

1-x23f-i0x+3(3x-l)(x-3)

令/(%)=xe(-i,i),r(x)=

(3x-5)2~(3x-5)2

5-3x

则f'（x）>0时一即在（一1,；）上单调递增;

尸（制<。时;<%<i即/（“在la』上单调递减;

"(孤=吗)J,《sin2aL=；则3/叽.

\sin2a1.V2.，上_

(tan-«)==-,/.(tanaA)=——，4故4T选：D

\,3COSa2',max2

3.43是圆锥SO的直径，SB是它的一条母线，£、F是S3的两个三等分点（£点靠近S点），C点在圆0

上运动（不与人、B两点重合），则二面角七一AC一歹的平面角为。则tana的最大值是.

【答案］上屈

20

【解析】设圆锥的高为/2,3C="如图所示，二面角£一AC-月的平面角为必=NEON,,二面角

尸一4。一8的平面角为4=//6”,

2,1z

—h,—ho.

,tl3h32h

则lan%=^—=-,tana2=^=—

La5。

36

设X，—丝上,

a5a5

所以tana=tan(%-4)=

所以3区3二京二4雨.

故答案为：—>/10

20

类型二空间距离的最值问题

【例2】（2020银川一中模拟）正方体ABC。-AMg。的棱长为1,M-、N分别在线段AG与/。上,MN

的最小值为____________

【答案】1

【解析】分析：方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求；方法二，可设出

变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解；方法三，建立空间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示

出目标函数，然后利用函数方法求解最值.

方法一（定义转化法）因为有线AG与8。是异而真线.所以当是两直线的共乖线段时

取得最小值。取4G的中，也尸，8。的中点Q.则线段尸。就是两异面直线4G与8。的共垂线段.

下证明之.

在矩形BDD国中,PQ为中位线，所以PQHBB{,

又因为6耳_L平面ABC。,所以PQ~L平面ABC。

又因为33口平面A3CQ,

所以PQJL8O.

同理可证尸

而PQCI3Z）=Q,Wi=R

所以线段PQ就是两异面直线AG与BD的共垂线段，且PQ=L

由异面直线公垂线段的定义可得MNNPQ=1,故MN的最小值为I.

方法二：（参数法）如图，取4G的中点p,80的中点Q则线段PQ就是两异面直线4G与的共匪线段.

由正方体的棱长为I可得尸。=1.

连结4C,则AC〃4C，所以N30C为两异面直线AG与8。所成角.

在正方形ABC。中.AC_L8。,所以NBQC=90.

过点M作用〃_LAC,垂足为H，连结NH，则MH〃PQ,且MH=PQ=\.

设PM=m,QN=f,则QH=m.

在Rt\QNH中，HN2=QN2+QH2=n2+

在Rt\MHN中,MN?=MH2+HN2=12+n2+府.

显然，当〃2=〃=o时,MN?取得最小值1,即MN的最小值为I.

方法三：（向量法）如图，以D为坐标原点，分别以射线3A、DC、DR为X、），、z轴建立空间直角坐标

系.设DN=〃?,4M=〃.则N(mcos45,sin45,0),即

M(1-/2cos45,〃sin45,1),即M(1-立〃，正〃，1).

22

所以MN?=[^-m-(\-7?)]:+12=(m2+n2)-\f2(m4-/?)+2

2222

故当m=〃=也时,MN?取得最小值1,即MN的最小值为1.

2

z

Ci

【点评】空间中两点距离的最值摄基本的方法就是利用距离公式建立目标函数，根据目标函数解析式的结构

特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值，可以根据这两个元素之间的关系，借助立体

几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值。

【举一反三】

1.（2020河南省焦作市模拟）在棱长为4的正方体ABCI）-ABCD中，点E、F分别在极AA,和AB上，且CE_LEF,

则|AF|的最大值为（）

A.2B.1C.D.2

【答案】B

【解析】以AB,AD,AAi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示,

贝IJG(4,4,4),设E(0,0,z),zG[0,4],F(x,0,0),x£[0,4],

则|AF|=x.ECI=(4,4,4-z),E?=(x,0,-z).

因为CE_LEF,所以省•乔=0,即：Z2+4X-4Z=0,X=Z-JZ<

当？=2时，x取得最大值为1.|AF|的最大值为1.故选：B.

2.（2020.四川高三期末（理））已知三棱锥S-A3C中，S4=S3=SC=1,且SA、SB、SC两两垂直,

。是三棱锥S-A3c外接球面上一动点，则户到平面ABC的距离的最大值是（）

A.3B.&C.巫D.迪

333

【答案】C

【解析】

.・三棱锥5-ABC,满足SA,SB,SC两两垂直，且SASB,SC=1,

二.如图SA,SBSC是棱长为I的正方体-AOCS_L具有公共顶点S的三条棱,

以3为原点,8M,8Q,8s分别为x轴，1y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则B（0,0,0）,A（l,0,l）,C（（Ul）、5（0,0,l）,N（l,l,0）,

BX=（l,0,l）,Z?C=（0,l,l）,B^=（1,1,0）,

设平面ABC的法向量〃=（x,yz）,

।"8A=x+z=0

则＜——取x=l,得;2=(1,1,-1),

n-BC=y+z=0

三棱锥S—ABC外接球就是校长为1的正方体MVQ8—AOCS的外接球,

•/P是三棱锥S-ABC外接球上一动点，

•••由正方体与球的几何性质可得，点尸点与N重合时,

点P到平面ABC的距离最大,

ll+l+Ol2为

•••点P到平面ABC的距离的最大值为d=—nJ=J-尸」=出.故选C.

网63

3.（2020•山西高三月考）设点"是棱长为2的正方体48。。-小办©。|的棱八。的中点，点尸在面8。。办

所在的平面内，若平面APM分别与平面ABC。和平面BCG办所成的锐二面角相等，则点P到点Ci的最

短距离是（）

A.辿B.—C.1D.逅

523

【答案】A

【解析】如图，过点P作。M的平行线交3C于点。、交B©于点、E，连接MQ，

则PQ是平面O/M与平面3CCM的交线，MQ是平面2PM与平面48co的交线.

瓦与88平行，交RC干点、F，过点尸作R7乖百千点G,则有，MQ与平面EFG垂直，

所以，EG与M。垂直，即角EG尸是平面与平面A8CD的夹角的平面角，且sinNEGF=芸，

EG

MN与CO平行交BC于点、N,过点N作N”垂直EQ于点，，

MN

同上有：sin/MHN=——，且有ZEGF=/MHN,又因为EF=MN=AB,极EG=MH,

MH

而2SWQ=EGXMQ=M"XEQ,故MQ=EQ,

而四边形£QMR一定是平行四边形，故它还是菱形，即点£一定是qG的中点，

点P到点G的最短距离是点G到直线BE的距离，

以A为原点，A8为x轴，4。为）'轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

£（2,1,2）,4（2,0,0）,C,（2,2,2）,

“”（0,1,2）,g=（0,2,2），二点夕到点G的最短距离：

2g卜岳意=.•故选:A-

4.如图，三棱锥A—88中，AC=AD=8C=8O=10,AB=8,CQ=12,点P在侧面AC。内,

且点P到直线AB的距离为4,则点P到平面3CQ距离的最小值为.

【来源】山西省临汾市2021届高三下学期二模数学（理）试题

【答案】473-4

【解析】由于点P到直线A3的距离为4,所以点P在以AB为轴底面半径为4的圆柱的侧面上，由题得侧

面ACD与圆柱的侧面的交线为椭圆的一部分（因为侧面ACD与直线AB不垂直，所以该侧面所在的平面与

圆柱的交线一定为椭圆），所以点P的轨迹为侧面PCD与圆柱的椭圆交线的一部分，

如图，取CD的中点为M,连接AM,BM,由AC=A£>=BC=BD=1O,AB=8,CD=\2,得

AM±CD,BM1CD,AM=BM=Sf

所以CDJ_平面ABM,CD关于平面ABM对称.

连接AP并延长AP交CD于N,连接BN,过点N作NE_LA8,过点P作PF1AB,

由胭得&ACNaBCN，所以AN=8V,所以4E=LA8=4,

2

4417i

所以cos乙EAN=—/8<AA<10,.\cosZEAN4EAN>-,

AN823

TT

（此时点P在线段AM上,ZBAM=-）

3

所以sin/EAN?且,.,.竺=±2正,APWgg.

2APAP23

o

所以AP最大值为PN最小，（此时点N和点M重合）.

由对称性得点P到平面BCD的距离最小，

所以距离的最小值为（8--V3）X^-=4>/3-4.

32

故答案为：4>/3-4

类型三周长、面积与体积的最值问题

【例3】已知点P是等边AABC外一点，且点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边8c上，若△48C的边

长为2,三棱锥P-A8c的外接球体积为46;r，则三棱锥PT8c体积的最大值为.

【来源】湖南省三湘名校教育联盟2021届高三下学期第三次大朕考数学试题

2&十近

【答案】

3

【解析】如图，点P在过直线PC与平面A8C垂直的球的小圆面的圆周上，

当点P在平面ABC的射影为BC中点时，三棱锥P-48c体积最大，

设等边三角形48c的中心为。”三棱锥P-A8c的四个顶点都在球。上，球。的体积为4&,

外接球的半径r=J5，;△48c的边长为2,点P在△ABC所在平面内的射影恰好在边8C」：，

设为。，过。作OE_LP。，垂足为E,垂足为E,依题意可得，0iD=*=EO，

PE=ylpo2-EO?=半'OQ=JAO2-AO；=华,

乂S,A8c=LX2X2X3=G，PD=2巫+岳，所以三棱锥P-ABC体枳的最大值为

o/iDv223

1/T2V6+VL526+亚

—xy]3x----------------=--------------»

•••三棱锥P-ABC体积的最大值为2&+/

3

【例4】已知为球面上四点，M,N分别是A及。。的中点，以MV为直径的球称为48,8的

“伴随球〃，若三棱锥的四个顶点在体积为36万的球面上，它的两条边ARC。的长度分别为4友

和2石，则A&C。的伴随球的表面积的取值范围是

【来源】安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研理科数学试题

【答案】［乃,9句.

【解析】由题意可知，球的半径为R=3,分别取球。的两条弦A3,CD的中点M,N,则

OM=—（2夜了=T,ON=出2—（逐］=2，即弦A3,C。分别是以。为球心，半径为1和2的球的

切线，且弦CD在以。为球心，半径为1的球的外部，

的最大距离为2+1=3,最小距离为2—1=1.

当M,O,N三点共线时，分别取最大值3与最小值1.

故AB,CD的伴随球半径分别为,

22

1（1

半径为彳时，AB,CD的伴随球的表面积为47rx-=万，

3<3Y

当半径为一时，入反CO的伴随球的表面积为47rx-=9兀.

2⑴

.•.48（。的伴随球的表面枳的取值范围是［肛9句.

故答案为：［乃,94］.

【例5】（2020•重庆南开中学高二期末）如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2,

ZDAB=60，过体对角线8R的截面5与棱AA和eg分别交于点七、F,给出下列命题中:

①四边形BE'F的面枳最小值为2#；

②直线七〃与平面8CGM所成角的最大值为四；

4

③四棱锥B「BERF的体积为定值；

④点瓦到截面S的距离的最小值为名旦.

7

其中，所有真命题的序号为（）

A.①②③B.①®④C.①@D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】①分析可得当£产为为棱AA，CG的中点时,四边形BE。①的面积最小，求解即可；

②过点E的平面BCCM的垂线交平面于点M，转化直线EF与平面BCC.B,所成角最大为直线族与直线

EM的夹角最小，进而求解即可；

③转化四棱锥的体积为以平面84石和平面BBF为底的三棱锥的体积的和，进而求证即可；

④分析可得当点E与点A重合，点产与点G重合时四边形BEDF的面积最大,此时点Bi到截面S的距离的

最小,进而求解即可

【详解】由题，因为过体对角线，则由对称性易得四边形是平行四边形，

连接AC,8。,且交于点。,过点£作8。的垂线，垂足为N,

则若四边形BE/F面积最小，即EN最小，

即为棱到平面DBBQI的距离，即为4。长，

因为ND$=60。，则ZABC=120°,

所以AC=y/AB2+BC2-2ABBCcosZABC=^22+22+2x2x2x-=273,

则AO=24C=技

2

又初二）附+7）河=也+22=2五,

所以S=Jx2&x&x2=26，此时E,F为棱A4,CC、的中点，故①正确；

过点E的平面8。。石的垂线交平面于点M厕EM即为点E到平面BCQB]的距离，根据底面菱形

A8C力的性质，可得EM=6

若直线EF与平面3CC蜴所成角最大,则直线EF与直线EM的夹角最小，即NFEM最小，此时

EM

cosZFEM=—最大，即所最小，

EF

FMCIr

即'=AC时，故

EF25/323

则直线与平面8。。石所成角最大为[一f=m，故②错误；

236

设点仅到平面48片A，平面BCC.B,的距离分别为4,用抑从点。分别向A4,4G作垂线即可,由菱形

ABCD1可得/q=%=y/3,

7+X

VB「BED[F=VD「BBIE+=§XSBB]E'^1TBBtF-^2

=-x-xBB.•AB-h,+-x—BB.-BC•/?0=—x2x2/z,+—x2x2/^=-x2\/3=,

321^32,~616’33

为定值，故③正确；

因为四棱锥用-BE。尸的体枳为定值占8,

3

所以若点用到截面S的距离的最小，则截面5的面积最大和四边形BERF面积最大抑EN最大,则当点E

与点A重合，点厂与点G重合时符合条件，此时在「BDE中，BE=2、BD】=ER=2/，则

/moRE?+QB?-BE?3币

cosZED,B='.二…、-二:，则rtlsinZED.B=—,

2REDiB414

所以EN=E£VsinNEQf=2&乂且=巫，此时S=1x2&x巫X2=2V7,

1,4222

设点B1到截面S的距离为d,则V=M=拽，所以d=名旦,故④正确

3337

综上，①③④正确，故选：B

【举一反三】

1.在直三楂柱ABC-A4G中，4ABe是等腰直角三角形，且AB_L3C.若该三楂柱的外接球半径是2，

则三棱锥G-A8C体积的最大值为.

【来源】湖北省十堰市2021届高三下学期4月调研数学试题

【答案】竺巨

27

【解析】如图，由题意可知三棱柱A〃C-AMG的外接球的直径为AG，则AG=4,即

2122

AB+BC+C,C=AC：=16,从而2A1+C(C=16.

2

三棱锥产一G一ABC的体积为V=-S^BCCC^-x-ABCCX=CCf+-CC,.

332123

设f(x)=---X3+-X(0<X<4),则r(x)=-'x2+±(0<x<4).由/(x)>。，得。<不<1^；

'123433

由r(x)v0,得4>x>速.故”上挈.

31327

2、如图，已知平面a)夕=/,A、3是/上的两个点，C、。在平面夕内，且D4_La,C8_La,A/)=4,

AB=6,BC=8,在平面a上有一个动点尸，使得ZAPD=/BPC,则P-ABCD体积的最大值是()

A.2473B.16C.48I）.144

【答案】C

【解析】•・D4u面p,D4_La,..aJ_4.OA_La,CB_La,.•.△/%£）和M3C均为直角三角

形.•：ZAPD=4BPC,\PADsAPBC.vAD=4,BC=8,:.PB=2PA.学科&网

过P作垂足为M.贝！产例_L尸.令（fwR）.

则PA1-AM2=PB2-BM2,即PA1-t2=4PA2-（6-/）2,:.P^=12-4/,/.PM=.

底面四边形ABC。为直角梯形面积为S=1（4+8）x6=36.学科&网…“

?.匕_.8=gx36xJ12-412=12^-（/+2）2+16<12x/16=48.故C正确.

3.（2020•河北高三期末（理））已知正六棱锥P-43CDM的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该

正六棱锥体积的最大值为（）

A80口1673

2727

「8月n32g

927

【答案】B

【解析】【分析】首先过?作PM_L平面ABCO研，取。为球心，设AB=。，PM=/z.然后计算出正

2

六棱锥的体积丫=*〃（2〃-//）.设f（x）=^-x（2x-x）f利用导数求出设/（x）最大值即可得到正六

棱锥体积的最大值.

【详解】

8C

过P作尸M_L平面A8CZ）所，取。为球心，设PM=h.

在RiaAOM中有（〃一+/=1,即/=2/?_后.

正六棱锥的体积V=—S/?=-x6x—x—crh-—h（2h-h2}-

33222'"

设f（x）=^x（2x—x”

由厂（力=25/1.呼/=。得工=:

/（x）在（°，：］上单调递增，在（：，+8［上单调递减.

I3，\）

所以当x=g时/（可取得最大值3小.

所以正六棱锥体枳的最大值为她g.故选：B

27

三.强化训练

1.（2020•内蒙古高三）如图，在长方体A8CO—4⑸GR中,"=1,4）=234=3,点加是AO的中点,

点P是底面A3C。内（不包括边界）一动点，且三棱锥A-BMP体积为1，则PC的最小值是（）

A.y/3B.y/2C.@D.正

22

【答案】D

【解析】因为三棱锥A-BMP的体积V=lx3xSMMP=g，所以S~BMP=J.

设点。到8M的距离为6则18Mp=；x0x/2=；,解得力二业，

22人

所以点尸在底面A8C。内（不包括边界）与BM平行，且距离为巫的线段/上，

2

要使PC最小，则点P是过。作BM的垂线与线段I的交点.

因为点。到BM的距离为J5,此时PC=".故选：D

2

2.（2020•北京高三）三棱柱ABC—44G的侧棱与底面垂直，AAi=AB=AC=lfABA.AC,N是

8C的中点，点?在A4上，且满足AP=/M,4,当直线PN与平面A8C所成的角取最大值时，4的值

为（）

B

B.也C.如D.也

225

【答案】A

【解析】

如图，以A从AC,AA分别为乂），，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,

则P（40,1）,-

平面人BC的一个法向量为〃=（0,0,1）

设直线PN与平面A8C所成的角力。

PNni

而.一了十：

•.・当时，（sine）,s=竽，此时角e最大.故选A.

3.（2020•黑龙江高三（理））设45,C,O是同一个半径为4的球的球面上四点，在6c中，

BC=6,N84C=60。,则三棱锥。一ABC体积的最大值为（）

A.12GB.18>/3C.246D.54石

【答案】B

【解析1444c中，BC=6,ZR4C=6O°,则一^―二——=4x/3=2r/.r=273

sinAsin60c

hg=dR?一户+R=6

a2=b2+c2-2Z;ccosA=b2+c2-be>hebe<36，S=ghesinA<9百

当〃=8=。=6时等号成立，此时V='S〃=18由故选：B

3

4J2020兰州高考诊断）四棱维的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形'BCD的边长为4,

P-ABCD

则四棱锥的体积最大值为（)

8

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】设正方形ABCD的中心为。1，当尸在于球心。的连线上时，四棱锥高最高，由于底面A6CD面积固

定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为九|。：用=号=24，球的半径为3,故

S-3产+（2vl）：:3：，解得h=4故四棱锥的体积的最大值为:X42x4=?故选D.

5.（2020广东省东莞市质检）已知一个四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，其中a+b='2,则该四棱

锥的高的最大值为,

D.2

【答案】A

【解析】如图所示,

由题意知，平面,平面ABCD,设点P到AD的距离为x,

当:《最大时，四棱锥的高最大，

因为PA+PD=a+b=12>6,所以点p的轨迹为一个椭圆,

a=b/62-（1）2=3v

由椭圆的性质得，当a。时，x取得最大值《

3v3

即该四棱锥的高的最大值为.故选：A.

、&n+少但m士附用“一“ir/ABC"80—；AC+BC=2

6.（2020湖南省衡阳市模拟）如图，直角二角形，，，将绕边旋转至

r-JR-rTC-ABC

位置，若二面角的大小为二则四面体'DI的外接球的表面积的最小值为（）

【答案】B

【解析】如图，EF,6分别为AC,AB,AC的中点，作HE_L面ABC,作”G1面A5C,连EF,FG,易知点

“即为四面体CBG1的外接球心，LEFG=LEHG=；,4HEF里dHGF.设C8=。，以=b，则，E=叱a

332

a+b=2，R2=9+,,S=4nR2=（b2+3a2^-

【处理一】消元化为二次函数.（/+3a2）ir=4^（a2-a+l）>3n.

【处理二】柯西不等式.（1+1）（^+302>之n（a+b）2=4#.所以（炉+3a2>>3JI.

7.如图，在矩形A3CO中，AB=2,AD=1,点E为。。的中点，尸为线段CE（端点除外）上一动点

现将S4E沿AF折起，使得平面ABDJ_平面A3C设直线也>与平面人8。尸所成角为。，则sin。的最

大值为（）

D

D

ABAB

1V212

A.-B.c.，一D.-

3423

如图：在矩形中，过点Q作为尸的垂线交为尸于点0,

交AB于点M设0F=*(°<x<1),AA,f=t

AMAD1

由ADAM~LADF，得ADDF,即有2-x,

-<t<1

由0<xvl,得2

AF1

在翻折后的几何体中J皿AF±OMf二W平面ODM

从而平面a)/_L平面如C,又平面J_平面3C,则D舷_L平面/C

连接MF,则AMFD是直线FD与平面ABCF所成角，即AMFD=9

rDF=2-x=\sin3==tnjl-t2=yj—t44-Z2

而加二J1T,2,则DF

11

-<t2<1£

由于4,则当2时，smd取到最大值，其最大值为2,选c.

8.(202。山东师范大学附中高三期中(理))如图所示，五面体A88E中，正AABC的边长为1，从八平

面，咏。〃,，且。=，£设CE与平面树所成的角为若a千中,

则当攵取

最大值时，平面8OE与平面ABC所成角的正切值为()

Cl

8

A.—B.1C.y/2D.y/3

2

【答案】c

【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O-冷2,

则A（0,1,0）,0（0,0,3,E（0,1,Q,B浮二,0）,

222

取A3的中点M,则“（由■±0）,则平面ABE的一个法向量为CM=（义•±0）,

4444

CECM3

由顾章sina=-----r-j------=-f=,，

由心&CE\]CM\2A/TF

又由所以7Wsina=—,解得也~4k«6,

64222

所以女的最大值为0,

八心血八

n-DE=y------z=0

,2

当上=也时，设平面BDE的法网量为〃=（x,乂z）,则

V31V2_

〃•BE=——x+—y+—z=0

22'2

取〃=（—JJ,-1,&），由平面ABC的法向量为，〃=（0,0,1），

设平面8OE和平面48。所成的足为0，

则COS6=L^~\=~T~9所以sin。所以tang=&，故选C.

师帆33

9.（2020.重庆巴蜀中学高三期末（理））棱长为2的正方体ABC。-中，N为CG的中点，〃在

底面内运动，RP与平面ABC。所成角为NP与平面A8CD所成先为％，若4=3，则

的最小值为（）

8

3

【答案】A

【解析】

没又=o、=o,所以尸PC=

tan9tan9

所以PD=2PC.

在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，

A(1,2)

C(j,o).,q,o)

设点P(x,y),则^/(x-l)2+y2=2、/(X+1)2+国，

整理得(x++2+)3=?,.•.x=：cos0一(y=gsina,

所以=(gcosa-g)2+(^sina-2)2=~~以in(a+*世上"

999

即|AP|N2,所以|AP|的最小值为2.

10.（2020•河南高三期末（理））在棱长为3的正方体ABC。-A4GA中,七是八人的中点,P是底面ABC。

所在平面内一动点，设尸。1,PE与底面ABCO所成的舛分别为%%（%4均不为0），若4=%，

则三棱锥体积的最小值是（）

9n5

A.-B.-D

22GI-7

【答案】C

【解析】建系如图，..正方体的边长为3,则43,0,«|）,D.（0,0,3）,

一3

设P（x,y,0）（x.0,y..0）,则PE=（3—X,一）'，-）,PD=（-x,一）'，3）,

一]

va=a,z=（o,o,i）,

\PE.z\|PD,*z|

/.cos/9)=cos^,即

2\PE\J(z\~\PDMz\

代入数据，得:

整理得：V+y2-8x+12=0,变形，得：（x-4尸+>2=4（0^，2）,

即动点。的轨迹为圆的一部分，

过点尸作交BC于点F,则P/为三棱锥夕一83©的高

•・•点P到直线4。的距离的最大值是2.

则P&n=3-2=1.

1