《集合的概念》知识清单

《集合的概念》知识清单一、集合的定义1、什么是集合呢简单来说，集合就是把一些确定的、不同的对象看成一个整体。就好比你去超市购物，把苹果、香蕉、橘子这些不同的水果看成一个整体，这个整体就可以是一个集合。这里的苹果、香蕉、橘子就是这个集合里的元素。这些对象得是确定的哦。比如说，“身材高的人”就不能构成一个集合，因为多高算身材高并没有一个确定的标准；而“身高超过180厘米的人”就可以构成一个集合，因为这个标准是确定的。2、元素与集合的关系如果一个元素在集合里，我们就说这个元素属于这个集合，用符号“∈”（这个符号就像一个小房子，元素住在集合这个小房子里）来表示。比如，集合A＝｛1,2,3}，那么1∈A，就表示1这个元素属于集合A。如果一个元素不在集合里，就说这个元素不属于这个集合，用符号“∉”表示。要是有集合B=｛4,5,6}，那3∉B，就是说3这个元素不属于集合B。3、集合中元素的特性确定性：刚才已经说过啦，集合里的元素得是确定的。就像你去参加一场有明确规则的比赛，规则确定了谁能参加，谁不能参加，这就和集合元素的确定性类似。互异性：集合里的元素不能重复。比如说，｛1,1,2}就不符合集合的要求，应该写成{1,2}。这就好比你去选篮球队员，不能选两个一模一样的人（这里假设是按人本身而不是位置等来区分）。无序性：集合里的元素是没有顺序的。｛1,2,3}和{3,2,1}是同一个集合。这就像你把一堆球放在盒子里，不管你怎么放，这些球组成的这个整体是不变的。二、集合的表示方法1、列举法就是把集合里的元素一个一个地列出来，写在大括号里。比如，集合C＝｛红，黄，蓝}，这里就把颜色这个集合里的元素都列出来了。再比如，集合D=｛2,4,6,8,10}，这种有限个元素的集合用列举法很方便。不过呢，如果集合里的元素有无限个，而且有规律，也可以用列举法。比如，自然数集N＝｛0,1,2,3,…｝，这里用省略号表示后面按照规律无限延续下去的元素。2、描述法这种方法是用确定的条件来表示集合。一般形式是{元素|元素满足的条件}。比如说，集合E＝｛x|x是大于5的整数}，这里x是代表集合里的元素，“x是大于5的整数”就是元素要满足的条件。又比如，集合F＝｛y|y＝2x,x∈N}，这个集合表示的是所有x取自然数时，y＝2x的这些y值组成的集合。这就像你要找一群符合某种特征的小伙伴，你说出这个特征，符合这个特征的小伙伴就组成了这个集合。3、Venn图（韦恩图）表示法Venn图就是用一个封闭的曲线（通常是圆形或者椭圆形）来表示集合。比如说，有集合A和集合B，我们可以画两个相交或者不相交的圆来表示它们之间的关系。如果集合A＝｛1,2,3}，集合B＝｛3,4,5}，我们画两个相交的圆，相交的部分就写上3，表示3这个元素既属于集合A又属于集合B，而1、2写在集合A不相交的部分，4、5写在集合B不相交的部分。这就像给每个集合都画了一个小领地，元素就在各自的领地里或者共享的领地里。三、常见的数集及其符号1、自然数集自然数集用N表示，包括0,1,2,3,…这些数。就像我们数东西的时候，从0开始数（有些地方从1开始数，不过在数学里，自然数集包含0哦），这些数是最基础的数字，就像盖房子的砖块一样。2、正整数集正整数集可以用N或者N＋表示，就是1,2,3,…这些大于0的整数。想象你在数有多少个苹果，从1个开始数，这些数就是正整数。3、整数集整数集用Z表示，它包括正整数、0和负整数，就像…，3,－2,－1,0,1,2,3,…。这就像把正整数集的范围扩大了，加上了0和它的相反方向的数，就像在数轴上向两边延伸一样。4、有理数集有理数集用Q表示。有理数是可以写成两个整数之比的数，也就是分数形式，比如1/2，－3/4等，当然整数也是有理数，因为整数可以写成它本身除以1的形式，像3＝3/1。这就像一个大家庭，里面不仅有像整数这样的“纯数字”成员，还有可以写成比例形式的成员。5、实数集实数集用R表示，它包括有理数和无理数。无理数就是不能写成两个整数之比的数，像根号2、π这些。实数就像是整个数字世界里的所有居民，有理数和无理数共同组成了这个大的实数集。四、集合的分类1、有限集有限集就是集合里的元素个数是有限个的。比如说集合G＝｛a,b,c}，这个集合里就只有3个元素，这就像一个小盒子里装了有限数量的糖果。2、无限集无限集就是集合里的元素个数是无限个的。像自然数集N就是无限集，因为自然数是数不完的，就像一条没有尽头的路，元素一个接一个地无限延伸下去。五、关于集合概念的一些习题1、判断下列对象能否构成集合：（1）接近0的数。答案：不能。因为“接近0”没有一个确定的标准，不满足集合元素的确定性。（2）小于10的正整数。答案：能。这个标准很明确，这些数是1,2,3,4,5,6,7,8,9，满足集合元素的确定性、互异性和无序性。2、用列举法表示下列集合：（1）方程x²5x＋6＝0的解构成的集合。首先解方程x²5x＋6＝0，分解因式得(x2)（x3)＝0，解得x＝2或者x＝3。所以这个集合用列举法表示为{2,3}。（2）大于1且小于3的整数构成的集合。这个集合里的元素是0,1,2，所以用列举法表示为{0,1,2}。3、用描述法表示下列集合：（1）所有偶数构成的集合。答案：｛x|x＝2n,n∈Z}，这里x表示集合里的元素，2n表示偶数的形式，n取整数。（2）平面直角坐标系中第一象限内的点构成的集合。答案：｛（x,y)｜x>0,y>0}，这里(x,y)表示平面直角坐标系里的点，x>0且y>0表示第一象限内点的坐标特征。4、已知集合A=｛x|x²ax＋a1＝0}，若3∈A，求a的值。因为3∈A，所以把x＝3代入方程x²ax＋a1＝0中，得到3²3a+a1＝0。化简这个方程得92a1＝0，即82a＝0。解得a＝4。5、设集合A＝｛a＋2,（a＋1)²,a²+3a＋3}，若1∈A，求实数a的值。（1）当a＋2＝1时，解得a=－1。此时(a＋1)²＝0，a²+3a＋3＝13＋3＝1，不满足集合元素的互异性，舍去。（2）当(a＋1)²＝1时，解得a＝0或a=－2。当a＝0时，a＋2＝2，a²+3a＋3＝3，满足集合元素的特性。当a=－2时，a＋2＝0，a²+3a＋3＝46＋3＝1，不满足集合元素的互异性，舍去。（3）当a²+3a＋3＝1时，即a²+3a＋2＝0，分解因式得(a＋1)（a＋2)＝0，解得a=－1或a=－2，前面已经讨论过这两种情况不满足要求，舍去。综上，a＝0。6、已知集合A=｛x|ax²+2x＋a＝0,a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，求a的值。因为集合A有且仅有2个子集，根据集合的性质，一个集合有n个元素，则它的子集个数为2ⁿ个。所以当集合A有2个子集时，集合A中只有1个元素。（1）当a＝0时，方程化为2x＝0，解得x＝0，此时集合A=｛0}，满足要求。（2）当a≠0时，方程ax²+2x＋a＝0是一元二次方程，因为集合A只有1个元素，所以判别式Δ=2²4a²＝0。即44