山西省吕梁市2022届高三上学期第一次模拟数学（理）试题 附答案

第第页吕梁市2021-2022学年度高三年级第一次模拟考试（理科）数学试题（本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，将答题卡上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑．1.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】C2.若，则（）A. B. C. D.【答案】A3.函数的零点个数为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B4.如图正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成的角为（）

A. B. C. D.【答案】D5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A6.如图，在正方形网格中有向量，，，若，则（）A， B.，C. D.【答案】A7.“”是“函数在处有极大值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C8.过双曲线：的右焦点作圆的一条切线，切点为B，交y轴于D，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】C9.在△中，D为BC的中点，，，EF与AD交于G，，则（）A. B. C. D.【答案】B10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（）A.， B.，C， D.，【答案】D11.已知为数列的前n项和，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D12.若，则（）A. B.C. D.【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．【答案】[1,3]14.已知函数的图象和直线有三个交点，则__________．【答案】15.已知P为圆C：上一动点，点Q的坐标为，若，则（O为坐标原点）的最小值为__________．【答案】16.公园，旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图2是一个棱数为24的半正多面体，其棱长为，则该半正多面体的表面积为________，体积为_______．【答案】①.

②.##

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17.已知数列满足：，，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列满足，求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）18.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知，．（1）求角A及的值；（2）若D为AB边上一点，且，，求的面积．【答案】（1），（2）19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，点E在SD上，且．（1）若M，N分别为SA，SC的中点，证明：平面平面ACE；（2）若，，，平面ABCD，求直线BS与平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21.已知点F为抛物线E：的焦点，为E上一点，且．（1）求抛物线E方程．（2）过E上动点A作圆N：的两条切线，分别交E于B，C（不同于点A）两点，是否存在实数t，使得直线BC与圆N相切．若存在，求出实数t的值，不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，证明见解析.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在极坐标系中，射线与以为圆心，为半径的圆相交于两点．（1）求圆的极坐标方程；（2）若，求．【答案】（1）（2）［选修4-5：不等式选讲］23.已知，，．（1）证明：；（2）求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）

2022吕梁市一模试题理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CABDAACCBDDB1.C解：因为，所以，故选C2.A解：因为，所以，故选A3.【解析】因为，，，所以在上各有一解，所以,有两个零点,故选B.4.【解析】取中点，则平面，所以，又所以平面，所以，所以异面直线与所成的角为.故选D.5.【解析】，为奇函数，排除C；又，可排除B，C，故选A.6.【解析】设小正方形的边长为1，则，所以，解之得，选A.7.【解析】由得，，或.当时，由得，，或，由得，，所以在处有极小值.当时，由得，，或，由得，，所以在处有极大值，是函数在处有极大值的充分必要条件.故选C.8.【解析】由已知得，，所以.由射影定理得，所以，所以，所以.选C.9.【解析】设，因三点共线，所以，解得，选B.10.【解析】如图座舱距离地面最近的位置为点，时，游客甲位于位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，有题意可得，选D.11.【解析一】由得,.又所以为首项为，公比为的等比数列，所以即，所以，选D.【解析二】12.【解析】，，又函数为增函数,所以,故选B.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.【解析】设，，则，所以，即.14.【解析】画出函数的图象，因直线过定点，当直线与相切时，满足条件.联立得，由得或，当，方程的解为，满足条件；当时，当的解为，不满足条件，所以15.【解析】解法一：设，，由，得，所以，于是，又点在圆上，即所以，化简得.所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，所以.解法二：圆的标准方程为，设，因为，所以，即所以，所以.16.，(第一空2分，第二空3分)【解析】该半正多面体表面由6个正方形与8个等边三角形组成，其的表面积为，该半正多面体可以看作是棱长为2的正方体，8个顶点处截去侧棱长为1的8个正三棱锥得到的，所以该半正多面体的体积为.17.【解析】（1）解法一:因为所以···········2分，···········3分所以···········4分又···········5分所以数列是以首项为,公差为的等差数列.···········6分解法二：···········4分又··········5分所以数列是以首项为,公差为的等差数列.···········6分(2)由(1)得,所以···········7分即···········8分··········9分··········10分当时，·········11分所以···········12分18.【解析】（1）由已知得···········2分因，所以···········3分因为，由正弦定理得···········4分，所以···········5分···········6分（2）由（1）得，中，由正弦定理得，，所以，···········8分，所以···········9分又，所以···········10分所以···········12分19.【解析】(1)············1分当时,，函数在单调递增；············2分当时,由得，；由得，.···········4分所以函数在单调递减,在单调递增.············5分综上所述当时，函数在单调递增；当时,函数在单调递减,在单调递增.············6分（2）解法一：由（1）得，当时，函数在单调递增，最多有一个实根，不满足条件··················7分当时,函数在单调递减,在单调递增.所以在时，有最小值由得，.············8分所以，下面证明：设，············9分当时，，单调递减；当时，，单调递增所以所以恒成立，即············10分又，所以函数在区间上各有一个零点·········11分所以当时,有两个零点.············12分解法二：由分离参数得，············7分设，则，············8分由得，，在上单调递增，由得，，在上单调递减，············9分所以在处有最大值，············10分易知当时，；当时，，时，，所以当时，与有两个公共点，············11分即函数有两个零点.············12分20.【解析】(1)取对角线AC，BD的交点O，因为M、N分别为SA、SC的中点，所以MN//AC,···········1分又平面ACE，平面ACE，所以MN//平面ACE；···········2分取SE的中点F，连结DN交CE于G，则NF//CE，又E为DF的中点，所以G为DN的中点，···········3分又O为BD的中点，所以OG//BN.···········4分平面ACE，平面ACE,所以BN//平面ACE，···········5分又平面BMN，平面BMN，，所以平面平面ACE；···········6分(2)以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，···········7分设，由得，所以，即，，···········8分设平面的一个法向量为，由可得，···········9分不妨设，可得，···········10分设直线与平面所成的角为，则，···········11分所以直线与平面所成角的正弦值为.···········12分21.【解析】(1)由抛物线的定义得,···········2分所以，的方程为.···········4分（2）假设存在实数t，使得与圆相切.当为坐标原点时，由与圆相切得，，直线的方程为，由直线与圆相切得，解之得或当时，三点重合，舍去.···········6分下面证明当时，满足条件.设，则直线的方程为：······················7分因与圆相切，所以即······················8分同理由与圆相切得，······················9分即为方程的两根，所以······················10分到直线的距离为所以直线与圆相切.···········11分因此存在实数，使得使得直线与圆相切.···········12分22.【解析】（1）解法一：设圆上任意一点的坐标为，则，由余弦定理得······················2分化简得········