2024届安徽省合肥某中学高三二检模拟考试数学试题

2024届安徽省合肥一中高三二检模拟考试数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，若输入的，=3,则输出的，=()

A.9B.31C.15D.63

2.已知抛物线C:/=4x和点0(2,0),直线x=与抛物线C交于不同两点A,B,直线笈。与抛物线。交于

另一点E.给出以下判断：

①直线OB与直线OE的斜率乘枳为-2；

②AE//y轴;

③以航为直径的圆与抛物线准线相切.

其中，所有正确判断的序号是（）

A.①®@B.①®C.①③D.②③

3.若复数z满足（l+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）

111.1.

A.-B.一一C.-ID.一一I

2222

4.圆锥底面半径为石，高为2,SA是一条母线，2点是底面圆周上一点，则2点到SA所在直线的距离的最大值是

（）

A.—B.拽C.3D.4

33

5.已知函数/（X）=（2«T2）lnx+23215.设"-1,若对任意不相等的正数』，飞,恒有-"芍）-8,

A1T2

则实数。的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,-1）

C.D.（-<x>,-2］

/

6.将函数），=sin2x的图像向左平移0（。>0）个单位得到函数》二4112x+f

的图像，则9的最小值为（）

16

Tl„7T-11江，、兀

A.-B.—C.------D.—

612126

7.已知函数/（x）=Acos（s+。）（A>0,。>0,|初<］）,将函数/*）的图象向左平移吊个单位长度，得到

函数g（R）的部分图象如图所示，则/。）=g是K（］+专）=等的（

)

B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.关于圆周率不，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验,受其启发，某同学通

过下面的随机模拟方法来估计〃的值：先用计算机产生2000个数对（乂），），具中工，）’都是区间（0,1）上的均匀随机

数，再统计X,能与1构成锐角三角形三边长的数对（X,.y）的个数〃7;最后根据统计数〃?来估计开的值,若"7=435,

则不的估计值为（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

9.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫

法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如

图正方形在点耳尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E,F

处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm.EF=4Qcm,FC=30cm,/4£尸=/。/£=60。，则该正方形的边长为（）

A.50cmB.40叵cmC.50cwD.20^6cm

10.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）

11.已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，旦每种颜色的三个球均按4,B,。编号，现从中摸出3个球（除

颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A,A,C的概率为（）

12.已知；B是球。的球面上两点2底勰・二松也。为该球面上的动点.若三棱锥0-.15。体积的最大值为36,则球。

的表面积为（）

A.367rB.64兀C.144兀D.256兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃%）=粤，^（x）=—,若函数/?（x）=g（〃x））+”?有3个不同的零点XI,X2,X3（X1<X2<X3）,则

2/（5）+/（£）+/（为）的取值范围是.

14.（x+j）（2x—j）5的展开式中x3）#的系数为.

15.Q一十）的展开式中与的系数为.

X3

16.若（K-2）"展开式的二项式系数之和为64,则展开式各项系数和为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安

全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统

计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的

得分Z服从正态分布N（〃,210）,其中A近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（1）请利用正态分布的知识求夕（3679.5）；

（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费:

②每次获赠的随机话费和对应的概率为:

获赠的随机话费（单位：元）1020

2£

概率

33

市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？

附:①标土14.5;②若X~N（〃,『）』!|P（4—b<X<〃+b）=0.6827,<X<//+2<T）=0.9545,

P(//-3c-<X<//+3cr)=0.9973.

18.(12分)已知函数/(x)=lnx+x2-2ax,〃£R

（1）讨论/（力的单调性；

（2）若/（X）在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数和修，使得/（玉）+/（毛）=-3,证明：X,+X2>2.

19.（12分）已知动点M到定点（1,0）的距离比到y轴的距离多1・

（1）求动点例的轨迹C的方程；

（2）设A,区是轨迹C在（X20）上异于原点。的两个不同点，直线。4和。8的倾斜角分别为。河夕，当a,仅变

化且。+分=（时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

20.（12分）已知A43C的面积为且，且A3.AC=-1.

2

（1）求角A的大小及长的最小值；

（2）设历为的中点，且N8AC的平分线交于点N,求线段MN的长.

2

21.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足S“=2%-1（〃eN*）.

（I）求数列｛仆｝的通项公式；

（n）证明r：XS~1<74-

Jt=iak3

22.（10分）某省新课改后某校为预测202。届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班

随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.

（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.

（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.

（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0・01）；

（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为〃（0<〃<1）,若2020届高考

本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求？的取值范围.

可能用到的参考数据：取0.36,=0.0168,0.I64=0.0007.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解题分析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【题目详解】

执行程序框r=3,i=O；，=8,i=，=23,j=3；

/=68,/=7；t=203,/=15；/=6O8,i=31,

满足，＞606,退出循环，因此输出i=31,

故选:R.

【题目点拨】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

2.B

【解题分析】

由题意，可设直线。石的方程为1=〃9+2,利用韦达定理判断第一个结论；将工="-2代入抛物线C的方程可得，

y.y=8,从而，一%，进而判断第二个结论；设尸为抛物线C的焦点，以线段随为直径的圆为则圆心M

为线段房的中点.设4,E到准线的距离分别为4,d2t0M的半径为R,点/到准线的距离为"，显然4,E,

产三点不共线，进而判断第三个结论.

【题目详解】

解：由题意，可设直线。石的方程为犬=〃少+2,

代入抛物线。的方程，有丁一4〃少一8二0.

设点8,E的坐标分别为(小,)，(王,必)，

则乂+%=4川,y^2=-8.

所xw=+2)(/wy2+2)=irry^y.+2m(y+%)+4=4.

则直线03与直线OE的斜率乘积为之为二-2.所以①正确.

中2

将x=/)，-2代入抛物线C的方程可得，力力=8,从而，以二一月，

根据抛物线的对称性可知，A,£两点关于*轴对称，

所以直线AE//＞轴.所以②正确.

如图，设厂为抛物线。的焦点，以线段的为直径的圆为

则圆心M为线段座的中点.设8,E到准线的距离分别为4，0加的半径为R，点M到准线的距离为d,

显然3,E,厂三点不共线，

c/+d,|8F|十|E尸|\BE\,,也

则d=—=——―1——■>L—^=R.所以③不正确.

222

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和

创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.

3.A

【解题分析】

由(1+i)z=，得z=一一，然后分子分母同时乘以分母的共扼复数可得复数z，从而可得z的虚部.

【题目详解】

因为(l+i)z=i,

2

gerIi/(1-0i-ii+111.

1+/(1+z)(l-z)I-/21+122

所以复数z的虚部为!.

2

故选A.

【题目点拨】

本题考杳了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轲复数，转化

为乘法运算.

4.C

【解题分析】

分析；作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解〃的位置，推出结果即可.

详解：圆锥底面半径为石，高为2,SA是一条母线，2点是底面圆周上一点，?在底面的射影为。；5工="口=3,

OA>SOt过S4的轴截面如图：

ZASQ>90°,过。作Q7_LSA于丁，则QTvQS,在底面圆周，选择使得NPSA=90。，则尸到SA的距离

的最大值为3,故选：C

点睛：本题考查空间点线面距离的求法.考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截而图形，属中档题.

5.D

【解题分析】

求解/（目的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【题目详解】

/（x）的定义域为（0,+"）,f（x）=空匚+4尔=2（2加+Q+1）,

XX

当4V-1时，r（x）<0,故/（X）在（0,+8）单调递减；

不妨设当<々，而知/（x）在（0,+8）单调递减，

从而对任意用、X,G（O,+00）,恒有28,

xr

即|/（%）-/（元2）|28人一引，

/（5）-〃吃）之8（wf）,〃与）-8内之〃々）+8%，

令g（x）=/（x）+8x,贝?/（工）=也吧+4改+8,原不等式等价于g（x）在（0,+8）单调递减，即

—+26/X+4<0,

从而二上上一2,因为=1匚一22-2，

2X2+12X2+12X2+1

所以实数a的取值范围是（-8,-2]

故选：D.

【题目点拨】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

6.B

【解题分析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可.

【题目详解】

将函数y=sin2A-的图象向左平移（p（（p>0）个单位，

得到y=sin2（x+（p）=sin（2x+2（p],

TT

此时与函数y=sin（2x+-）的图象重合，

6

贝！]2夕=2%乃+1,即e=&万+刍，keZf

612

.,・当女=0时，。取得最小值为0

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.

7.B

【解题分析】

先根据图象求出函数g（x）的解析式，再由平移知识得到/（五）的解析式然后分别找出

X71

/。)=4和8——的等价条件，即可根据充分条件，必要条件的定义求出.

212

【题目详解】

设g（x）=Asin（3x+〃）,根据图象可知,

A=\-T=-=>T=7T=>(0=2

y469

=sin2x+〃=1,取〃==

再由gT2;

・,.g(x)=sin2x--.

<3)

将函数出）的图象向右平移手个单位长度，得到函数/U）的图象,

“⑴TT卜忖弓一小呼冶）

=乌

I6)3

令。=工一多，则sin夕==cos2。=1-Zsin?。,显然,cos10=—sin0-

63333

:.fM=；是8（±+工）=且的必要不充分条件.

31212y3

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查利用图象求正（余）弦型函数的解析式三角函数的图形变换，二倍角公式的应用，充分条件,必要条件的定

义的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题.

8.B

【解题分析】

先利用几何概型的概率计算公式算出X,）'能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到X,）'

能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出汗.

【题目详解】

因为刀，都是区间（0,1）上的均匀随机数，所以有Ovxvl,0<3'<1,若x,丁能与1构成锐角三角形三边长,

x+y>\1x1--

则,由几何概型的概率计算公式知「二一£=|上=丝二色，

x-+y">\

1x14n2000

435

所以乃=4x(1—一—)=3.13.

2000

故选：B.

【题目点拨】

本题考杳几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

9.D

【解题分析】

过点£,尸做正方形边的垂线，如图，设NAE"=o,利用直线二角形中的边角关系，将用a表示出来，根

据A8=3C,列方程求出。，进而可得正方形的边长.

【题目详解】

过点已夕做正方形边的垂线，如图，

设ZA£M=a,则NC/Q=a,ZMEF=ZQFE=60

贝（]八8=八〃IMNINB=AEsinaI£Tsin（60a）IFCsina

=50sintz+40sin（60-a）+30sina=40—sina+—^cosa,

XJ

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60-«）

（3y/3}

=50cosa+30cosa-Wcos（60-a）=40—cosa------sina

[47

3.G"lJ3G.）

因为A8=C8,则40-sina+——cosa=40—cosa------sina,

•-227\22/

sina-

整理化简得-----=2-x/3,Xsin2（2+cos2a=1>

cosa

得sina=———，cosa=——^=-

2V22V2

J3.V3〕可5、2夜+2X29卜2。心

../4ADfi=40—sm<7+——cosa=，

122J

即该正方形的边长为20面

故选：D.

【题目点拨】

本题考杳直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

10.B

【解题分析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的,，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

6

【题目详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为24，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为一9、2%=一：乃,

63

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

11.B

【解题分析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母4,

R.C”，记事件“恰好不同时包含字母人，R,。”为£,利用对立事件的概率公式计算可得：

【题目详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为C；=84(个)，

则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,B,C”

3319

记事件“恰好不同时包含字母A,B,C”为E,贝iJP(E)=l-*=二.

C928

故选：B

【题目点拨】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题.

12.C

【解题分析】

如图所示，当点C位于垂直于面AO4的直径端点时，三棱锥O-A3C的体枳最大，设球。的半径为A,此时

Vo-ABC=^c-AOB=^-x-J-/e2x/?=^-/?3=36,故A=6，则球。的表面积为S=4/r7?2=144不，故选C.

326

考点：外接球表面积和椎体的体积.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(T0)」(0，g)

【解题分析】

先根据题意，求出〃(力=g(/(R))+〃?的解得"x)=£,或/")二一〃?，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及

最值，在根据题意求出函数〃(X)=g(“X))+〃?有3个不同的零点心,X2,X3(X|<X2<X3),分情况讨论求出

2/(5)+/(々)+/(玉)的取值范围.

【题目详解】

解：令t=f(x),函数/?(x)=g(/(x))I有3个不同的零点，

即g(/)=，」+m=O有两个不同的解，解之得。=-^=-m

t-m2

即=g或/(戈)=一机

因为/(x)=g”的导函数

尸(力一(1一一)*>0),令/'(力<0,解得XX,/”3>0,解得ovx«,

2人

可得f(X)在(0,e)递增，在(仇田，)递减；

f(x)的最大值为/(e)=g,且x->0J(x)fT»;x->xoja)->0

且f(D=O；

要使函数〃("=g(/(x))+m有3个不同的零点，

(1)/(力二£,有两个不同的解，此时“X)=T%有一个解；

(2)〃同=一小有两个不同的解，此时/")=£,有一个解

当/("二£,有两个不同的解，此时/(A-)=-m有一个解，

此时一加=!，〃?=一3,不符合题意；

24

或是一〃?=0,帆=0不符合题意;

-tn<0

所以只能是解得0<<1

22

/（%）=-加，/（%）="巧）=£，

此时2/（芭）+/伍）+/伍）=皿

此时-1<-m<0

=有两个不同的解，此时/"）=*有一个解

此时多=_L,〃z=i,不符合题意；

22

或是二=0,〃2=0不符合题意；

2

m八

—<0

21

所以只能是一解得一5<〃7<()

0<-m<-2

2

/（%）=£，/（£）=/（£）=-机

此时—m,

2/UI）+/（A2）+/（X?）=

八1

0<-m<—

2

综上：2/（内）+/（工2）+）（七）的取值范围是（一1，。）=［。，：

故答案为（-l，0）u（0，g

【题目点拨】

本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想,

属于综合性极强的题目，属于难题.

14.40

【解题分析】

先求出（2人-），）5的展开式的通项，再求出刀,人即得解.

【题目详解】

设（2x-y）s的展开式的通项为（产C；（2x尸（_y）「=（T）>2Aq尸儿

令r=3,则T4=YC江2)户二_dof),3,

令r=2,则7；=8或1),2=80./),2,

所以展开式中含xy的项为X-(-40?/)+)，-(80?/)=40ry.

所以xy的系数为40.

故答案为：40

【题目点拨】

本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.80.

【解题分析】

只需找到(2-x2)5展开式中的/项的系数即可.

【题目详解】

(2-3，展开式的通项为&|二0；25・'(—马，=(_1)，0；2沙/，令r=2,

则7；=(-1)2C；23X4=8(坟，故(2一手)的展开式中x的系数为80.

x2

故答案为：80.

【题目点拨】

本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.

16.1

【解题分析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出〃的值，然后再计算展开式各项系数的和.

【题目详解】

由题意。-2)"展开式的二项式系数之和为64,即2”=64,故〃=6,令x=l,则展开式各项系数的和为(1一=1.

故答案为：1

【题目点拨】

本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果,

需要掌握解题方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)0.8186：(2)估计此次活动可能赠送出100000元话卷

【解题分析】

(1)根据正态分布的性质可求?(36<Z$79.5)的值.

(2)设某家长参加活动可获赠话费为X元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动

可能赠送出的话费数额.

【题目详解】

(1)根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得

〃=35x0.025+45x().15+55x0.2+65x().25+75x().225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65

又36a65-2同79.5«65+V210,

所以尸(36vZW79.5)

=-x0.9545+-x0.6827

22

=0.81X6：

(2)根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X有10,20,30,40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费

的概率都为

2

得10元的情况为低于平均值，概率P=

233

得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率

„111227

y——x—+-x-x—=—

2323318

1212

得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为Pn二xCx二、二二:，

2339

得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为。=1x:x!二」.

23318

所以变量X的分布列为:

X10203040

721

P

3Ts9

1721

某家长获赠话费的期望为E(X)=10x§+20x而+30x§+40x而=20.

所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.

【题目点拨】

本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象

的对称性来进行，本题属于中档题.

18.(1)当时，/("在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减;

当时，/(“在(0,1)上递增，在卜,不二］上递减，在

,+8上递增;

2\2a—1)

当4=1时，/(可在(0,+。)上递增；

八)在。,贵上递胤在贵，।上递减，在(M)上递增;

当时,

(2)证明见解析

【解题分析】

(1)对“X)求导，分。=1进行讨论，可得了(力的单调性；

(2)/(X)在定义域内是是增函数，由⑴可知a=l,/(x)=ln.i+gx2—2x,设可得

/(%)+/(苍)=一3=2/⑴，则0"<1<工2,设g(x)=/(2-x)+/(x)+3,x«0,l),对g(%)求导,利用其单

调性可证明玉+%>2.

【题目详解】

解：/(力的定义域为(0,+少),

因为/(x)=lnx+(〃-g)

x2-2ax,

(2d-l)x2—2ar+l(x-l)x-1]

所以,广⑴=，+(2〃-1)工-2〃==9

Xx

当公1产令告r(x))>o,Afr(x)<o

，得0<x<l,令，得x>l；

x>()x>0

当■!■<〃<1时，则一!—>i,令，雷>°,得0<x<l,或一击

22a-\

:(“<0

令，得

x>02a

当。=1时,r(x)之0,

贝|JO<J—<1,令<,『，得

当4>］时,

2a-lx>02a

当QW；时，/(x)在(0,1)上递增，在(I,+8)上递减;

综上所述,

乙

当时，“X)在(0,1)上递增，在上递减，在［五+8)上递增；

当4=1时，〃X)在(0,+8)上递增；

当4>1时，“X)在［0,上递墙在(J；1］上递减，在。，”)上递增；

\2a)12。一1J

(2)/(X)在定义域内是是增函数，由(1)可知4=1,

此时/(工)=lnx+：f-2］，设内<工2，

又因为/(内)+/(%)=-3=2/(1),贝

设g(M=/(2-X)+/(X)+3,X£(0,1),则

g'(x)=_/'(2_x)+/'(x)=_°_')+(犬—。=2，1一力>()对于任意xe(0,l)成立,

2-xxx(2-x)

所以g")在(0,1)上是增函数，

所以对于Vxe(O,l),有g(x)<g⑴=2/(1)+3=0,

RPVXG(0,1),有〃2-力+〃力+2<0,

因为0<玉<1,所以〃2_玉)+/(玉)+3<0,

即/⑸>/(2-百),又/(x)在(0,+“)递增，

所以即为+々>2.

【题目点拨】

本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合

性大，属于难题.

19.(1))2=4x或y=0(/<0)；(2)证明见解析，定点一4,生乎)

【解题分析】

(D设历(x,y),由题意可知Ja-l『+y2=|划+1,对X的正负分情况讨论，从而求得动点M的轨迹。的方程;

444\/3

(2)设其方程为)，=质+"与抛物线方程联立，利用韦达定理得到tan二71二丁一万，所以"+4Z,

3b-4k63

所以直线A3的方程可表示为V=履+迪+4%,即y=&（x+4）+速,所以直线A8恒过定点（-4,竽）.

33

【题目详解】

（1）设M（x,y）,

动点M到定点（1,0）的距离比到）'轴的距离多1,

/.1）2+y2=|x|+1>x?0时，解得y2=4X,

x<0时，解得y=0.

•••动点M的轨迹C的方程为y2=4x或），=0（x<0）

（2）证明：如图，设A（x，x）,8（辱以），

由题意得凡工々（否则a+/=乃）且凡%工0，

所以直线A8的斜率存在，设其方程为了=履+〃，

将,=依+人与V=4x联立消去x,得b，2_4y+4b=0,

44b

由韦达定理知y+%=三，）'1）’2=~7，①

KK

22

显然引二千，/二?,

・S「,「.tanJan（"上图3!12=3切,

j

331-tanatan/j,y2-16

TT4

将①式代入上式整理化简可得：tan二二二一六，

3b-4k

44G

所以〃=,+44=上+4攵，

&3

此时，直线A3的方程可表示为），=履+递+43

3

即y=Z(x+4)+,

3T

所以直线A8恒过定点

【题目点拨】

本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题.

27rFl

20.(