2024届上海市某中学高考仿真卷数学试题含解析

2024届上海市南洋中学高考仿真卷数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.己知双曲线后:=一与=1(。>0⑦>01满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2=4X的焦点厂重合；②

crlr

双曲线E与过点P(4.2)的寨函数/(A)=Z的图象交于点。，且该塞函数在点。处的切线过点尸关于原点的对称点.则

双曲线的离心率是()

A.立上1B.立里C.-D.6+1

222

2.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况,

图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是()

A.1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个

B.第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月份的空气质量最差.

3.在平行四边形4BCO中，43=3,40=2,==若CPCQ=12,则NAOC=()

/\Z.

4.已知复数4=l+ai(aeR),z?=1+2i(i为虚数单位)，若于为纯虚数，贝()

5.己知向量4=(〃?,1),。=(-1,2),若(a-2b)Lb,则〃与。夹角的余弦值为()

、2拒口2用「6旧n6如

13136565

6.在复平面内，复数，(2+i)对应的点的坐标为()

A.(1,2)B.(Z1)C.(-1,2)D.(2,-1)

7.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X,则E(X)为()

971

A.-B.-C#—D.——

88256

8.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是()

/输出5/

[结束)

A.8B.32C.64D.128

9.已知抛物线C：4)，的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线C于4,B两点,其中点同在第一象限，若弦

的长为25下则|A局F|=()

A.2或■!"B.3或1C.4或'D.5或L

2345

10.如图，在正四棱柱A8CZ)-4旦£2中，AB=y/2AA],E,厂分别为A88C的中点，异面直线A片与所

成角的余弦值为〃？，贝人)

A.直线A七与直线异面，且机=走B.直线A七与直线G”共面，且〃7=匹

33

C.直线4七与直线C/异面，且〃2=立D.直线AE与直线。尸共面，且〃?=立

33

11.集合｛2,0,1,9｝的真子集的个数是（)

A.13B.14C.15D.16

◎＞），且〃在方方向上的投影为;，则〃/等于（）

12.已知向量〃，b，h=（b

1

B.1C.一D.0

2

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.若a=J：（V+cosxylx,则（x-e）5的展开式中含X的项的系数为.

14.已知数列｛q｝满足％+2〃2+3。3+…=2",则％二

15.一次考试后，某班全班5。个人数学成绩的平均分为正数”，若把团当成一个同学的分数，与原来的5。个分数

一起，算出这51个分数的平均值为N,则占=

/V

16.运行下面的算法伪代码，输出的结果为S

S—0

FortFYom1To10Step!

咫+1)

EndFbr

PrintS

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园第围，某学校开展了“宪法小卫士”

活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名

学生的竞赛成绩均在［50,100］内，并得到如下的频数分布表:

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数51515123

（1）将竞赛成绩在170,100］内定义为“合格”，竞赛成绩在［50,70）内定义为“不合格”.请将下面的2x2列联表补充完

整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？

合格不合格合计

高一新生12

非高一新生6

合计

（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随

机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.

参考公式及数据：K2=-------———；»其中〃=a+Z?+c+d.

（。+b）（c+d）（a+c）｛b+d）

pdk」）0.1000.0500.0100.001

kq2.7063.8416.63510.828

18.（12分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本）'（万元）与该月产量”（万件）之间有如下一组数据:

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合）'与％的关系，请用相关系数，・加以说明：

（2）①建立月总成本）'与月产量X之间的回归方程；②通过建立的）'关于/的回归方程，估计某月产量为1.98万件

时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）

ioioGorio

附注：①参考数据：白=14.45,=27.31,｛牙-10F片0.850,J2,2Toy22sL042,8=1.223.

nn

一两-梦

②参考公式：相关系数，=I'

v---------------r，；=片------,a=y-bx.

、Z+府叵"铲

VIi=l八i=171=1

19.（12分）已知圆O:f+y2=4,定点A（l,0）,p为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O,设动点P的

轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程

（2）过点Q（2,6）的直线/与。交于£尸两点，已知点。（2,0）,直线x=x°分别与直线/交于S,7两点，

线段订的中点M是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.

3万1

20.(12分)已知在平面四边形AA6中，/八8C=——，八AR=的面积为一.

42

(1)求AC的长；

而

(2)已知CO=4_,/AOC为锐角，求〃〃z/AOC.

2

21.(12分)已知抛物线r：y2=2px(p>0)的焦点为凡P是抛物线「上一点，且在第一象限，满足产尸=(2,273)

(1)求抛物线「的方程；

(2)已知经过点八(3,-2)的直线交抛物线「于N两点，经过定点B(3,-6)和”的直线与抛物线「交于

另一点L,问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由.

22.(10分)设等差数列｛an｝的首项为0,公差为〃wN”;等差数列低｝的首项为0,公差为b,heN••由数列｛《,｝

和｛2｝构造数表M,与数表AT；

记数表M中位于第，行第/列的元素为%,其中％=令+与，(<,J=l,2,3,…).

记数表中位于第i行第J列的元素为乙，其中d—jZeN-»/eND.如：c｝2=a｝+b2f

4,2=%-4-

(1)设。=5,b=9,请计算％6,C396.6»42.6；

(2)设“=6,6=7,试求%,4的表达式(用i,/表示)，并证明：对于整数，，若，不属于数表贝卜属于数

表AT;

(3)设。=6,b=7,对于整数f,f不属于数表求，的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分.共60分。在每小题给出的四个诜项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由已知可求出焦点坐标为(1,()),(-M))，可求得累函数为/(X)=G，设出切点通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率.

【详解】

依题意可得，抛物线)/=4x的焦点为/(1,0),尸关于原点的对称点(—1,0)；2=44，二=；，所以/“)=%=五，

(。)=会，设0小,屈，则^^二弃，解得乙=1,.\。(1/)，可得，一j=1，又。=1，/=/+人

/7_iC_J［「遥+］

可解得〃=$2二1,故双曲线的离心率是6一〃一逐一］一2.

一

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标，求募函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分

析问题和解决问题的能力，难度一般.

2、D

【解析】

由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差.故本题答案选D.

3、C

【解析】

由。尸=。8+8?=一4。一2八8,♦--1-7T

CQ=CD+DQ=-AB--AD，利用平面向量的数量积运算,先求得/BAD=-,

3

利用平行四边形的性质可得结果.

【详解】

r

如图所示，

平行四边形A8CD中，A5=3,4。=2,

AP=-AB,AQ=-ADf

32

—•——-2

J

：.CP=CB+BF=-AD一一ABr

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因为CPCQ=12,

_2

所以C『CQ二-A"AB♦-AB——AD

-3)I2

221-24

=-AB——AD+-ABAD

323

=—x32+—x22+—x3x2xcos/BAD=12,

323

cosZBAD=—,Z,BAD=—,

23

所以NA0C=4—三=三，故选C.

33

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：(1)平行四边

形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；(2)三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是

和).

4、C

【解析】

把马=1+3(。£/?),Z2=l+2,•代入五，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为。且虚部不为。求解即可.

二2

【详解】

■:4=I+ai(^awR),z2=1+2z,

.Zj_1-/iz_(1+ai)(]-2i)_\+2aa—2.

+5~5~l>

为纯虚数，

l+2a=()

解得

。一2工02

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.

5、B

【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量a-2b的坐标，利用3~2b）-b=0求得参数m,再用cos〈a/〉=计算即可.

1列。1

【详解】

依题意，〃-28=(/〃+2,-3),而(a-2b)•b=0,即一，〃—2-6=0,解得〃?二一8,则

ab_10_2>/13

cos〈a,〃〉=

|6f||/?rV5-V65-13

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

6、C

【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【详解】

解：复数i（2+i）=2i-1对应的点的坐标为（・1,2）,

故选：C

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7、A

【解析】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变

量X的数学期望值.

【详解】

由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,

则P(X=0)=旨/p(x=l)窄啜p(x=2)俘=茅P(X=3)=^=±.

因此，随机变量X的数学期望为E（X）=0x£+lxj^+2x与+3x」=3.

565656568

故选：A.

【点睛】

本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.

8、C

【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】

由题意，执行上述程序框图，可得

第1次循环，满足判断条件，S=l,k=l；

第2次循环，满足判断条件，S=Zk=2；

第3次循环，满足判断条件，S=8«=3；

第4次循环，满足判断条件，S=64,&=4；

不满足判断条件，输出S=64.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9、C

【解析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出|A日，忸日.

【详解】

设直线的倾斜角为则恒8|=二^=—^=3，

cos-。CDS-。4

所以cos'。=更，tan'8=-^5—1=2,即tan。=±3,

25cos2^164

33

所以直线/的方程为y=±：x+l.当直线/的方程为y=蓼x+l,

44

卜f\AF\I4-0I

联立1=孑+1'解得%—和占=3所以高1雇词=4；

3AF11

同理，当直线/的方程为），=一二X+1.I曷I=:，综上，\匕AF\1=4或1.选C.

4|nr|4|«r|4

【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物

线的定义.

10、B

【解析】

连接E/，AG，G。，DF,由正四棱柱的特征可知厅'尸AG,再由平面的基本性质可知，直线AE与直线C7共

面.，同理易得八4C.D,由异面直线所成的角的定义可知，异面直线48与GF所成角为NDC7,然后再利用

余弦定理求解.

【详解】

如图所示：

AEB

连接EF,AR,C｝D,DF,由正方体的特征得月产PAG,

所以直线与直线G尸共面.

由正四棱柱的特征得A4C.D,

所以异面直线八百与G尸所成角为NOC/.

设则A8=&/V\=2,则/）产=石，C、F=6，C\D=m,

由余弦定理，得〃?=cosNDC/=5理.

2xJ3xJ63

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.

【解析】

根据含有〃个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子集，计算可得；

【详解】

解:集合［2,0,1,9｝含有4个元素，则集合（2,0,。9｝的真子集有元7=15（个），

故选；C

【点睛】

考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有〃个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子

集，属于基础题.

12、B

【解析】

「Iab

先求出M，再利用投影公式求解即可.

【详解】

解:由已知得W=J币=2,

1ab1

由〃在方方向上的投影为不，得~nT=j，

2忖2

则==1.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-80

【解析】

首先根据定积分的应用求出〃的值，进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.

【详解】

£亓

2/1\2

v«=J(x3+cosx)dx=—x4+sinx=2,

根据二项式展升式通项：7；+1=C；(X)5r)=G《—2)'•一*,

4

令=解得，=3,

所以含4的项的系数Cj(-2)3=-80.

故答案为：-80

【点睛】

本题考查定积分，二项式的展开式的应用，主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.

2,w=I

14、a,），rT

—,n>2

n

【解析】

项和转化可得nan=2--2"-'=2"-（〃>2）,讨论〃=I是否满足，分段表示即得解

【详解】

当〃=1时，由已知，可得q=2'=2,

n

■:a[+2az+34+…+nan=2,①

故6+勿2+%3+•••+（〃=2"7（〃之2）,②

由①•②得=2〃一2"一=2小，

1

***Cln~~Y~•

显然当〃=1时不满足上式,

2,n=1

c〃一I

—,«>2

2,n=\

故答案为：）LI

—,/?>2

n

【点睛】

本题考查了利用S“求考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

15、1

【解析】

根据均值的定义计算.

【详解】

__.,50M+M

由题意N=——--M,，竺

51N

故答案为：I.

【点睛】

本题考查均值的概念，属于基础题.

C10

16、—

11

【解析】

模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S的值，用裂项相消法求和即可.

【详解】

模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行:

=1-1

11

=一1（）.

11

故答案为:日

【点睛】

本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17、（1）见解析；（2）P=—

【解析】

（1）补充完整的2x2列联表如下:

合格不合格合计

高一新生121426

非高一新生18624

合计302050

则K2的观测值八携舒鬻=称"327>3和.

所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.

（2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有30x以=3名学生，记为a,b,c,

竞赛成绩不合格的有2。乂卷=2名学生，记为〃?,〃，

从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：ab,ac,be,am,an,bin,btucn\ctunm,共10种,

这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：ab.ac.bct共3种,

所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为P=2.

18、(1)见解析；(2)①»=1.2234+0.964②3.386(万元)

【解析】

(1)利用「=几¥----------代入数值，求出，.后即可得解；

(10

(2)①计算出了、弓后,利用4=9-应求出力后即可得解；

②把犬=1.98代入线性回归方程，计算即可得解.

【详解】

(1)由已知条件得，

说明)'与工正相关，且相关性很强.

1010

(2)①由已知求得_卒__孕…，，a=y-bx=2.731-1.223x1.445«0.964

x=——=1.445y=——=2.731

1010

所以，所求回归直线方程为S，=L223X+O964.

②当x=L98时，y=1.223x1.98+0.964«3.386(万元)，

此时产品的总成本约为3.386万元.

【点睛】

本题考查了相关系数，•的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.

2

/v「r-

19、(1)彳+彳_=1；(2)存在，V3x+2y-2V3=0.

【解析】

（1）设以AP为直径的圆心为笈，切点为N,取A关于.v轴的对称点4,连接4P,计算得到|4修+|人”=4,故

轨迹为椭圆，计算得到答案.

（2）设直线的方程为x=）+（2-①），设Ea，y）,F（X2，%），MC%，）'o），联立方程得到

”=34（XO-2）,为=上;（垢-2）,计算二2\二一百，得到答案.

Xj-2x2-2x0-2

【详解】

（1）设以A〃为直径的圆心为外切点为N,贝“O臼=2一|网,|O耳十怛川=2,

取A关于y轴的对称点A',连接美尸,故|AP|+|AA=2（|OB|+忸臼）=4>2,

所以点夕的轨迹是以A4为焦点，长轴为4的椭圆，其中。=2,c=l,

曲线方程为工+±=1.

43

（2）设直线的方程为x=q+（2-JG）,设E（再,y）,尸（再,当），“（/，为），

直线DE的方程为）'=工（X-2）,月=（%-2）,同理,yr=-^―（x0-2）,

x,-2A]-2x2-2

所以2%=X+丹=^-U0-2)+7a0-2),

x,-1x2-2

nn2yo_y..%_2%%-百日+%)

即一'-f-9

小-2%-2X2-24yM-力(％+%)+3]

卜:“+(j—而)、2+(⑵—66J)y+9产—12的=0,

3x2+4y2-12=0'

9/一12后6舟-⑵

所以y%=，y+北二

3产+43产+4

9『-12血

2x

代入得罟

3r+4=—6,+2%-2\/3=0»

6今2—⑵

/I----------+3J

3产+43产+4

所以点M都在定直线y/3x+2y-243=0上.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

20、(1)石；(2)4.

【解析】

(1)利用三角形的面积公式求得忸q,利用余弦定理求得|AC|.

(2)利用余弦定理求得cosNC4B,由此求得$加/DAC,进而求得利用同角三角函数的基本关系式求

得tanZADC.

【详解】

(1)在一ABC中，由面积公式：

S..=gxx|8C|xsinNA8C=乎x忸。|=；

:.\BC\=42

在-4AC中，由余弦定理可得：=|4砰+|«行一2|人斗忸45)"4雨;=5

/.|AC|=V5

(2)在一ABC中，由余弦定理可得：COS/CE8」AB|：叩TfC|二述

21AM.忸C|5

7-\

sinZDAC=sin(4DAB-/CAB)=sin-/CAB

2)

2x/^"

/.sin/.DAC=cosZ.CAB=

5

在一AOC中，由正弦定理可得:

_\AC\_=_\Cb\_：.sinZADC=^^~

sinZADCsinZDAC17

•.•NADC为锐角

cosZADC=Vl-Sin2ZADC=­・

17

/.tanZADC=4

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.

21、（1）炉=4*：：（2）直线N，,恒过定点［-3,0）,理由见解析.

【解析】

（1）根据抛物线的方程，求得焦点尸（^，0），利用松=（2,26），表示点尸的坐标，再代入抛物线方程求解.

（2）设M（xo,川），N（xi,》），L（X2,J2）,表示出MN的方程y=--------口和ML的方程_），=--------二^,因为

>'o+凹>o+>2

A（3,-2）,B（3,-6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得yg=12,然后表示直线NL的方程为：y-

42

》=------（x—至v），代入化简求解.

y+）’24

【详解】

（1）由抛物线的方程可得焦点尸（5,0）,满足尸尸=（2,2后）的。的坐标为（2档,26），P在抛物线上，

所以（2^/3）2=2p（2+^）,即/+4p・12=0,p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为：j2=4.r；

（2）设M（xo,jo）>N（xi,ji）,L（X2,J2）>则j『=4xi,yi2=4x2t

)「光二4

2

直线MN的斜率k.\tN%-x0>,(-y+%,

~T~

4v2

则直线MN的方程为：y-jo=----------(x-%

y+%4

即尸错①

同理可得直线ML的方程整理可得_>，=

将A(3,-2),B(3,-6)分别代入①，②的方程

2」2+%X

%+y

消yo可得》”=12,

_6=S叱

)'。+)’2

44V2

易知直线上江=-------,则直线NL的方程为：y-yi=------(x-^-),

%+%+y24

4412

即旷=------x+故尸7x+---,

y+必>1+>2>1+>2>1+必