专题04二元一次方程组的应用解答120题（12种解题模型）专项训练（解析版）

专题04二元一次方程组的应用解答120题（12种解题模型）专项训练题型一：数字问题题型二：年龄问题题型三：配套问题题型四：和、差、倍、分问题题型五：行程问题题型六：工程问题题型八：销售问题题型八：方案问题题型九：几何问题题型十：古代问题题型十一：图表信息题题型十二：鸡兔同笼问题题型一：数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．1．（22-23七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．求原来的两位数．【答案】原两位数是35．【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数．【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为，由题意得：，整理得：，解得：，故原两位数是35．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字．2．（22-23七年级下·四川凉山·阶段练习）有一个两位数比它个位数上的数字与十位上的数字的和的5倍大2；若将它个位数字与十位上的数字互换位置，则原来的数比新数小9，求这个两位数．【答案】这个两位数是67【分析】设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求解即可．【详解】解：设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，由题意得，解得：，∴这个两位数是67．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确表示出两位数是解题的关键．3．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．(2)第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．根据题意得：，由②，得：③，得：．把代入①得：，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．4．（22-23七年级下·全国·课时练习）根据下列语句，分别设适当的未知数，列二元一次方程或方程组．(1)甲数的比乙数的5倍大2；(2)梯形的面积为，高是6cm，且下底比上底的2倍少1cm，求梯形上底和下底的长；(3)如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，求和的度数．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设甲数为x，乙数为y，则．（2）设梯形的上底为xcm，下底为ycm，则（3）设和的度数分别为，，则5．（22-23七年级下·福建泉州·期中）山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【答案】山上本来有只羊，山下本来有只羊【分析】设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，根据山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”列方程组求解．【详解】解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，由题意得，，解得：，答：山上本来有只羊，山下本来有只羊．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．6．（22-23七年级下·河北唐山·期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组．(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．【答案】(1)原两位数为38(2)(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解；（3）结合（1），可知：，，进而即可求解．【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得：，解得：，∴．答：原两位数为38；（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，依题意，得：；（3）结合（1）可知，，，∴，，∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．7．（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．

【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y，则，整理得：

解得答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．8．（23-24七年级下·全国·随堂练习）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数．【答案】甲数是24，乙数是12【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可．【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意，得解得答：甲数是24，乙数是12．9．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）一个正整数，由N个数字组成．若它的第一位数可以被1整除，它的前面两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数能被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：246的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“246”可以被3整除，则246是一个“精巧数”(1)请直接写出最小四位数“精巧数”是__________；最大的四位“精巧数”是__________(2)若一个三位“精巧数”各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”【答案】(1)1020，9876(2)306，324，342，360【分析】（1）根据定义，结合最大的四位数和最小的四位数的特点，求解即可；（2）根据题意可得，再由a是偶数，即可确定三位“精巧数”是306，324，342，360．【详解】（1）解：∵1可以被1整除，10可以被2整除，102可以被3整除，1020可以被4整除，∴最小的四位数“精巧数”是1020，∵9可以被1整除，98可以被2整除，987可以被3整除，9876可以被4整除，∴最大的四位数“精巧数”是9876，（2）∵的各位数字之和为，∵，，且a、b是整数，∴，∵各位数字之和为一个完全平方数，∴或或，∵的和可以被3整除，∴，∴，∵a是偶数，∴，2，4，6，∴，4，2，0，∴三位“精巧数”是306，324，342，360．【点睛】本题考查数的整除性，熟练掌握整除的含义，二元一次方程的应用，理解定义，掌握可以被3整除，被2整除数的特征是解题的关键．10．（22-23七年级下·浙江金华·期中）阅读材料并完成题目【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然．【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41．(1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______；(2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除；(3)若一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，求的最大值．【答案】(1)340，34(2)见解析(3)86【分析】（1）根据“明礼数”和“修身数”的定义计算即可得到答案；（2）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，作差进行计算即可得到答案；（3）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，则“明礼数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，最后分情况进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意可得：30的“明礼数”是340，30的“修身数”是34，故答案为：340，34；（2）证明：设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，它们的差为：，对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除；（3）解：设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，“明礼数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，当时，“修身数”的各位数字之和为：，一个两位正整数的“修身数”的各位数字之和是的“明礼数”各位数字之和的一半，当时，，解得：，不符合题意，当时，，解得：，为两位正整数，当时，最大，最大值为86．【点睛】本题主要考查了新定义在数字问题中的应用，正确理解“明礼数”和“修身数”的定义是解题的关键．题型二：年龄问题解题技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。1.10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，得解得答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．2．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则解得答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．3．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，依题意，得：，解得：．答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【答案】大头儿子现在的年龄为10岁【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意得：，解得：，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．5．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．题型三：配套问题解题技巧：若A、B两种物品分别需要a个和b个才能构成一套，则等量关系式为：A产品个数：B产品个数=a：b。往往，此类题型，会告知工人总数，则第二个等量关系式为：A产品工人数+B产品工人数=总工人数。1．（23-24七年级·全国·随堂练习）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服，(1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？(2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子(2)2100元【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用．（1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案．（2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可．【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，由题意可得：，解得：，答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子．（2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件），∴可生产120套运动服，（元）．答：生产该批次运动服能盈利2100元．2．（22-23七年级下·福建福州·期中）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶．【答案】这些消毒液应该分装30000大瓶，50000小瓶【分析】设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解．【详解】解：设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶由题意得解得答：这些消毒液应该分装30000大瓶，50000小瓶．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．3．（22-23七年级下·全国·课时练习）七（1）班有54名学生参加学校运动会会场的布置，每名学生可搬2把椅子，2名学生可合作抬1张桌子，则在一次搬运过程中应安排多少名学生搬椅子，多少名学生抬桌子正好使桌椅配套？（注：1张桌子配2把椅子）【答案】安排18名学生搬椅子，36名学生抬桌子【分析】设应安排x名学生搬椅子，y名学生抬桌子，根据条件得到关于、的二元一次方程，即可得到答案．【详解】解：设应安排x名学生搬椅子，y名学生抬桌子，根据题意，得，解得.答：应安排18名学生搬椅子，36名学生抬桌子正好使桌椅配套．【点睛】本题主要考查二元一次方程，根据题意得到二元一次方程是解题的关键．4．（22-23七年级下·湖南郴州·期末）为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元．(1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？(2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？【答案】(1)新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元(2)可以建造地上停车位个，地下停车位个【分析】（1）根据等量关系式：新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，列出方程组，即可求解；（2）根据等量关系式：建造地上车位的个数建造地下车位的个数，建造地上车位的费用建造地下车位的费用万元，列出方程组，即可求解．【详解】（1）解：设新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元，由题意得，解得：，答：新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元．（2）解：设建造地上停车位个，地下停车位个，由题意得，解得：，答：可以建造地上停车位个，地下停车位个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．5．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？【答案】每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗【分析】根据2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；【详解】解：设每辆A型车的每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，由题意可得，，解得，答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．6．（22-23七年级下·北京海淀·期末）为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？【答案】生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套【分析】设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．两个等量关系为：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数．再列方程求解即可．【详解】解：设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．根据题意得得．．把代入得．．答：该厂能生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数，列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系．7．（22-23七年级下·贵州·阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．(2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论．【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，依题意，得：，解得：．答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．（2）依题意，得：，．，均为非负整数，，，，该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆．方案1所需租金：（元，方案2所需租金：（元，方案3所需租金：（元．，方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．8．（21-22七年级下·广西桂林·阶段练习）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）(1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片张，正方形纸片张；(2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？【答案】(1)7；3(2)可以做成甲乙两种小盒各40个，80个【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数加法的实际应用：（1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案；（2）设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片，∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张，故答案为：7；3；（2）解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，由题意得，，解得，答：可以做成甲乙两种小盒各40个，80个．9．（21-22七年级下·广东东莞·期中）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．(1)求每辆大、小客车的租车费各是多少元？(2)怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．【答案】(1)每辆大车的租车费是400元，每辆小车的租车费是300元(2)①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆【分析】（1）设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，根据题意列出二元一次方程，并求出非负整数解，即可解决问题．【详解】（1）解：设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，由题意得：，解得：，答：大车每辆的租车费是400元，小车每辆的租车费是300元；（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，由题意得：，整理得：，∵、为非负整数，∴或或，∴共有三种租车方案：①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找准等量关系并正确列出二元一次方程（组）．10．（22-23七年级下·全国·课时练习）一养鱼专业户承包了20口相同的鱼塘，准备投入175000元养殖特种鱼类和一般鱼类，投入资金和所需人数如下表：鱼类投入资金/（元/口）所需人数特种鱼类20000每口鱼塘1人一般鱼类5000三口鱼塘1人该养鱼专业户应如何安排鱼塘？需要安排多少人？【答案】5口鱼塘用于养殖特种鱼类，15口鱼塘用于养殖一般鱼类，需要安排10人【分析】设安排x口鱼塘用于养殖特种鱼类，y口鱼塘用于养殖一般鱼类，根据题意，列出二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设安排x口鱼塘用于养殖特种鱼类，y口鱼塘用于养殖一般鱼类，根据题意，得，解得.需要安排（人）.答：5口鱼塘用于养殖特种鱼类，15口鱼塘用于养殖一般鱼类，需要安排10人.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答）(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者；(2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆．【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据题中等量关系列出方程组即可；（2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据题意列出二元一次方程，【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：，解得：；答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者．（2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆，依题意，得：，∴，又∵m，n均为正整数，∴；答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，根据题意列出方程组与方程是解题的关键．12．（22-23七年级下·湖南张家界·期末）先阅读，然后答题．小明准备了一个长方体的无盖容器和两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为，水足以淹没所有的钢球．(1)探究一：小明做了两次实验，先放入3个型号钢球，水面的高度涨到；把3个型号钢球捞出，再放入2个型号钢球，水面的高度恰好也涨到．由此可知：放入一个型号钢球水面会上升，放入一个型号钢球水面会上升；(2)探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入型号与型号钢球共10个后，水面高度涨到，求放入水中的型号与型号钢球各几个？【答案】(1)3，2(2)放入水中的型号钢球3个；型号钢球7个【分析】（1）根据题意，直接计算即可得到答案；（2）设放入水中的型号与型号钢球各个，个，列方程组求解即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，放入一个型号钢球水面会上升，放入一个型号钢球水面会上升，故答案为：3，2；（2）解：设放入水中的型号与型号钢球各个，个，由题意得，解得，答：放入水中的型号钢球3个；型号钢球7个．【点睛】本题考查综合实践，涉及有理数运算及二元一次方程组，读懂题意，列式计算及列方程组求解是解决问题的关键．13．（22-23七年级下·福建南平·期末）“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个(2)有四种购买方案，见解析【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可；（2）设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得，再利用方程的正整数解可得答案．【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据题意，得解这个方程组得：，答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得，化简得，所以，因为m，n均为非负整数，所以，所以，且n为非负整数，所以当；当，当，当，所以共有四种购买方案．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键．14．（22-23七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元．(1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？(2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？【答案】(1)辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元(2)租车费用是元【分析】（1）可设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，根据等量关系：辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，列出方程组求解即可；（2）根据题意，刚好全部坐满，确定等量关系：甲客车人数+乙客车人数，建立一元一次方程求解，进而求出费用即可．【详解】（1）解：设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，依题意有，解得，答：辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元．（2）解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆，则，解得，元．答：刚好坐满时，租车费用是元．【点睛】本题考查一元一次方程及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系．15．（21-22七年级下·浙江金华·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：A货车（辆）B货车（辆）防疫物资（吨）第一次128360第二次1812▄第三次54160(1)表格中被污渍盖住的数是______．(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．【答案】(1)540(2)A货车每辆每次可以运货20吨，B货车每辆每次可以运货15吨(3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可；（2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨；（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案．【详解】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意，得，解得，（吨）；故答案为：540；（2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，则20m+15n=190,∴，①当m=2时，n=10；②当m=5时，n=6；③当m=8时，n=2．∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答．题型四：和、差、倍、分问题解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。增长量＝原有量×增长率

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.1．（22-23七年级下·浙江金华·期中）元宵节是我国的传统节日，人们素有吃元宵的习俗，在元宵节来临之际，某超市计划购进一批元宵进行销售．(1)若购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，求购进A、B两种品牌的元宵各多少袋？(2)该超市采购员发现，1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，求A、B两种品牌的元宵进价分别为多少元？【答案】(1)购进A种品牌的元宵670袋，购进B种品牌的元宵330袋(2)A种品牌的元宵进价为9元，B种品牌的元宵进价为15元【分析】（1）设购进A种品牌的元宵x袋，购进B种品牌的元宵y袋，由题意：购进A、B两种品牌的元宵共1000袋，且A品牌的元宵比B品牌元宵的2倍多10袋，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设A种品牌的元宵进价为m元，B种品牌的元宵进价为n元，由题意：1袋B种品牌的元宵比1袋A种品牌的元宵进价贵6元，且购进5袋A种品牌的元宵和购进3袋B种品牌的元宵所需费用相同，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】（1）解：设购进A种品牌的元宵x袋，购进B种品牌的元宵y袋，由题意得：，解得：，答：购进A种品牌的元宵670袋，购进B种品牌的元宵330袋；（2）解：设A种品牌的元宵进价为m元，B种品牌的元宵进价为n元，由题意得：，解得：，答：A种品牌的元宵进价为9元，B种品牌的元宵进价为15元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛2斛．(1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？(2)盛酒14斛需要大桶、小桶各多少？（写出两种方案即可）【答案】(1)1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛(2)21个大桶和9个小桶；14个大桶和22个小桶；7个大桶和35个小桶．（写出其中两个即可）【分析】（1）设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意列方程，解方程即可解答．（2）设需要大桶m个，小桶n个，根据题意列方程，整理得，再根据m、n都为非负整数即可解答．【详解】（1）设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．根据题意得，解得答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒解．（2）设需要大桶m个，小桶n个，依题意，得：，整理得，∵m、n都为非负整数，∴或或．所以盛酒14斛，需要21个大桶和9个小桶；14个大桶和22个小桶；7个大桶和35个小桶．（写出其中两个即可）．【点睛】本题考查了解二元一次方程，根据题意列方程是解题的关键．3．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．(1)求A，B两种品牌足球的单价．(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？【答案】(1)A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元(2)学校最少需要花费2120元【分析】（1）根据购买6个品牌的足球和4个品牌的足球共需960元；购买5个品牌的足球和2个品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到的取值范围，再依次代入计算可得结果．【详解】（1）解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元，由题意可得：，解得，答：种品牌的足球单价为80元，种品牌的足球单价为120元；（2）若购品牌的足球个，则购买品牌的足球个，则共需要元，购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，购买品牌的足球有3个或4个或5个或6个或7个，分别代入可得：当购买品牌的足球7个时，式子取得最小值，原式，答：学校最少需要花费2120元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的代数式．4．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）某公司购买了一批物资并安排两种货车运抵某市．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3200件物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资(2)共有2种租车方案，方案1：租用4辆小货车，5辆大货车；方案2：租用8辆小货车，2辆大货车．【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资，根据题意列出方程组求解即可．（2）设租用小货车辆，大货车辆，依题意得：，求方程的正整数解即可．【详解】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资由题意可得：，解得：，答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．（2）解：设租用小货车辆，大货车辆，依题意得：，．又，均为正整数，或，共有2种租车方案，方案1：租用4辆小货车，5辆大货车；方案2：租用8辆小货车，2辆大货车．【点睛】本题考查了二运一次方程组的应用，确定等量关系，列出正确的方程（组）是解题的关键．5．（22-23七年级下·河北沧州·期中）庚子鼠年，疫情肆虑，口罩成为生活必需品．甲、乙两厂分别有4条和5条口罩生产线，两厂计划用3天时间赶制1000箱口罩支援疫情．若甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；若甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱．(1)甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量各是多少箱？(2)两厂满负荷生产，是否可以如期完成任务？【答案】(1)甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱(2)能如期完成任务【分析】（1）设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱，根据甲厂启用1条乙厂启用2条生产线，一天可以生产口罩112箱；甲厂启用2条乙厂启用3条口罩生产线，一天可以生产口罩189箱，列出方程组进行求解即可；（2）求出满负荷生产时，3天能够生产的总量，即可得出结论．【详解】（1）解：设甲、乙两厂每条口罩生产线每天的产量分别为箱和箱，则，解得；答：甲厂每条口罩生产线每天的产量是42箱，乙厂每条口罩生产线每天的产量是35箱．（2）∵，∴能如期完成任务．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．6．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）两江新区某校七年级550名学生乘坐渝约公交去照母山春游，已知满员时，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生90人；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送学生145人．(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少名学生？(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆的租金是220元，大客车每辆的租金是360元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送65名学生(2)①一共有三种租车方案：租用小客车22辆，大客车0辆；租用小客车14辆，大客车5辆；租用小客车6辆，大客车10辆；②租用小客车22辆，大客车0辆的费用最少，最少为4840元【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用；（1）设1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可分别运送x名学生，y名学生，再根据用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生90人；用1辆小客车和3辆大客车每次可运送学生145人列出方程组求解即可；（2）①根据（1）所求得到方程，求出方程的非负整数解即可得到答案；②根据（2）①所求分别计算出三种方案的费用即可得到答案．【详解】（1）解：设1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可分别运送x名学生，y名学生，由题意得，，解得，∴1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可分别运送25名学生，40名学生，∴1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送65名学生；（2）解：①由题意得，，∴，∵a、b都为非负整数，∴也是非负整数，∴b一定是5的倍数，当时，，当时，，当时，，当时，，不符合题意；∴一共有三种租车方案：租用小客车22辆，大客车0辆；租用小客车14辆，大客车5辆；租用小客车6辆，大客车10辆；②租用小客车22辆，大客车0辆的费用为元；租用小客车14辆，大客车5辆的费用为元；租用小客车6辆，大客车10辆的费用为元；∵，∴租用小客车22辆，大客车0辆的费用最少，最少为4840元．7．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：类型进价（元/袋）售价（元/袋）A种大米2030B种大米3045(1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元，求这两种大米各购进多少袋；(2)据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为1500元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．(3)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？【答案】(1)购进A种大米30袋，B种大米40袋(2)该超市3月份已售出大米的进货款为1000元(3)有两种购买方案：方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋．【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算；（2）列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算；（3）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量．【详解】（1）解：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得，解得答：购进A种大米30袋，B种大米40袋；（2）解：设售出A种大米m袋，B种大米n袋，则，化简得，进货款（元）答：该超市3月份已售出大米的进货款为1000元；（3）解：设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋．由题意得：．解得，为正整数，∴或，则有①，②∴有两种购买方案：方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键．8．（22-23七年级下·辽宁营口·期中）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆、小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有80辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费840元，中、小型汽车各有多少辆？【答案】小型汽车30辆，中型汽车50辆【分析】设小型车有x辆、中型车有y辆，根据等量关系为“中型汽车+小型汽车=80”和“中型汽车停车费+小型汽车停车费=840”，据此列方程组求解即可．【详解】解：设小型车有x辆、中型车有y辆，根据题意，得，解得．答：小型汽车30辆，中型汽车50辆．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出二元一次方程组是解答本题的关键．9．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）长青化工厂与地有公路、铁路相连，与地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元，铁路运价为1.2元，且这两次运输共支出公路运费24000元，铁路运费152400元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【答案】3223600元【分析】设这家工厂从地购买产品，制成原料，根据“这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．【详解】解：设从A地制成产品，购买原料．根据题意，得解得∴．答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多3223600元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（23-24七年级下·江西宜春·阶段练习）小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题：商品名单价（元）数量金额（元）签字笔326自动铅笔1.5记号笔4软皮笔记本29圆规3.51合计828(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？【答案】(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只(2)有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本【分析】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键．（1）设自动铅笔买了x支，记号笔y支，利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案；（2）根据题意设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本，根据共花费15元得出等式，进而得出二元一次方程的解．【详解】（1）（1）设小丽自动铅笔买了x支，记号笔y支，因为由表格知：购买圆规花费金额为：（元），购买软皮笔记本花费的金额为：9元，所以买自动笔和记号笔共花费的金额为：（元），可以列方程如下：

解得：答：小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只；（2）解：设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本．软皮本每本单价：（元），∴

化简：

则；；答：有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本．题型五：行程问题解题技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度×时间=路程。相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；追击问题：快的路程－慢的路程=路程差流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速1．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲地到乙地全程，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为，下坡路的平均速度为．若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程．【答案】小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为【分析】本题考查了行程问题的二元一次方程组的应用；设小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为，根据来回的时间关系：去时上坡的时间去时下坡的时间平路的时间，返回时上坡的时间返回时下坡的时间平路的时间，列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：设小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为，由题意得：，解得：，答：小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程分别为．2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时．(1)求水流速度和AB两地之间的距离；(2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米(2)相距千米【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组．（1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；（2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得：，解得：，答：水流速度为5千米时，两地相距120千米．（2）解：设相距m千米，根据题意得：答：相距千米．3．（21-22七年级下·辽宁盘锦·期中）小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变，小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分，下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间．小明：如果我骑车，你步行，那么我从家到学校比你少用4分钟小红：如果我俩都步行，那么我从家到学校比你少用2分钟．【答案】小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟．由题意，得，解得，答：小明从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟．【点睛】本题是二元一次方程组的应用，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．4．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间．【答案】(1)相差19分钟(2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键．（1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可；（2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟”列方程组求解即可．【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据题意，得，解得，∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间，∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟；（2）解：由知小张乘车时间短，根据题意，，解得，答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟．5．（22-23七年级下·全国·课后作业）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？【答案】(1)2倍(2)20圈【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得∴．答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得，解得．答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．6．（2024七年级·全国·竞赛）甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．【答案】1100米【分析】本题考查二元一次方程组，设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米，根据题意列出方程组，再设到的距离为米，再列出方程，即可求出答案．【详解】解：设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米．则，解得：，再设到的距离为米，则，解得：．答：两地的距离为1100米．7．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为千米，超过千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”；乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过千米后，每千米的车费是多少元？【答案】这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，根据“乘车千米，付了元；乘车千米，付了元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元，由题意得：，解得：，答：这种出租车的起步价是元，超过千米后，每千米的车费是元．8．（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？【答案】乙每分跑圈，甲每分跑圈；【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乙每分跑圈，甲每分跑圈，根据如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；列出二元一次方程组，解方程组即可；【详解】解：设乙每分跑圈，甲每分跑圈，由题意得：，解得：，答：乙每分跑圈，甲每分跑圈．9．（21-22七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分．(1)当时，则______；______；(2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度．①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间．【答案】(1)60°，75°(2)①射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②射线转动的时间为3或12或21或30．【分析】（1）利用互余可知，利用互补及角平分线的性质可知；（2）①先根据，可知，则两种情况可以类比二元一次方程应用中的路程问题，根据相遇、追击两种情况列出方程组，求解即可；②分两种情况：在直线0E的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，故答案为：60°，75°；（2）①设射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是，由题意列方程组为，解得，答：射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②设射线转动的时间为t秒，由题意得：或或或，解得：或或或，综上所述：射线转动的时间为3或12或21或30．【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，解二元一次方程组，角平分线的定义，角的计算，第二问有难度，难点在于要分情况讨论．10．（21-22七年级下·山东济宁·阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？【答案】(1)a和b的值分别为60，40；(2)【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，∴甲车以两种速度行驶的路程均为60km．∴由题意得：，解得：；即a和b的值分别为60，40；（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时∴由题意得：解得：；∴甲车前一半的时间为：，由于，则乙h时行的路程为：，∵，∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，∴相遇时甲车还没行驶到60km，∴相遇时间为：，则离A地的路程为：．即：两车相遇时，离A地．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．题型六：工程问题解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。1．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，解得，答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元．（2）解：甲单独完成：（元）乙单独完成：（元）甲、乙两队完成：（元），∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．2．（22-23七年级下·云南昆明·阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成．工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天(2)元【分析】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据题意得：，解得：．答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；（2）解：根据题意得：元．答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．3．（2024七年级下·全国·专题练习）一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天．【答案】甲、乙两队先合作了4天【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天，根据题意列出二元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天．根据题意，得解得答：甲、乙两队先合作了4天．4．（22-23七年级下·福建漳州·期中）某地需要将一段长为140米的河道进行整修，整修任务由两个工程队先后接力完成．已知工程队每天整修12米，工程队每天整修8米，共用时15天．求两个工程队整修河道分别工作了多少天？【答案】工程队整修河道工作了5天，工程队整修河道工作了10天【分析】设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：设工程队整修河道工作了天，工程队整修河道工作了天，根据题意可得：，解得：，答：工程队整修河道工作了5天，工程队整修河道工作了10天．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．（2023七年级下·浙江·专题练习）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．【答案】(1)甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元