2.1探索和证明不等式性质课件-高一上学期数学人教A版（2019 ）必修第一册

探索和证明不等式的性质

教学目标（1）梳理等式的基本性质，能从中归纳出等式的基本性质中蕴含的数学思想。（2）能类比等式的基本性质，猜想并证明不等式的基本性质，体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性。（3）能利用不等式的基本性质，猜想并证明不等式的一些常用性质。教学重点与难点（1）教学重点：梳理等式基本性质中蕴含的思想方法；猜想和证明不等式的基本性质。（2）梳理等式基本性质中蕴含的思想方法；猜想和证明不等式的基本性质；发现不等式的一些常用性质。环节一

确定研究内容，明确研究方法引导语：

我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系。上节课我们提到，与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质。不等式到底有哪些性质呢?今天我们就来研究这个问题。问题1

你能回忆出初中学过的等式的性质吗?环节二

梳理等式的基本性质，归纳其中蕴含的数学思想方法追问1

这些性质有什么共性?追问2

这些性质中，不同的是“加”，“减”，“乘”“除”，你能用一个词来概括它们吗?

追问3

我们知道,字母可以表示任意实数,因此减法、除法可以分别化归为加法、乘法。由此，请你进一步梳理这些性质,并说说哪些性质更为“基本”。讨论分析：

等式两边减同一个数c可以看成是等式两边加同一个数一c;等式两边除同一个数c(c≠0)可以看成是等式两边乘同一个数一

。所以,性质1、3更为基本,性质2、4可以看作是由性质1、3“派生”出来的,性质1、3可称为等式的“基本性质”。

追问3

我们知道,字母可以表示任意实数,因此减法、除法可以分别化归为加法、乘法。由此，请你进一步梳理这些性质,并说说哪些性质更为“基本”。总结：

由以上分析可知,我们可以把刚才梳理的四条性质合并为两条:

性质1如果a=b,那么a+c=b+c。

性质2如果a=b,那么ac=bc。追问4

等式乘方、开方的性质是否可以看作是由等式的基本性质“派生”出来的?总结：乘方运算是特殊的乘法运算,开方运算可以看作是乘方运算的“逆运算”,它们都可以看作是由乘法运算派生出来的。追问5

等式是否还有其他性质?

回顾一下初中的数学学习过程就会发现,这两条性质可以说是随时随地都在使用着的。

性质3如果a=b,那么b=a。

性质4如果a=b,b=c,那么a=c。

教师总结:

在研究数学对象的性质时,应该按照先研究数学对象自身具有的性质，再研究其他性质的顺序。所以,我们要把这些性质重新排序,即:性质1如果a=b,那么b=a。性质2如果a=b，b=c,那么a=c。性质3如果a=b,那么a+c=b+c。性质4如果a=b,那么ac=bc。追问如何类比?问题2

刚才,我们回顾了等式的基本性质并从中归纳概括出了数学思想方法,下面我们来研究不等式的基本性质。你打算如何研究?环节三

类比等式的基本性质，探究不等的性质追问1

你能证明“如果a>b,那么b<a”?问题3

类比相等关系“自身的特性”,你能猜想并证明不等关系“自身的特性”吗?证明如下：根据基本事实，由a>b可得a-b>0。在a-b>0两边乘-1,不等号反向,得(-1)(a-b)<0。由分配律可得-a+b<0,即b-a<0。由基本事实可得b<a。

追问2

类比等式的性质2,你得到了什么?你能证明吗?问题4

以“运算中的不变性就是性质”为指导,类比等式的基本性质3和性质4,你能猜想出不等式的哪些性质?能给出证明吗?

追问1

用文字语言表达性质,有助于加深对性质的理解。你能用文字语言表述性质3吗?

追问2

从几何角度“直观”解释性质,有助于我们数形结合地理解性质。你能利用数轴来解释性质3吗?

追问3

类比等式的基本性质4,你得到了什么结论?能给出证明吗?问题5

加法、乘法是数学的基本运算,因此上述四条性质是不等式的基本性质。你能比较一下不等式的基本性质与等式的基本性质,说说它们的共性与差异性吗?问题6

在不等式的性质3中,不等式两边所加的数是相同的。如果两边所加的数不同,你能得出什么结论?

追问

当不等式两边所加的数不同但有确定的大小关系时,例如在a>b的两边分别加上c和d,且c>d,这时a+c和b+d是否具有确定的大小关系?问题7

性质5的发现方法对你有什么启发?你能由此对性质4进行变式,得出类似的结论吗?证明你的猜想。

追问

我们知道,不等式的性质反映了“运算中的不变性”,我们还有哪些运算没有研究?你能从已有的性质出发得出新的性质吗?点拔：利用不等式基本性质,体现“分析法”的证明思路和“综合法”的表达方式。例题

已知a>b>0,c<0，求证:环节四

应用性质证明问题,巩固加深性质的理解问题8

请你带着下面的问题,对本课的学习进行总结。(1)等式的基本性质反映了相等关系哪些方面的特性?我们是如何归纳概括出其中蕴含的数学思想方法的?(2)我们经历了怎样的不等式