2.4.2 圆的一般方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点.（重点）2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标半径的大小.（重点）3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．（难点）.圆的标准方程：

(x-a)2+(y-b)2=r2特征：直接看出圆心与半径直线的一般方程：类比把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyxDEFx2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0结论：任何一个圆方程可以写成下面形式我们知道，方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心，2为半径的圆，可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0.一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)的形式.反过来，形如(1)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？思考对方程x2+y2-2x-4y+6=0进行配方，得(x-1)2+(y-2)2=-1，例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6=0，请检验其能否变形为圆的标准方程.任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)的方程不一定都能通过恒等变形变为圆的标准方程.那当D，E，F满足什么条件时这个方程表示圆？将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

(2)，配方可得

那当x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F满足什么条件时这个方程表示圆？

因此，当D2+E2-4F>0

时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.

圆的一般式方程与圆的标准式方程有何不同之处呢？说一说知识总结圆的一般式方程与圆的标准式方程的不同之处：我们观察一下这个二元二次方程不难发现：圆的一般方程突出了代数结构:(1)x2和y2系数相同，都不等于0.(2)没有xy这样的二次项.(3)当D2+E2-4F>0时，方程才表示一个圆.

圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程．知识拓展

两种方程的字母间的关系：

圆的一般式方程与圆的标准式方程的比较：知识拓展

CxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0例2求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.解1：(待定系数法)设过O,M1,M2的圆方程为则∴过O,M1,M2的圆方程为解2：(待定系数法)设过O,M1,M2的圆方程为则∴过O,M1,M2的圆方程为例题讲解求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤如下：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；(3)解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程.归纳总结变式训练1.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.(1)x2＋y2－2x＋4y－6＝0;(2)3x2＋3y2－2x＋4y－6＝0;(3)x2＋y2－2ax－b2＝0.(3)原方程等价于(x－a)2＋y2＝a2+b2因为a2＋b2≥0，所以当a＝b＝0时，方程表示原点；

建：建立直角坐标系设：用坐标表示有关的量限：限制条件

代：进行有关代数运算化：化简例题讲解求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．归纳总结变式训练2.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．求(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ.所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋