2.4.2 圆的一般方程（共2课时）课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程00前情回顾

1.圆的标准方程：

00前情回顾位置关系图形利用距离判断利用方程判断点在圆上点在圆外点在圆内＝＝>><<2.点与圆的位置关系：1圆的一般方程目录2点与圆的位置关系3题型00课题引入思考：在直线方程中，所有的二元一次方程都可表示直线，那么，类比学习，以C(1，－2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？那么，一起探究圆的方程和二元二次方程有什么关系？

变形关于

x,y

的二元二次方程目录1圆的一般方程01新知探究探究1：圆的标准方程和二元二次方程的关系？

变形

等价结论：任何一个圆的标准方程都可以写成二元二次方程的形式。

01新知探究

圆点不存在

01新知探究

01新知1——圆的一般方程

1.圆的一般方程：

练一练例1已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，求D，E？又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，∴D＝4，E＝－6.练一练例2若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；

(2)写出圆心坐标和半径?解：(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为:(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，练一练例3点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线

x－y＋1＝0对称，求该圆的面积？由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，∴该圆的面积为9π.练一练例4设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，

求弦AB的垂直平分线的方程？解：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，即3x－2y－3＝0.目录2点与圆的位置关系02新知探究

02新知2——点与圆的位置关系位置关系图形利用方程判断点在圆上点在圆外点在圆内＝><2.点与圆的位置关系：练一练

目录3题型题型1－

求圆的方程03例1已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)：(1)求∆ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在外接圆上,求a的值？解:(1)设∆ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即∆ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)∵点M(a，2)在∆ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，

即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.题型1－

求圆的方程03例2求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程?解：设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.题型1－

求圆的方程03例3圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，求圆C与两坐标轴的四个截距之和？解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.题型1－

求圆的方程03例4

求圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程?解:把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).

设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.总结求圆的方程题型2－

一般式构成圆的条件03例5

若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.(1)求t的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.解:(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.题型3－－轨迹问题03例6

点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为

圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程？解：设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式，得点P的坐标为(2x－2,2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.题型3－－轨迹问题03例7已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，求圆C的圆心的轨迹？解：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.题型3－－轨迹问题03例8

如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4

上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程？解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是

线段AB的中点，于是有x0＝8－x

，y0＝6－y，因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.(1)设坐标：求谁的轨迹（方程），设谁的坐标为(x,y)；(2)列关系式：根据题设条件列关系式化简即可。总结求轨迹方程轨迹和轨迹方程的区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.课堂小结标准方程一般方程方程