2.5.1 直线与圆的位置关系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系温故知新直线与圆有哪些位置关系？相交相切相离OlOlOl直线与圆的位置关系直线与圆的公共点的个数210温故知新还有其它判断直线与圆位置关系的方法吗？OlOlOlddd相交相切相离直线与圆的位置关系圆心到直线的距离与半径比较d＜rd=rd＞r发现问题l下图中的直线l与圆O位置关系是什么？新知探究Oxy本章研究直线与圆的方法是什么？几何问题代数问题代数方法几何图形性质两直线的位置关系方程组解的情况联立两直线方程

题型1：直线与圆位置关系的判定(不含参)几何法：计算量小；代数法：可求交点.例1

已知直线l

：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4

=0.

判断直线

l与圆

C的位置关系新知建构判断直线与圆位置关系的方法法一：联立方程组法二：计算圆心到直线的距离d两组解一组解无解d<rd=rd>r两个公共点相交一个公共点相切没有公共点相离题型1：直线与圆位置关系的判定(不含参)l提示：

题型1：直线与圆位置关系的判定(含参)a<-1或a>3题型1：过定点的直线与圆的位置关系相交要点小结直线与圆的位置关系相交相切相离图示直线与圆的交点个数2个1个0个几何法：圆心到直线的距离代数法：联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负)可求交点计算量小题型2：直线与圆的相交弦

例1

已知直线l:3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.解1:(代数法)题型2：直线与圆的相交弦

例1

已知直线l:3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.解2:(几何法)xOy621BAdlC•2.直线与圆相交时弦长的求法：

(1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边.xyOABdr(3)代数法（弦长公式法）：不算出两交点，设而不求垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧.由垂径定理，得(2)代数法：计算出两交点题型2：知弦长，求弦所在直线方程目标：求斜率与弦有关的最值问题6.

(1)当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为(2)当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为最长弦、最短弦问题直线与圆的切线例2

过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.xyOP例2

过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.

xyOP题型2：求圆的切线方程切线方程先判断点P与圆的位置关系若点P在圆上，切线有一条若点P在圆外，切线有两条①点P在圆上时:

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为

，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程

y=y0或

x=x0.②点P在圆外时:(Ⅰ)几何法:

设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程.(Ⅱ)代数法:

设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由△=0求出k，可得切线方程.特别注意:

切线的斜率不存在的情况，不要漏解.

如何求过一点P的圆的切线方程？先定位，再定量（1）切线方程的求法题型2：求圆的切线方程圆的切线的性质：①圆心到切线的距离等于半径(d=r)；②圆心与切点的连线垂直于切线(斜率积为-1)；由d=r求斜率k题型2：求圆的切线方程如图，在圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则（3）切线长公式圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0例4由直线y=x+1上任一点向圆(x－3)2+y2=1引切线，则该切线长的最小值为()A.1 B. C. D.3C求过直线与圆的交点的圆系方程的方法(1)联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求方程；(2)设圆系方程求参数，一般地，过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.

2.过直线与圆的交点的圆系方程例题讲解例3求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．解2：

设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又点P(－1，－2)在圆上，将(－1，－2)代入圆的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.课堂练习4.已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，因为圆心在直线2x－y－3＝0上，所以a＝－6.所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝3