3.3 幂函数课件-2024~2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3

幂函数学习目标

新课讲授前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.

问题1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.

概念讲解一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.注意：(1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1.(3)α是任意常数.(4)函数的定义域与α有关.例1

在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A.0

B.1

C.2

D.3B解析：∵y＝

＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数.归纳总结幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，即:(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项.反之，若一个函数为幂函数，则该函数必是这种形式.练1.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值.练2.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2，4)，则k+α等于(

)D解析：∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2，4)，∴k-1=1，2α=4，∴k=2，α=2.∴k+α=4，故选D.问题2：根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.问题3：你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1这五个函数的图象吗？问题4：观察函数图象以及函数解析式，完成下表.

y＝xy＝x2y＝x3y＝

y＝x－1定义域

值域

奇偶性

单调性

R

R

R

[0，＋∞){x|x≠0}R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y≠0}奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数增函数在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减增函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减通过以上信息，我们可以得到：(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝x－1的图象都通过点

；(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是

，函数y＝x2是

；(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，函数y＝x－1

；(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴

，向右与x轴_________.(1，1)奇函数偶函数单调递减无限接近无限接近单调递增注意：一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1，1).(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.例2如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，

四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()B练3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0A例3

函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数，且在区间(0，+∞)上单调递增，试确定m的值.解：根据幂函数的定义，得m2-m-5=1，解得m=3或m=-2.当m=3时，f(x)=x2在区间(0，+∞)上单调递增；当m=-2时，f(x)=x-3在区间(0，+∞)上单调递减，不符合要求.故m=3.练4.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点，求实数m的取值.解：由幂函数的定义得m2-3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，m2-m-2=-2，函数为y=x-2，其图象不过原点，满足条件；当m=2时，m2-m-2=0，函数为y=x0，其图象不过原点，满足条件.综上所述，m=1或m=2.例4比较下列各组中两个数的大小:归纳总结1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小.课堂总结根据本节课所学，回答下列问题：(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.当堂检测1.下列函数中不是幂函数的是()A.y＝ B.y＝x3C.y＝3x D.y＝x－1CA3.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.(1)求

的值；(2)若f(2a+1)=f(a)，求实数a的值.解：(1)因为f(x