第1讲导数的概念及其运算微专题课件-2025届高三数学一轮复习

第四单元第1讲导数的概念及其运算2025届1

课程标准解读命题方向核心素养1.了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象，理解导数的几何意义．3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数1.变化率与瞬时速度数学抽象数学运算直观想象2.导数的运算3.导数的几何意义及应用0102知识特训能力特训

01知识特训

[梳知识·逐落实]2．导数的概念

3．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__________．[注意]

曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指以P为切点，k＝f′(x0)为斜率的切线，是唯一的一条切线．f′(x0)知识点二导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________0αxα-1cosx－sinx

基本初等函数导函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝axlnaex

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)y′u·u′x[注意]

要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：(cos2x)′＝－sin2x.实际上应是(cos2x)′＝－2sin2x.[自诊断·夯基础]1．[易错诊断]判断下列结论是否正确．(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(

)(2)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(

)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(

)(4)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos(－x).(

)√×××

【提素能】1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.答案：－g(x)解析：由结论1可知导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x).

02能力特训特训点1特训点2特训点3[题组·冲关]1．(2024·陕西月考)某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2h这一时刻的高度变化的速度是(

)A．500m/h B．1000m/hC．400m/h D．1200m/h答案：C解析：∵h′(t)＝－200t＋800，∴h′(2)＝－200×2＋800＝400，则他在2h这一时刻的高度变化的速度是400m/h.故选C.特训点1平均变化率与瞬时变化率【自主冲关类】

给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间内，甲企业在[0，t1]内污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________.答案：①②③

[锦囊·妙计]平均变化率反映某一区间上变化的快慢，瞬时变化率反映某一点处的变化的快慢．

特训点2导数的运算【自主冲关类】

[锦囊·妙计]1．求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．

…………………研典例导解法特训点3导数的几何意义及应用【多维考向类】答案：C

(2)(2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，__________．

求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．考向2求切点坐标或参数典例2(1)(2023·郑州一模)已知曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(

)A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)答案：C

(2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)

1．根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点：一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上；二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值．2．利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合、化归与转化的思想方法．

答案：BD

(2)(2023·东北师大附中模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．答案：0

函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．1