专题3-3利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）原卷版

专题33利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）目录TOC\o"11"\h\u专题33利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题） 1 1题型一：导函数有效部分是一次型 2题型二：导函数有效部分可视为一次型 3题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解） 4题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解） 6题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解） 8题型六：借助二阶导函数讨论单调性 9 10导函数有效部分对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.题型一：导函数有效部分是一次型【典型例题】例题1．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；例题2．（2022·河北沧州·二模）已知函数.(1)求的单调区间；【提分秘籍】在例题1中，，可提取有效部分为，只要讨论有效部分的正负即可；在例题2中，可提取有效部分为，只要讨论有效部分的正负即可.【变式演练】1．（2022·北京延庆·模拟预测）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求的极值和单调区间；2．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；题型二：导函数有效部分可视为一次型【典型例题】例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，，为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；例题2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.(1)当时，求函数的单调区间；【提分秘籍】在例题1中，，可提取有效部分为，可以看作一次型，类似一次型讨论方式讨论的正负；在例题2中，可提取有效部分为，可以看作一次型，只要讨论有效部分的正负即可.【变式演练】1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；2．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数．(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数在区间上的单调性．题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）【典型例题】例题1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知函数(1)讨论的单调性；例题2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数，．(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；(2)当，且时，求函数的单调区间．【提分秘籍】讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例题1：，在讨论正负的过程中，遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.如例题1中从开始讨论。例题2中求导后，记有效部分为，由于最高项系数含参数，讨论时从开始讨论，当时，从开始讨论.【变式演练】1．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性．2．（2022·湖南·高三开学考试）已知函数，其中.(1)若直线是曲线的切线，求负数的值；(2)设.（i）讨论函数的单调性；题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）【典型例题】例题1．（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数，.(1)讨论的单调性；例题2．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数．(1)求的最小值；(2)若，讨论在区间上的单调性；【提分秘籍】讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例题1：，在讨论正负的过程中，的正负，可以看做的正负等同，故为可视为二次函数型.解题时，依然遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.【变式演练】1．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数在上的最小值；(2)讨论函数的单调性．2．（2022·河北·高二期中）已知函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)讨论的单调性．题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）【典型例题】例题1．（2022·天津河西·一模）已知函数．(1)当时，求的极值．(2)讨论的单调性；【提分秘籍】如本例，求导后，记导函数有效部分为，判断为不可因式分解的二次型，此类题型的方法主要采用法；分两类：①；②，利用求根公式求出方程的两个根，，然后再讨论的正负，进而讨论单调性，同时也要注意定义域.【变式演练】1．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数.(1)讨论的单调性；题型六：借助二阶导函数讨论单调性【典型例题】例题1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中(1)当时，讨论单调性；例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的单调区间；【提分秘籍】当一阶导函数中含有，，而一阶导的正负难以确定时，可以通过求二阶导，从而判断一阶导的单调性，进而判断一阶导的正负来讨论单调性.【变式演练】1．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知函数．(1)判断函数的单调性．1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知，函数．(1)讨论的单调性；2．（2022·江苏徐州·高三期中）已知函数，，.，分别为函数，的导函数.(1)讨论函数的单调性；3．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数，（为自然对数的底数，）．(1)求函数的单调区间；4．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数，其中为实常数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；5．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（）.(1)，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.6．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数(1)求的单调区间；7．（2022·黑龙江实验中学高二期末）已知函数．(1)当时，求函数f（x）的极值；(2)求函数f（x）单调区间．8．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知函数.(1)当时，求该函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知函数.(1)讨论函数的单调区间；10．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数(1)求函数的单调区间.11．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数(1)讨论的单调性；12．（2022·广东·顺德一中高二期中）已知函数(1)当时，求函数在上的最值；(2)讨论函数的单调性.13．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数．其中k为实数．(1)当时，若两个零点，求