综合能力提升卷（考试范围第二十六~二十九章）

【高效培优】2021—2022学年人教版九年级数学下册轻松冲刺学神考霸必刷卷【第四次月考】综合能力提升卷（考试范围：第二十六章~二十九章考试时间：120分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时120分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P(2，5)，则下列各点在这个函数图象上的是（）A．(﹣5，﹣2) B．(5，﹣2) C．(2，﹣5) D．(﹣2，5)【答案】A【解析】根据题意求得反比例函数的解析式，然后对选项逐个判断即可．【详解】解：反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P(2，5)，则，解得即反比例函数。A、(﹣5，﹣2)满足，在函数图像上，符合题意；B、(5，﹣2)不满足，在函数图像上，不符合题意；C、(2，﹣5)不满足，在函数图像上，不符合题意；D、(﹣2，5)不满足，在函数图像上，不符合题意；故选A【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质求得反比例函数解析式．2．已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC．【详解】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠ADE=α，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵cosα=，∴，∴AC=×4=，由勾股定理得，BC==，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．3．如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直轴于点，若，则反比例函数当时，的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根据求得反比例函数的解析式，然后令x=4，求出y即可．【详解】解：设A的坐标为（a，b）∵∴，|ab|=10∵点A在第二象限∴ｋ=ab=10，则反比例函数∴当x=4时，=．故选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，求得反比例函数的解析式成为解答本题的关键．4．对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象分布在第二、四象限 B．y随x的增大而增大C．函数图象关于y轴对称 D．图象经过【答案】D【解析】根据反比例函数的性质结合其图像逐一进行判断即可．【详解】解：A、反比例函数，，∴经过一、三象限，故此选项错误，不符合题意；B、反比例函数，随x的增大而减小，故此选项错误，不符合题意；C、反比例函数关于原点中心对称，故此选项错误，不符合题意；D、当时，则，∴图象经过，故此选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．5．如图，由5个相同正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】俯视图是从上面看到的图形，共分三行，从上到下小正方形的个数是：1（在上面），2，1（在下面）．【详解】解：这个几何体的俯视图为：故选：B．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向，从上面看所得到的图形．6．如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】根据相似三角形的判定与性质推出y与x的函数关系式，然后利用函数的性质以及图象确定出△ABC的边长，从而求解面积即可．【详解】解：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴，设AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y，∴，即．∵，，对称轴为直线，∴当时，y取得最大值，此时，由图象可知，∴a＝6，∴等边三角形ABC的面积为．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，熟练根据相似三角形的判定与性质推出二次函数解析式，利用二次函数的性质分析是解题关键．7．如图，已知是线段上任意一点（端点除外），分别以为边，并且在的同一侧作等边和等边，连结交于，连结交于，给出以下三个结论：①②③，其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．【详解】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°∠MCA∠NCB=180°60°60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及平行线的判定等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．在正方形中，，，，则点、之间的距离是（）A． B． C．5 D．6【答案】A【解析】由正方形的性质得出，，由证明，得出，证出，由证明，得出，，同理：，，得出，证出四边形是正方形，即可得出结果．【详解】解：如图所示：四边形是正方形，，，，在和中，，，，，，，同理：，，即，同理：，在和中，，，，，同理：，，，，四边形是正方形，；故选：A．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等．9．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，为原图长方形及它的三视图，对比可知：,CE=4，∵俯视图为正方形，即四边形ACBD为正方形，∴，∴正方形ACBD面积为：3×3=9，侧面积为：4AC×CE=4×3×4=48，∴这个长方体的表面积为：48+9+9=66．故选：A．【点睛】此题主要考查已知三视图求原立体图的表面积，求出长方体各部分的边长是解决问题的关键；重点是要弄清给出的三视图中的线段长，实为原图中哪部分的长，所以画出原图做对比很有必要；易错点是误认为是正方形的边长，错选C答案.10．甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去某博物馆参加科普活动，如图，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是甲到出发地的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地．根据图中提供的信息，下面有四个结论：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达目的地；③甲停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．其中正确的是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】A【解析】由图象可得：10分钟到20分钟之间，路程没有变化，可判断①，由甲35分钟时到达目的地，乙40分钟到达，可判断②，分别求解前后两段时间内甲的速度可判断③，由前后两段时间内甲的速度都比乙快，可判断④，从而可得答案.【详解】解：①由图象可得：甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10（分钟），故①符合题意；②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，故②符合题意；③甲前面10分钟的速度为：每分钟米，甲在停留10分钟之后的速度为：每分钟米，所以减慢了行走速度，故③不符合题意；④由图象可得：两段路程甲的速度都比乙快，所以甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，故④符合题意；所以正确的是①②④．故选：A．【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解题意，弄懂图象上点的坐标含义是解本题的关键.二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11．若函数，当时，函数值y随自变量x的增大而减少，则m的取值范围是________．【答案】m＞2．【详解】解：∵函数，当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小，∴m2＞0，解得m＞2．考点：反比例函数的性质．12．已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而______．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【分析】把点（−6，2）代入函数解析式求得k的值，结合k的符号判定该函数图象的增减性．【详解】解：把点代入，得到：，解得，则函数值随自变量的值的增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握凡是函数经过的点，必能使函数解析式左右相等．13．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了________米．【答案】【解析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．【详解】解：∵AB∥EF，∴△DAB∽△DEF，∴AD：DE=AB：EF，∴0.6：1.6=0.3：EF，∴EF=0.8米．∴捣头点E上升了0.8米．故答案为0.8【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度．14．如图，点在反比例函数的图象上，，都与轴垂直，分别交轴于点，．已知点的坐标，，，则该反比例函数表达式是______．【答案】【解析】根据题意求得D的坐标为（，m−），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝1•m＝（m−），即可求得k＝4．【详解】解：∵点A的坐标（1，m），∴OB＝m，∵BC＝，CD＝，∴OC＝m−，∴D（，m−），∵点A，D在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝1•m＝（m−），解得m＝4，∴k＝m＝4，∴y＝，故答案为：y＝．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，表示出D的坐标是解题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，BE交CD的延长线于点G，则的值为________________．【答案】【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是__．【答案】【解析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明再利用勾股定理及等面积法求解从而可得答案．【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四边形DBEC是平行四边形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵，．∴．在Rt△BEF中，∵，∴sin∠AOC＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解题的关键．17．如图1，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体，右侧方格中分别画出了几何体的视图．按所画的视图，最多还能在图1中添加__________个小正方体．【答案】5【解析】根据几何体的三视图进行判断即可．【详解】解：根据几何体的三视图可得第一层最多可以添加4个小正方体第二层最多可以添加1个小正方体第三层最多可以添加0个小正方体故最多还能在图1中添加5个小正方体故答案为：5．【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．18．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S=__________【答案】2【解析】由于A、B在反比例函数图象上且关于原点对称，根据反比例函数y＝中k的几何意义，S△ACD=S△BCD，则四边形ABCD的面积S即可求出．【详解】解：∵A，B是函数y=（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，∴若假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（x，y）．∴CD=2x，AC=BD=y，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△BCD=2xy=2k．故四边形ABCD的面积S是2k．所以S＝2＝2．故选：D．【点睛】考查了反比例函数中比例系数k的几何意义和函数图象的对称性，解题关键得出S＝2k．三、解答题：本题共7个小题，1923每题8分，2425每题13分，共66分。19．计算：（1）2cos30°＋4sin30°－tan60°；（2）．【答案】（1）2；（2）8.【解析】（1）由题意将特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）由题意去绝对值和进行负指数幂运算并将特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【详解】解：（1）2cos30°＋4sin30°－tan60°（2）【点睛】本题考查含特殊角的三角函数值的实数运算，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及负指数幂运算法则．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC（1）求证：直线PQ是⊙O的切线（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若BC＝OB，请判断四边形OBCE的形状并说明理由【答案】（1）见解析；（2）四边形是菱形，证明见解析【解析】（1）连接，则，根据，即可证明，即直线是的切线；（2）证明，，是等边三角形，则可证明四边形是平行四边形，且，即可证明四边形是菱形．【详解】解（1）连接，根据题意，∴，∵为直径，∴∵∴，直线是的切线（2）四边形是菱形∵，是等边三角形∵，∵为的切线，∴且，∴是等边三角形，，∴是等边三角形∴，∴四边形是平行四边形，且，∴四边形是菱形【点睛】本题考查了切线的性质与判定，菱形的判定定理，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质与判定是解题的关键．21．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．（1）求a和k的值；（2）求点B的坐标；（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．【答案】（1）a＝，k＝8；（2）B（﹣4，﹣2）；（3）C（0，﹣6）或（0，10）【解析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值；（2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标；（3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可．【详解】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），∴4a＝2，∴a＝，∵双曲线（k＞0）过点A，∴k＝2×4＝8．∴a＝，k＝8．（2）令x＝，解得x＝±4，∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，∴B（﹣4，﹣2）．（3）设点C（0，y），由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝，∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，∴AB＝AC，即4＝，解得y＝﹣6，或y＝10．∴C（0，﹣6）或（0，10）．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．22．小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】旗杆的高度为10.5m．【解析】根据题意画出几何图形，如图，则CD=BE=3m，BC=DE=6m，利用在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米可计算出AE，然后计算AE+BE即可．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，∴CD=BE=3m，BC=DE=6m，∵，∴，∴AB=AE+BE=7.5+3=10.5（m）．答：旗杆的高度为10.5m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．23．如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母表示）（2）在图中画出路灯灯杆（用线段表示）；（3）若左边树的高度是4米，影长是3米，树根离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）灯杆的高度是米【解析】（1）直接利用中心投影的性质得出O点位置；（2）利用O点位置得出OC的位置；（3）直接利用相似三角形的性质得出灯杆的高度．【详解】解：（1）如图所示：O即为所求；（2）如图所示：CO即为所求；（3）由题意可得：△EAB∽△EOC，则，∵EB=3m，BC=1m，AB=4m，∴，解得：CO=，答：灯杆的高度是

米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出O点位置是解题关键．24．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）2【解析】（1）由四边形ABCD为矩形，，可得BE