专题11导数及其应用综合练习

专题11导数及其应用综合练习一、选择题1．函数的导数是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，函数的导数为，故选A。2．已知，为的导函数，则的图像是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，，∴，∴函数为奇函数，即函数的图像关于原点对称，当时，，当时，恒成立，故选A。3、若曲线的一条切线为，、为正实数，则的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】设切点为，则有，∵，∴，，故选C。4．已知函数的导数为，且对恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】设，，∵对恒成立，且，∴，∴在上递增，故选D。5．已知曲线，则曲线在点处的切线方程是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，∴，∴，又，∴，故曲线在点处的切线方程为，即，故选A。6．设曲线()上任意一点处切线斜率为，则函数的部分图像可以为()。A、B、C、D、【答案】D 【解析】∵()上任一点处切线率为，∴，∴，∴该函数为奇函数，且当时，，故选D。7．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】构造函数，则，∴函数在上单调递减，∵，∴，由得，∴，∵函数在上单调递减，∴，故选C。8．已知函数()，，在上的最大值为，当时，恒成立，则的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】，∴在上是增函数，上是减函数，∴当时取极小值也是最小值，，∴在上恒成立，由知，，∴恒成立等价于在时恒成立，令，，恒有，∴在上是增函数，有，∴，故选C。9．已知函数()，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】当时，，，∴在为减函数，，当时，，，则时，，时，，即在上递增，在上递减，，其大致图像如图所示，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则，即，故选A。10．设，若，恒成立，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】将不等式变形为，当时，不等式恒成立；当时，不等式变形为，记，则，而，因此在上单调递增，故，∴，故，∴的取值范围是，故选A。11．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】设，()，，则，，∵，∴，则，又切线：，：，于是，，∴，联立，解得，∴，∵，∴，∴的取值范围是，故选A。12．已知函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】根据题意，作出函数的图像如图所示：∵存在实数、()，满足，∴根据函数图像可得，，∴，即，∴，构造函数，，则，令，解得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，∴当时取极小值也是最小值，∴，∵，，，∴，∴的取值范围为，故选C。二、填空题13．曲线在处的切线方程为。【答案】【解析】由求导可得，故在处切线斜率为，∴切线方程为。14．已知函数()，若直线与曲线相切，则。【答案】【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，令()，则，∴当时，故在上单调递减，当时，故在上单调递增，∴，即有唯一实数根，∴。15．若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围。【答案】【解析】函数的定义域为，令，解得或(舍)，∴要使函数在子区间内存在极值等价于，即，解得。16．设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是。【答案】【解析】令，则∵的定义域为，又，∴函数为奇函数，∵时，，∴函数在上为减函数，又由题可知，，，∴函数在上为减函数，∴，即，∴，，，即填。三、解答题17．（10分）已知函数，讨论的单调区间。【解析】由题意可知的定义域为，，2分①若，则，在上为减函数，4分②若，则得，6分当时，在上为减函数，8分当时，在上为增函数。10分18．（12分）已知函数()。(1)若，求在上的最小值和最大值；(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，，1分由得，解得，∴，3分令，即，解得或，4分极小值∴在上的最小值是，最大值是；5分(2)由题意得：在区间上恒成立，∴，8分又当时，是增函数，其最小值为，∴，11分即实数的取值范围是。12分19．（12分）已知函数，。(1)若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；(2)若，恒成立，求的取值范围。【解析】(1)由题意可知的定义域为，，1分∵在处的切线与轴平行，即在切线斜率为，即，∴；3分(2)，令，则，4分∴在内单调递增，，5分①当，即时，，在内单调递增，要想，只需要，解得，从而，7分②当，即时，由在内单调递增知，存在唯一使得，有，令，解得，令，解得，从而在处取最小值，又，，从而应有，即，解得，由可得，有，11分综上所述，。12分20．（12分）已知函数()。(1)若，函数在区间上的最小值为，求的值；(2)设，若函数有极值，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，，1分若，则恒成立，∴在上单调递增，2分∴函数在区间上的最小值为，则；4分(2)由题意得：()，的定义域为，5分则，而，当且仅当时取等号，分两种情况：6分①当时，对任意，恒成立，此时无极值，7分②当时，令，方程有两根，，，8分∴有两个根，，9分当时，，在区间上单调递减，当或时，在区间和上单调递增，从而在处取极大值，在处取极小值，11分综上，若函数有极值，则实数的取值范围为。12分21．（12分）已知函数，常数。(1)若，过点做曲线的切线，求的方程；(2)若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围。【解析】(1)设切点，则处的切线方程为，1分该直线经过点，则，2分化简得，解得或，3分∴切线方程为和；4分(2)由题意可知只有一个根，设，5分则，∵，∴有两个零点、，6分即有两个根、，，，，7分设，则在和单调递增，在单调递减，8分则为极大值，为极小值，则方程只有一个根等价于：或，9分又当时，10分设，，∴为减函数，又，∴时，时，∴、都大于或小于，又，则，11分则且，∴。12分22．（12分）已知函数。(1)讨论的单调性；(2)求证：当时，对都有。【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，1分当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，2分当时，即时，有两个根为、，，3分∴当和时，，单调递增，4分当时，，单调递减；5分(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，∵对有，不妨设，∵在上单调递增，∴，则原式可以转化为，7分即有，即证，设