专题06数列求和（原卷版）

专题06数列求和【题型归纳目录】题型1：公式法题型2：错位相减法题型3：分组求和法题型4：裂项相消法题型5：倒序相加法题型6：并项求和题型7：数列奇偶项求和【考点预测】一．公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．三．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则【典例例题】题型1：公式法例1．已知等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．例2．（2022·陕西·石泉县江南高级中学高二期中（文））在数列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn．例3．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高二期中）在等比数列中，，．(1)求；(2)设，求数列的前项和．变式1．（2022·上海·高二专题练习）已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.(1)求公差的值；(2)求.题型2：错位相减法例4．（2022·陕西·兴平市南郊高级中学高二阶段练习（文））已知数列满足．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为．例5．（2022·福建·高二期中）已知数列中，前n项的和为，且(1)求数列的通项公式；(2)如果恒成立，求最小值.例6．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）设是等比数列，公比不为，已知，且、、成等差数列．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求；(3)设，为数列的前项和，求不超过的最大整数．变式2．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，，．等比数列的各项均不相等，且，．(1)求数列与的通项公式；(2)设，求数列的前项和．变式3．（2022·浙江大学附属中学高二期末）对任意非零数列，定义数列，其中的通项公式为.(1)若，求；(2)若数列，满足且，的前项和为.求证：.题型3：分组求和法例7．（2022·陕西·西安市长安区第七中学高二阶段练习）已知数列满足，求该数列的前项和例8．（2022·广西·钟山中学高二阶段练习）已知数列为等比数列，，，，.(1)求数列､的通项公式；(2)求数列的前项和.例9．（2022·全国·高二专题练习）在等差数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．变式4．（2022·陕西·汉滨区五里高级中学高二期中）等差数列的前项和为，，．(1)求；(2)设，求数列的前项和．变式5．（2022·福建·莆田第二十五中学高二阶段练习）己知等差数列的前n项和为，满足，___________.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.变式6．（2022·广东广州·高二期末）已知数列满足：．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前18项和．题型4：裂项相消法例10．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知数列中，，当时，，记．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：．例11．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知等差数列是公差等于的数列，等比数列满足：，，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．例12．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，记数列的前项和为，求．变式7．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记为数列的前项和，为数列的前项和，已知，是与的等比中项.(1)求的通项公式；(2)若，求使得的最大正整数.变式8．（2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二开学考试）已知数列满足，（）.(1)求，的值，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.变式9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知数列是递增的等差数列，，若成等比(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求.题型5：倒序相加法例13．（2022·天津英华国际学校高二阶段练习）设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.例14．（2022·全国·高二专题练习），且，则数列的通项公式为________．例15．（2022·全国·高二课时练习）设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.变式10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．变式11．（2022·全国·高二课时练习）设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．题型6：并项求和例16．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，前16项和为540，则__．例17．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））已知等差数列{an}的首项为1，公差d>0，前n项和为Sn，数列也为等差数列..(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.变式12．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2020项的和为（

）A．0 B．1010 C．2020 D．2024变式13．（2022·河北唐山·一模）已知数列满足，，记数列的前n项和为.（1）求的值；（2）求的最大值.变式14．（2022·江苏·滨海县东元高级中学高二阶段练习）已知数列的前项和，数列满足，，记数列的前n项和为.(1)求；(2)求的最大值.题型7：数列奇偶项求和例19．（2022·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前n项和为，且满足．(1)求；(2)设求数列的前n项和．例20．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前2n项和．例21．（2022·浙江·高二期末）设数列的前项和为，且满足，是公比等比数列，且，是的等差中项．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ