第十章概率章末题型归纳总结

第十章概率章末题型归纳总结章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：互斥事件、对立事件与相互独立事件经典题型二：古典概型经典题型三：相互独立事件概率的计算经典题型四：概率综合问题模块三：数学思想与方法分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程的思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：互斥事件、对立事件与相互独立事件例1．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第1次摸得白球”，表示事件“第2次摸得白球”，则与是A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件【答案】【解析】互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断和不互斥，则也不对立．由题意可知：（A），（B）．故事件发生对事件的概率有影响，故和不是相互独立事件．故选：．例2．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现奇数点”，为“第二次出现偶数点”，则有A．与相互独立 B．（A）（B） C．与互斥 D．【答案】【解析】对于，由题意可知，事件的发生与否对事件没有影响，所以与相互独立，故选项正确；对于，，由于事件与事件可以同时发生，所以事件与不互斥，则选项，错误；对于，由于事件与相互独立，所以（A）（B），故选项错误．故选：．例3．设、为两个随机事件，给出以下命题：（1）若、为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则、为相互独立事件；（3）若，，，则、为相互独立事件；（4）若，，，则、为相互独立事件；（5）若，，，则、为相互独立事件；其中正确命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】在（1）中，若、为互斥事件，且，，则，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知、为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知、为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当、为相互独立事件时，，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知、为相互独立事件，故（5）正确．故选：．例4．抛掷3枚质地均匀的硬币，既有正面向上又有反面向上，至多有一个反面向上，则与关系是A．互斥事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件【答案】【解析】由于中的事件发生与否对于中的事件是否发生不产生影响，故与是相互独立的，故选：．例5．一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则与是A．互斥事件 B．不相互独立事件 C．对立事件 D．相互独立事件【答案】【解析】由互斥事件与对立事件定义可知互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生．对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生，相互独立事件：事件（或是否发生对事件（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．所以一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则与是不相互独立事件．故选：．例6．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用表示第一次摸得白球，表示第二次摸得白球，则事件与是A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件【答案】【解析】由题意可得表示第二次摸到的不是白球，即表示第二次摸到的是黄球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球互不影响，故事件与是相互独立事件．故选：．例7．设，，是随机事件，则以下说法一定正确的是A．若，相互独立，则，互斥 B．若，互斥，则，相互独立 C．若，既互斥又相互独立，则必有（A）或（B） D．，，两两互斥，则，，相互独立【答案】【解析】一般情况下，若不考虑不可能事件和必然事件，当事件，若满足（A）（B），则两事件相互独立，，是可以同时发生的，而互斥事件是指在同一个试验中不能同时发生的两个事件，故、、错误；若，相互独立且互斥，则（A）（B），则（A），或（B），故正确；故选：．例8．设事件，的概率分别为，，与互斥，求的值A． B． C． D．【答案】【解析】根据题意，（B），因为与互斥，则，故，则（B），故选：．经典题型二：古典概型例9．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】由题意，所求概率即为摸出的两个球中有白球的概率，设3个红球分别记为，，，2个白球分别记为，，则所有可能的结果为，，，，，，，，，，共10种，符合条件的结果为，，，，，，，共7种，所以所求概率为．故选：．例10．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】从4张卡片上分别写有1，2，3，4中随机抽取2张的基本事件有12，13，14，23，24，34共6种情况，其中数字之积为偶数的有12，14，23，24，34共5种情况，故概率．故选：．例11．甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】设事件为“他们的座位正好相邻”，甲乙二人买到同一排，，，，个座位中的两个形成的样本空间为，则，，，，，，，，，，共包含10个样本点，其中事件，，，包含3个样本点，则有，所以他们的座位正好相邻的概率为．故选：．例12．已知袋中装有5个大小形状相同的小球，其中黑球2个、红球3个，现从中不放回地抽取2次，每次取出1个球，则第二次取出的球是红球的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】由题可知第二次取出的球是红球有两种情况，一种是第一次抽到黑球，第二次抽到红球，概率为，一种是第一次抽到红球，第二次抽到红球，概率为，第二次取出的球是红球的概率．故选：．例13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这4种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中梨花与苹果花的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】设樱花、桃花为1，2，梨花与苹果花为和，从中选3种花去旅游观赏的基本事件为：，，，，共4种，其中含有梨花与苹果花的事件有：，，共2个，所以恰巧选中梨花与苹果花的概率为，故答案为：．例14．袋中有大小、质地均相同的黑球和白球共个，设“任取1个球，这个球是白球”为事件，则．现再向袋中放入4个白球和3个黑球，则，则的值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【解析】设原来袋中白球有个，根据“任取1个球，这个球是白球”为事件，则．得，又再向袋中放入4个白球和3个黑球，则，得，则，，故选：．例15．从3名男生和2名女生中随机选取2人参加书法展览会，则选取的2人全是男生的概率为A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：记3名男生分别为，，，2名女生分别为，，从5人中随机选取2人，样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设事件“2名全是男生”，则，，，，，，（A），故所求概率为：．方法二：5人中选2人有种方法，2人全是男生，则从3个男生中选2人，有种方法，故所求概率为：．故选：．例16．刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把1，2，，排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是A． B． C． D．【答案】【解析】所有和为15的3个数的情况为：1、5、9，1、6、8，2、4、9，2、5、8，2、6、7，3、4、8，3、5、7，4、5、6共有8种，其中含有4或6的情况共有5种，所以含有4或6的概率是．故选：．经典题型三：相互独立事件概率的计算例17．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，，，，，，同理，，派甲参赛获胜的概率更大．（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，，，于是“两人中至少有一人赢得比赛”，．例18．第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分，即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．【解析】（1）设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以；（2）设“该局比赛甲得（11分）获胜”为事件，甲得（11分）获胜有两类情况：甲连得（3分），则甲获胜；甲得（3分），乙得（1分），则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以．例19．今有甲、乙两支篮球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场，则整个比赛宣告结束，假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是，各场比赛没有平局且相互独立．（1）求恰好打满4场整个比赛就结束的概率；（2）求甲队连胜4场整个比赛就结束的概率．【解析】设表示事件：甲队在第，2，3，4，5，6，场比赛中获胜，则，（1）设表示事件：恰好打满4场整个比赛就结束，则（A），（2）设事件表示：甲队连胜4场比赛就结束，则（B）．例20．甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．（1）求3人同时被选中的概率；（2）求3人中至少有1人被选中的概率．【解析】（1）甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．则3人同时被选中的概率为：．（2）3人中至少有1人被选中的概率为：．例21．某高校的特殊类型招生面试中有4道题目，获得面试资格的甲同学对一四题回答正确的概率依次是，，，．规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得1，2，3，6分，答错1题减2分，当累计积分小于分面试失败，不少于4分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学回答完前3题即通过面试的概率；（2）求甲同学最终通过面试的概率．【解析】（1）用，2，3，表示第个问题回答正确，记“甲同学回答完前3题即通过面试”为事件，则，则甲同学回答完前3题即通过面试的概率为：；（2）设“甲同学最终通过面试”为事件，则，甲同学最终通过面试的概率为：．例22．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有，，，四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题，，，分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分．②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局．③每位参加者按问题，，，顺序作答，直至答题结束．假设甲考生对问题，，，回答正确的概率依次为、、、、且各题回答正确与否相互之间没有影响（1）求甲考生本轮答题结束时恰答了3道题的概率；（2）求甲考生能进入下一轮的概率．【解析】解．（1）设，，，分别为第一、二、三、四个问题，用，2，3，分别表示甲考生在第个问题回答正确的概率，则，记“本轮答题结束时甲恰答了3道题”为事件，则甲考生本轮答题结束时恰答了3道题的概率为：；（2）记“甲考生能进入下一轮”为事件，则甲考生能进入下一轮的概率为：．例23．一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》的情况，他随机问了5名同学表示已读），得到了以下表格：《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》同学同学同学同学同学（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件所包含的所有结果，并计算出事件的概率；（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．【解析】（1）设五位同学分别为，，，，，样本空间，，，，，，，，，，事件为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，则事件，，，事件的概率（A）．（2）该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，则一位同学恰好读过其中三本书的概率为：．例24．甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一．场比赛甲当裁判．（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；（3）求甲最终获胜的概率．【解析】记事件为甲胜乙，则，，事件为甲胜丙，则，，事件为乙胜丙，则，，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为．（2）只需四场比赛就决出冠军的概率为．（3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件，甲当裁判为事件，．例25．甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．（1）若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为，求甲获得本场比赛胜利的概率；（2）若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为，，，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【解析】（1）设甲在第局获胜为事件，事件为“甲获得本场比赛胜利”，则，又，；（2）若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率．，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．经典题型四：概率综合问题例26．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．【解析】（Ⅰ）甲校两名男教师分别用，表示，女教师用表示；乙校男教师用表示，两名女教师分别用、表示．从甲校和乙校的教师中各任选1名的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：，，，，，，，，共4种，所以选出的两名教师性别相同的概率为．（Ⅱ）从甲校和乙校的教师中任先2名的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：，，，，，，，，，，，，共6种．所以，选出两名教师来自同一学校的概率为．例27．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．【解析】（1）由频率分布直方图，得：，解得．（2）数学成绩不低于60分的概率为：，数学成绩不低于60分的人数为：（人．（3）数学成绩在，的学生为（人，数学成绩在，的学生人数为（人，设数学成绩在，的学生为，，数学成绩在，的学生为，，，，从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：，，，，，，，，共8种，这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率为．例28．某市地铁全线共有四个车站，甲乙两人同时在地铁第一号车站（首发站）乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对表示“甲在号车站下车，乙在号车站下车”．（1）用有序实数对把甲乙两人下车的所有可能的结果列举出来；（2）求甲乙两人同在第3号车站下车的概率；（3）求甲乙两人在不同的车站下车的概率．【解析】（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：，，，，，，，，（2）设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为，则（3）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为，则．例29．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品．（要求罗列出所有的基本事件）（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．【解析】（1）将六件产品编号，四件正品设为、、、，两件次品设为、，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：，共有15种，设恰好有一件次品为事件，事件中基本事件数为：共有8种，则恰好有一件次品的概率（A）．（4分）（2）设都是正品为事件，事件中基本事件数为：，共6种则都是正品的概率（B）．（8分）（3）设抽到次品为事件，事件与事件是对立事件，则抽到次品的概率（C）（B）．（12分）例30．某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市运至销售城市，已知从城市到城市有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路Ⅱ堵车的概率为，不堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．（1）求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；（2）求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．【解析】（1）记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件，“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件．甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为．（2）甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为．例31．设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以表示显性基因，表示隐性基因，则具有基因的人为纯显性，具有基因的人是纯隐性，具有基因的人为混合性．纯显性与混合性的人都露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性．问：（1）1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少？（2）2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少？【解析】因为父母都是混合性．即型的，易得到孩子的一对基因为，，的概率分别为，，，（1）孩子有显性决定的特征是具有，，所以：1个孩子有显性决定的特征的概率为．（2）因为2个孩子如果都不具有显性决定的特征．即2个孩子都具有基因的纯隐性特征，其概率为．所以2个孩子中至少有一个显性决定特征的概率为．

模块三：数学思想与方法分类与整合思想例32．（2023·全国·模拟预测）某口罩生产厂生产了一批N95型口罩，已知每只口罩检验合格的概率为0.8，对不合格的口罩进行一次技术精加工，加工后每只口罩检验合格的概率为0.3，不合格的作为废品处理.现从这批N95型口罩中任选一只，则得到合格口罩的概率为（

）A．0.78 B．0.86 C．0.88 D．0.90【答案】B【解析】由题意可知，任选一只为合格口罩分第一次检验合格和经过精加工后检验合格两种情况，所以得到合格口罩的概率为.故选：B.例33．（2023·云南德宏·高三统考期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得个的概率是_______．【答案】【解析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为，以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，所以，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个的概率：．故答案为：．例34．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，则最后甲队获胜的概率是________．【答案】【解析】当经过局甲队获胜，则概率为，当经过局甲队获胜，则概率为，当经过局甲队获胜，则概率为，所以最后甲队获胜的概率是.故答案为：.例35．（2023·全国·高三专题练习）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.【答案】/0.04608【解析】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：或或，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为故答案为：0.04608例36．（2023·高一单元测试）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；(2)求甲获得冠军的概率；(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.【解析】（1）根据题意，乙获连负两场，所以1、4均负，所以乙获连负两场的概率为.（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，所以甲获得冠军的概率为.（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：，若乙的决赛对手是丁，则其概率与乙的决赛对手是丙相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.例37．（2023·山东威海·高二校考阶段练习）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？【解析】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有共种，设小明只能答对4个问题的编号为：，则小明在第一轮得40分，有共种，则小明在第一轮得40分的概率为：；（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，则小明在第一轮得0分的概率为：，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳晋级复赛的概率分别为：；小芳晋级复赛的概率为：；小明晋级复赛的概率为：；，小明更容易晋级复赛.例38．（2023·全国·高二期中）甲､乙､丙､丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i“，负者称为“负者i“，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.(1)求甲获得冠军的概率；(2)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.【解析】（1）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.所以甲获得冠军的概率为：（2）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜．所以甲与乙在决赛相遇的概率为：若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜．同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为，丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对于是第二次相遇的概率为例39．（2023·陕西延安·高二校考期末）在某次1500米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为，，，求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)至少有1人通过体能测试的概率.【解析】（1）设事件表示“甲通过体能测试”，事件表示“乙通过体能测试”，事件表示“丙通过体能测试”，则由题意知：，，.设表示事件“甲，乙，丙3人都通过体能测试”，即，由事件，，相互独立，可得.所以3人都通过体能测试的概率为.（2）设表示事件“甲，乙，丙3人中只有2人通过体能测试”，则，由于事件，，，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，因此所求概率为.所以只有2人通过体能测试的概率为.（3）设表示事件“甲，乙，丙3人中至少1人通过体能测试”，.等价转换思想例40．（2023·高一单元测试）社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，此项任务不能完成的概率为，此项任务被甲乙两人完成的概率为.故选:D.例41．（多选题）（2023·高一课时练习）(多选)给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（

）A．若任取，则是必然事件B．若任取，则是不可能事件C．若任取，则是随机事件D．若任取，则是必然事件【答案】ACD【解析】对于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正确；对于B，若，则是有可能的，所以是可能事件，故B错误；对于C，任取，则x不一定是A中的元素，所以是随机事件，故C正确；对于D，若，则x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正确；故选：ACD例42．（2023·江苏泰州·高二统考期中）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1正常工作且元件2或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：）均服从正态分布，且各个部件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过的概率为______．【答案】【解析】因为三个电子元件的使用寿命（单位：）均服从正态分布.所以三个电子元件的使用寿命超过3000小时的概率均为.设“超过3000小时时，元件2和元件3至少有一个正常”为事件，“超过3000小时时，元件1正常”为事件，“该部件的使用寿命超过”为事件.所以，.因为事件和事件相互独立，所以.故答案为:例43．（2023·高一课时练习）甲、乙两人进行围棋比赛，采用局制．已知每局比赛甲胜的概率为，且第一局比赛甲胜，则最终甲获胜的概率是_____．【答案】【解析】“最终甲获胜”的对立事件为“最终乙获胜”，所以“最终甲获胜”的概率.故答案为：.例44．（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）在同一时间内，甲､乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：(1)甲､乙两个气象台同时预报天气准确的概率.(2)至少有一个气象台预报准确的概率.【解析】（1）记事件A=“甲气象台预报天气准确”，B=“乙气象台预报天气准确”.显然事件A，B相互独立且..（2）至少有一个气象台预报准确的概率为例45．（2023·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，，，，，同理因为，所以，派甲参赛获胜的概率更大.（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，，；于是“两人中至少有一人赢得比赛”..例46．（2023·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期中）已知甲、乙两人下象棋，其中和棋的概率为，乙获胜的概率为.（1）求甲获胜的概率；（2）求甲不输的概率.【解析】（1）设“甲获胜”为事件，“甲乙和棋”为事件，“乙获胜”为事件.由题意可知，事件与事件互为对立事件，且事件与事件互为互斥事件，故.（2）设“甲不输”