专题06期中复习解答题专练-2021-2022学年高一数学上学期专题训练期中期末全真模拟卷(人教A版2019)

专题06期中复习解答题专练知识与技巧典型题一：集合新定义型通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景通过阅读理解、信息迁移来灵活解题1.已知集合为非空数集，定义：，（1）若集合，直接写出集合，.（2）若集合，，且，求证：（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．【详解】（1）根据题意，由，则，；（2）由于集合，，且，所以中也只包含四个元素，即，剩下的，所以；（3）设满足题意，其中，则，，，，，，中最小的元素为0，最大的元素为，，，，实际上当时满足题意，证明如下：设，，则，，依题意有，即，故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.2.已知集合，，集合，且集合满足，.（1）求实数的值；（2）对集合，其中，定义由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质.①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；②试判断和的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）（2）①不具有性质，具有性质；，②，证明见解析【分析】（1）先求得集合所包含的元素，根据，，求得的值.（2）根据（1）求得，由此求得.①根据性质的定义，判断出不具有性质，具有性质.根据集合的定义求得.②根据①所求，求得，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合，开口向下，对称轴为，当时，故对于集合，由，解得，所以.根据题意，，所以，解得或，经检验，不符合，故舍去，满足题意，即.（2）由（1）得，，，，.①中，故不具有性质；中任意元素，故具有性质；根据集合的定义，求得，；②由①知，，故.知识与技巧典型题二：集合含参运算集合的交集、补集运算，根据集合的关系求参数的范围考查含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化1.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先解分式不等式得集合B,再根据交集定义得结果，（2）先根据条件得，按是否为空集分类讨论，再结合数轴得不等式，解得结果.【详解】（1），（2）由可得若，则，即若，则，即，综上所述，2.已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】（1），或；（2）；（3）【分析】（1）m＝2时，化简集合A，B，即可得集合∁RA和集合B；（2）集合B∩Z为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而0∈B，所以抛物线y＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1的开口向上，且与x轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m＝0；（3）因为A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A∩B）∩Z中由n个元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁RA＝{x|﹣1＜x＜2}；集合或；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，A∩B中至少有3或﹣2中的一个，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有或，解得﹣1＜m＜﹣或＜m＜1∴知识与技巧典型题三：充分与必要条件计算参数利用复合命题的真假求参数利用充分不必要条件求参数化归与转化思想的应用1.设实数满足，其中.实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）非是非的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将代入中的不等式，并解出该不等式，同时也解出中的不等式组，由为真，可知、均为真命题，将、中的不等式（组）的解集取交集可得出实数的取值范围；（2）求出非与非中的取值范围，结合已知条件转化为两集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，解不等式，解得，即.解不等式，解得，解不等式，解得或，.，若为真，则、均为真命题，此时，实数的取值范围是；（2）当时，解不等式，解得，即，则非或，非或.因为非是非的充分不必要条件，则或或，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.2.已知全集为R，集合，．（1）若，求实数a的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件充分必要性．①；②；③．【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】先求集合A，B，，再由得到a的不等式，解得即可；

结合利用充分必要条件的定义逐一判定．【详解】解：集合，所以，集合，若，只需，所以．由可知的充要条件是，选择，则结论是既不充分也不必要条件；选择，则结论是必要不充分条件；选择，则结论是充分不必要条件．知识与技巧典型题四：抽象函数判断奇偶性时，运用赋值法，注意结合奇函数的定义，分别赋值和。判断单调性时，需结合函数值的分布区间，经常类似变形1.已知定义域为R的函数和，它们分别满足条件：对，都有和，且对.（1）求的值；（2）证明函数是奇函数；（3）证明时，，且函数在R上是增函数；（4）试各举出一个符合函数和的具体函数.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.(只要是正比例函数和指数函数均可).【分析】（1）通过赋值，令，求和的值；（2）通过赋值，令，结合奇函数的定义，即可证明；（3）首先判断时，，，方法一，利用函数单调性的定义，证明当时，；方法二，证明，【详解】解：（1）令，则或，若，则，与条件矛盾.故(也可令，则不需要检验)（2）的定义域为R，关于数0对称，令，则.故为奇函数.（3）当时，，又故证法一：设为R上任意两个实数，且，则，.故为R上的增函数.证法二：设为R上任意两个实数，且，∴为R上的增函数.（4）.(只要是正比例函数和的指数函数均可)2.已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有.（1）求的值；（2）求证：在上为增函数；（3）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用赋值法，m＝n＝0求f（0）；（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，令m＝x2﹣x1，n＝x1，通过函数的单调性的定义直接证明f（x）在R上为增函数；（3）由原不等式可化为f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化为f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后构造函数g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数a的取值范围．【详解】（1）由，故此令，则，则；（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，则令m＝x2﹣x1，n＝x1，则f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），故此，函数为上增函数；（3）由已知条件得：，故此，∵，∴，∴，由（2）可知f（x）在R上为增函数，∴，即，令，即成立即可.①当时，即，在单调递增，∴，∴∴②当时，即，在先递减后递增，∴，∴，解得，∴.综上，∴.知识与技巧典型题五：倍增函数1.已知二次函数且），，且对任意的，均成立，且方程有唯一实数解.（1）求的解析式；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在区间，使得在区间上的值域恰好为？若存在，请求出区间，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，所求区间为：.【分析】（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数的取值范围；（3）对于存在性问题，可先假设存在区间，再利用二次函数的单调性，求出m、n的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在.【详解】（1）对于，由得到：①；∵对任意的，均成立，取x=3，得：即②又方程有唯一实数解，得：③①②③联立，解得：（其中舍去）所以.（2）不等式不等式可化为：不等式∴当时，不等式恒成立，∴记，只需对于在上单调递增，∴∴，即的取值范围为.（3）假设存在区间符合题意。由可得：的对称轴为，且故有：，所以，∴在区间上单调递增，则有：，即解得故所求区间为：.2.知函数.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）当时，函数的值域为，求实数t的取值范围.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）根据奇偶性定义证明；（2）不等式用分离参数法变形后转化为求二次函数的最值可得参数范围；（3）利用单调性求出的值域，从而得的值域，比较可得关于的方程有两个不等的正实根，由二次方程根的分布可得参数范围．【详解】（1）是偶函数．证明如下：函数定义域是，，所以是偶函数；（2）不等式为，即，此不等式在上恒成立，由于，对称轴为，因此时，，所以，所以，即取值范围是；（3），时，是增函数，所以时，，而，所以，的值域是，由题意，所以有两个不等的正实根，方程整理为：，，解得．所以的取值范围是．知识与技巧典型题六：恒成立求参1.已知函数，，（1）当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写结果）；（2）当时，函数在区间上的最大值为，试求实数m的取值范围；（3）若不等式对任意，恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）.【分析】（1）将题中所给的的值代入解析式，利用对勾函数的性质写出函数的单调增区间和减区间即可；（2）解不等式即可得结果；（3）将题中所给的式子进行变形，将问题转化为在上单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数图象的对称轴，分类讨论得到结果.【详解】（1）当时，，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为和；（2）因为，且函数在上单调递减，在上单调递增，又因为在上的最大值为，所以，即，整理得，所以，所以，即，所以的取值范围是；（3）由对任意恒成立，即，令，等价于在上单调递增，而，分以下三种情况来讨论：（i）当时，即时，结合函数图象可得，解得，矛盾，无解；（ii）时，即时，函数图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1，要想使函数在上单调递增，只能，解得，矛盾，无解；（iii），即，此时，函数在上单调递增，要想使函数在上单调递增，所以需要，解得，所以，综上，满足条件的的取值范围是.2.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.【分析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，然后利用得出与，代入上式求解；（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．即，整理得，于是，解得．所以的对称中心为；（2）函数在上为增函数；（3）由已知，值域为值域的子集．由（2）知在上单增，所以的值域为．于是原问题转化为在上的值域．①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．因为，所以，解得．②当，即时，在单减，单增，又过对称中心，所以在单增，单减；此时．欲使，只需且解不等式得，又，此时．③当，即时，在单减，在上亦单减，由对称性，知在上单减，于是．因为，所以,解得．综上，实数的取值范围为．知识与技巧典型题七：分式型压轴1.已知二次函数和函数.（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不相等的实根则：①试判断函数在区间上是否具有单调性，并说明理由；②若方程的两实根为，求使成立的的取值范围.【答案】（1）为奇函数；（2）①是，理由见解析；②.【分析】(1)由是奇函数且为二次函数可知：，，故可得，再利用定义即可判断的奇偶性；(2)①由可整理得到一元二次方程，由题意得，整理得出对称轴方程不在上，故可得出函数在区间上具有单调性；②由的两实根为，且成立，可由根的分布将其转化为不等式，即可解出的范围.【详解】解：（1）因为为偶函数，，，又二次函数的，定义域为，，所以为奇函数；（2）①由得方程有不等实根，及得，即或，即二次函数的对称轴，故在是单调函数；②是方程的根，，，同理；，要使，只需即，，或即，无实数解，故的取值范围为.2.已知是定义在上的奇函数，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）用定义证明在上为增函数；（Ⅲ）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．.【分析】（Ⅰ）可用特殊值求出，，，然后确定函数是奇函数即可；（Ⅱ）用单调性定义证明：设．证明；（Ⅲ）求出在上的最大值后可得的范围．【详解】（Ⅰ）因为奇函数的定义域为，所以．故有，解得．所以．由，即，解得，所以．此时是奇函数．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，任取．则，因为，，所以，故．又因为，所以，故，即，所以函数在上为增函数．（Ⅲ）由（Ⅱ）知在上为增函数，所以函数在上为增函数，故在的最大值为，由题意可得，解得．故的取值范围为．知识与技巧典型题八：均值不等式1.（1）已知，求的最大值.（2）已知x，y为正实数，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【分析】（1）利用基本不等式可求最大值.（2）利用基本不等式可得，从而可求的最大值.【详解】解：（1）若，则，，，当且仅当：，即时，取“”，因此，函数的最大值为.（2），，，，当且仅当时，取最大值4.2.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（1）证明：求证；（2）设，，都是正数，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）通过分析法，平方不等式得到证明.（2）利用均值不等式，化简得到证明.【详解】（1）证明：要证，只需证明，即证明，也就是证明，式子显然成立，故原不等式成立.（2），所以，当且仅当时，等号成立.知识与技巧典型题九：“三个二次”1.已知二次函数g（x）＝ax2+c（a，c∈R），g（1）＝1且不等式g（x）≤x2﹣x+1对一切实数x恒成立．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数h（x）＝2g（x）﹣2，关于x的不等式h（x﹣1）+4h（m）≤h（）﹣4m2h（x），在x∈[，+∞）有解，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）g（x）；（Ⅱ）[，0）∪（0，]【分析】（Ⅰ）先将g（1）＝1代入得a+c＝1，再由g（x）≤x2﹣x+1对一切实数x恒成立转化为（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0对一切实数x恒成立，分类讨论即可求解；（Ⅱ）先将不等式作变形处理，可得4m2≥1.在x∈[，+∞）有解，即等价于4m2≥（1）min，设y＝1，求得的最小值，再解关于的不等式即可；【详解】（Ⅰ）∵二次函数g（x）＝ax2+c（a，c∈R），g（1）＝1；∴a+c＝1①；又∵不等式g（x）≤x2﹣x+1对一切实数x恒成立；∴（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0对一切实数x恒成立；当a﹣1＝0时，x+c﹣1≤0不恒成立，∴a＝1不合题意，舍去；当a﹣1≠0时，要使得（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0对一切实数x恒成立，需要满足：；②，∴由①②解得a，c；故函数g（x）的解析式为：g（x）．（Ⅱ）把g（x）代入函数h（x）＝2g（x）﹣2；得h（x）＝x2﹣1；则关于x的不等式h（x﹣1）+4h（m）≤h（）﹣4m2h（x）在x∈[，+∞）有解，得，4m2≥1.在x∈[，+∞）有解；只要使得4m2≥（1）min；设y＝1，x∈[，+∞），则y＝﹣3（）2，（0，]，∴当时，ymin；所以，4m2，解得0＜m2；∴m＜0或0＜m；故实数m的取值范围为[，0）∪（0，]．2.已知二次函数.（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若对任意，恒成立，求的最大值；（3）若对任意，恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）1；（3）.【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.【详解】解（1）因为的解集（1，2），所有的根为1和2，且.所以，，故，，所以，即，，所以，即不等式的解集为.（2）因为对任意，恒成立，所以，即，又，所以，故，所以，当，时取“=”，所以的最大值为1.（3）令，则，所以，对任意，，恒成立，所以恒成立，所以，所以，此时，，当，，时取“=”，此时成立；故的最大值为.知识与技巧典型题十：函数性质综合1.已知函数.（1）求函数的零点；（2）令,在时，求函数的单调区间：（3）在（2）条件下，存在实数，使得函数有三个零点，求取值范围.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）【分析】（1）根据题意，对进行分类讨论，即可得到函数的零点；（2）根据（1）中的结论与图像，即可得出的单调区间（3）根据所给条件，结合分段函数的图像，将题意所满足条件转化为有解，即可求出的范围。【详解】（1）由题意得，对进行分类讨论，若，当时，；当时，；若，，如图所示，当时，，解得；当时，或；当时，解得当时，解得;当时，解得;若，，如图所示，当时，解得；当时，或；当时，解得当时，解得;当时，解得；（2）由题意得，，即根据（1）中的讨论，可得，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当，在和上单调递增，在上单调递减；（3）根据题意，，结合图像，若要满足题意，则有解，即又，所以是单调递增的，所以综上所述，。2.已知函数，其中（Ⅰ）当时，写出函数的减区间．（Ⅱ）若函数在区间上既有最大值又有最小值，求m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【分析】（Ⅰ）求出函数解析式，作出函数图像，由函数图像即可求出单调递减区间.（Ⅱ）当，作出函数图像，结合函数图像即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，作出函数的大致图像，如图：由图像可得函数的单调递减区间为.（Ⅱ）当时，函数的图像如图所示：要使在区间上既有最大值又有最小值，则最小值一定在处取得，最大值在处取得，又，在区间内，函数值为时，，所以，，而在区间内函数值为时，，所以.专题集训题选1.给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与aA矛盾，同理可知若，，与bB矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，因此，AB不为闭集合.（III）证明：（反证）若AB=R,则因为AR，存在a∈R且aA，故a∈B,同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A,因为a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与aA矛盾,若，则由B为闭集合，，与bB矛盾,综上，存在c∈R，使得c（AB）.2.已知命题：“，使等式成立”是真命题．（Ⅰ）求实数的取值集合；（Ⅱ）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）或.【详解】试题分析：（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数的取值集合可求；（2）是的必要条件，分、、三种情况讨论即可求的取值范围．(1)由题意知，方程在上有解，即的取值范围就为函数在上的值域，易得7分(2)因为是的必要条件，所以8分当时，解集为空集，不满足题意9分当时，，此时集合则，解得12分当时，，此时集合则15分综上16分3.在①，，②存在区间，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数．问题：求解实数，使得命题，，命题______，都是真命题．（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分.）【答案】答案见解析.【分析】选条件①由命题为真，可得不等式在，上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．选条件②由命题为真，可得不等式在，上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．【详解】解：选条件①由命题为真，可得不等式在上恒成立．因为，，所以，若命题为真，则方程有解．所以判别式，所以或．又因为，都为真命题，所以所以或．所以实数的取值范围是或．选条件②由命题为真，可得不等式在上恒成立．因为，．所以．因为集合必有，得或，即或，又因为，都为真命题，所以，解得．所以实数的取值范围是．4.定义在的函数，满足，且当时，.（1）求证：（2）讨论函数的单调性，并说明理由；（3）若，解不等式.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由，结合题意即可得结果；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）将原不等式等价转化为，结合定义域和单调性即可得结果.【详解】解：（1）由题可得，即；（2）任取，，且，则，由（1）得：，即，在上是增函数；（3），，，，，，又在上为增函数，，解得：，故不等式的解集为.5.已知定义在上的函数对任意都有等式成立，且当时，有.（1）求证：函数在上单调递增；（2）若，关于不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）任取，且，先得到，再作差得到，判断其正负，根据单调性的定义，即可求出结果；（2）先由，根据题中条件，得到，将原不等式化为，根据（1）中单调性，得到，令，求出其最大值，即可得出结果.【详解】（1）任取，且，则，所以，又，所以，即.故函数在上单调递增.（2）因为，所以，原不等式等价于，故有解，即有解，因此只需，令，则在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，因此，所以，故的取值范围为.6.若函数同时满足：①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）且.【分析】（1）利用“闭函数”的定义判断函数是否满足①②，由此可得出结论；（2）分析可知函数在有两个零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（3）利用二次函数的基本性质求得，然后分、、三种情况讨论，分析函数的单调性，结合“闭函数”的定义可得出关于、的等式，由此可得出、满足的条件.【详解】（1）函数为上的增函数，若函数为“闭函数”，则存在、，使得函数在上的值域为，则，则关于的方程至少有两个不等的实根，因为，故方程无实根，因此，函数不是“闭函数”；（2）因为函数为上的增函数，若函数为上的“闭函数”，则存在、，使得函数在上的值域为，则，所以，关于的方程在上有两个不等的实根，令，设，则函数在有两个零点，所以，，解得，因此，实数的取值范围是；（3）因为.当时，函数在上单调递增，则；当时，.综上所述，.所以，函数在上为减函数，在上也为减函数.①当时，则，上述两式作差得，因为，故，因为，则，矛盾；②当时，则有，消去可得，解得，不合乎题意；③当时，则，可得.因此，、满足的条件为且.7.已知函数为奇函数，且．（1）求实数的值；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）在上单调递减,证明见解析；(3).【分析】（1）由奇函数可求得，再由求得，最后检验一下是奇函数；（2）由单调性定义证明；（3）由奇函数性质不等式变为，再由单调性去掉符号，然后可解得结论。【详解】（1）由题意，为R上奇函数，则，得，再由，得.经检验，当时是奇函数.(2)由（1）得，在上单调递减,证明如下：任取且，则即在上单调递减.（3）为奇函数，，则原不等式化为，而由（2）得在时单调递减，且，即∴原不等式的解集为.8.设，，且.证明：(1)；(2)与不可能同时成立．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.试题解析：由,,得.(1)由基本不等式及,有,即(2)假设与同时成立,则由及a>0得0<