专题06相似三角形中的基本模型之半角模型（原卷版）

专题06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常见模型及结论】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC＝90°，；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC＝120°，；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④；⑤图中只有4对相似三角形，其中正确结论的序号是．

例2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别为，边上的点．若，，则的长为．

例3．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知中，，，点、在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长．例4．（2023·江苏无锡·九年级期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为．例5．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；（3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示）例6．（2023江苏九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．例7．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在矩形中，，（），点E、F分别是边、上的点，过点F作，交直线于点G．

(1)如图1：若，，，，则________，________；(2)如图2：若，，过点F作，交于点G，过E作，交于点H，求证：；(3)如图3：若，，过点F作，交于点G，，直接写出的值________．课后专项训练1．（2023·广东深圳·九年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）如图，等腰直角三角形，，、是上的两点，且，过、作、分别垂直、，垂足为、，交于点，连接、．其中①四边形是正方形；②；③当时，；④当时，．正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023春·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（

）A．②④ B．①③ C．②③ D．①④4．（2023·广东汕头·校考三模）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论；①②③④；中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在矩形的边取一点E，将沿折叠，使得点A落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点G，交于点H，已知，当时，点G到直线的距离为．6．（2023·上海·模拟预测）如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求证：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．7．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE=∠B．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：．(2)如图2，已知AB=AC=5，BC=8，点E在BC的延长线上，若，求CE的长．8．（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知：在中，，点E、D是底边所在直线上的两点，连接、．若．求证：(1)；(2)．9．（2021·江苏·九年级专题练习）【发现】如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF．因为AB=AD，所以把ΔABE绕A逆时针旋转90°至ΔADG，可使AB与AD重合．因为∠CDA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共线．如果__________（填一个条件），可得ΔAEF≌ΔAGF．经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足__________时，∠EAF=45°．【应用】如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，点E在边BC上，且BE=2．（1）若m=8，点F在边DC上，且∠EAF=45°（如图），求DF的长；（2）若点F在边DC上，且∠EAF=45°，求m的取值范围．10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；（2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．11．（2023春·山东泰安·九年级统考期末）在中，，．(1)如图1，若点D关于直线的对称点为点F，求证：；(2)如图2，在（1）的条件下，若，求证：；(3)如图3，若，点E在的延长线上，则等式仍成立，请说明理由．12．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）【问题发现与证明】如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．

（1）延长到点，使___________，连接；（2）求证：．【问题拓展与应用】（3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金．13．（2023·江西吉安·统考模拟预测）【模型建立】(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．①，，之间的数量关系为________；②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．【类比探究】(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．【模型应用】(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．14．（2023·陕西榆林·九年级统考期末）【问题探究】（1）如图①，在正方形中，为对角线，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，的延长线交的延长线于点M，的延长线交的延长线于点N，求证：．【拓展延伸】（2）如图②，在菱形中，AC为对角线，点E、F分别为边、上的动点（不与端点重合），且，AF的延长线交的延长线于点M，的延长线交的延长线于点N．①求证：；②若，，连接M