专题05解析几何（原卷版）

专题05解析几何解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大.令同学们畏惧.通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：(1)解析几何通性通法研究；(2)圆锥曲线中最值、定点、定值问题；(3)解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”.所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开.一、轨迹方程例1.在平面直角坐标系中，、、、，直线、相交于点，且它们的斜率之积是．求点的轨迹方程；求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.1.已知抛物线.焦点为F，过的直线l与抛物线C交于A､B两点，AB中点为M.(1)若，求直线l的方程；(2)过A､B分别作抛物线C的切线，交点记为H.求点H的轨迹方程；1.【2022·全国·高三专题练习】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．1．【2016·全国·高考真题（理）】设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程；二、向量搭桥进行翻译例2.椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆的方程；(2)设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决.2.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．2.【2022·全国·高三专题练习】如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若点，求直线的方程，并证明点平分线段．2．【2021·山东·高考真题】已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．三、弦长、面积背景的条件翻译例3.已知椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求C的方程；(2)若A，B是C上两点，直线与曲线相切，求的取值范围．首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理.将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式(在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长)将有关弦长、面积的条件翻译为：(1)关于某个参数的函数，根据要求求出最值；(2)关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系.3.已知椭圆C：0)的右焦点F与右准线l：x＝4的距离为2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线m及x轴和y轴分别相交于点D，E，G，直线GF与右准线l相交于点H．记AEGF，ADGH的面积分别为S1，S2，求的值．3.【2022·湖北·荆州中学高三期末）如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点．(1)若点为直线与轴的交点，求的面积；(2)若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.3．【2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.四、斜率背景条件的翻译例4.已知椭圆C：经过点P，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作直线l//y轴，第四象限内一点A在椭圆C上（点A不在直线l上），点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP（O为原点）的位置的关系，并说明理由．在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断.4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．4.【2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程．4．【2018·全国·高考真题（理）】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.五、弦长、面积范围与最值问题例5．在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式.对于，有以下三种常见的表达式：①(随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离)②(横截距已知的条件下使用)③(纵截距已知的条件下使用)5.已知椭圆的左焦点为圆的圆心A．(1)求椭圆C的方程；(2)与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．5.【2022·浙江绍兴·高三期末）已知椭圆，经过拋物线的焦点的直线与交于两点，在点处的切线交于两点，如图.(1)当直线垂直轴时，，求的准线方程；(2)若三角形的重心在轴上，且，求的取值范围.9.【2021·全国·高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．六、坐标、斜率、角度、向量数量积等范围与最值问题例6.已知抛物线，，点在上，且不与坐标原点O重合，过点M作的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为，，．(1)当时，求的值；(2)当点M在上运动时，求的取值范围．通过合理的方式，将所需要的坐标、斜率、角度、向量数量积等问题利用参数进行表达，进而构造函数，通过求函数值域解决.涉及向量的数量积，多与坐标有关，最终利用根与系数的关系进行解决.6.已知椭圆的离心率，焦距为．(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若轴上的一点满足，试求出点的横坐标的取值范围．6.【2022·福建泉州·模拟预测】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在上.(1)求的方程；(2)点为的下顶点，点在内且满足，直线交于点，求的取值范围.6.【2017·山东·高考真题（理）】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.七、定值问题例7.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是短轴的一个端点，且为等腰直角三角形，．(1)求椭圆的方程；(2)设过的直线与交于，两点，是线段的中点，过点的直线的方程为，直线与交于点，求证：为定值．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．7.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究△的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.7.【2022·江西·高三期末】已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，过点任作一条直线，与交于异于，的，两点.(1)设直线，的斜率分别为kMA，kMB，求证：kMA(2)设直线NB的斜率为kNB，是否存在正常数，使得kMA=λkNB7.【2020·北京·高考真题】已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点．求的值．八、定点问题例8.已知点是椭圆的右焦点，点到直线y=x的距离为，椭圆的离心率e=12．(1)求椭圆的方程；(2)动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率分别为，，若k1=-k2，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.8.已知椭圆：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，EF⊥x(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于P， Q两点，为的中点，作射线交椭圆于点R，交直线l'：x+2y-4=0于点，且满足|OM|⋅|ON|=|OR|2，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．8.【2022·江苏·金陵中学高三阶段练习】已知椭圆的焦距为2，F1，F2分别是C的左右两个焦点，椭圆C上满足∠F(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求证：存在定点Q，使得Q到直线l的距离为定值，并求出这个定值.8.【2020·山东·高考真题】已知椭圆C：的离心率为，且过点A2，1（1）求的方程：（2）点，在上，且AM⊥AN，AD⊥MN，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．九、三点共线问题例9.如图，已知椭圆，A1，A2分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆过点(0，3)，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)若直线上有两个点，，且MF2⋅N①求△MNF②连接MA1交椭圆于另一点（不同于点A1），证明：、A2、三点共线．证明共线的方法：(1)斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；(2)距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；(3)向量法：利用向量共线定理证明三点共线；(4)直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；(5)点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.(6)面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.9.如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球O1，O2，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点F1，F2，丹德林（G⋅Dandelim）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面α截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点V到椭圆顶点(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线.9.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点分別为A1，A2，右焦点为F（1，0），且椭圆C的离心率为12，M(1)求椭圆C的方程；(2)证明：M，F，N三点共线.9.【2021·全国·高考真题】已知椭圆C的方程为，右焦点为F(2，0)，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M十、中点弦问题例10.已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，且P(1)求椭圆的离心率e；(2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为Q(1，-12)，若椭圆上存在点，满足2OA+3OB=4对于中点弦问题常用点差法解决.10.已知是抛物线：y2=2pxp>0的焦点，过焦点且斜率为3的直线交抛物线于，两点（在第一象限）、交抛物线的准线于，MB=2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线上存在，两点关于直线y=-x+4对称，求△PQF的面积．10.【2022·全国·高三专题练习）已知双曲线E：x2a2(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线交于两个不同的点，，线段的中垂线与轴交于点(0，4)，求实数的取值范围.10.【2015·陕西·高考真题（理）】已知椭圆Ε：（a>b>0）的半焦距为，原点Ο到经过两点(c，0)，(0，b)（Ⅰ）求椭圆Ε的离心率；（Ⅱ）如图，ΑΒ是圆Μ：(x+2)2+(y-1)2=52十一、四点共圆问题例11.已知椭圆，短轴长为22，离心率为.过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于､两点，的中垂线交轴于点，交直线x=22于点.(1)求的方程；(2)求ABFM(3)证明：､､､四点共圆.证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆.方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）.方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角).方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）.11.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴交于点P(1)求抛物线E的方程；(2)过F的直线l抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.11.【2022·全国·高三专题练习】已知斜率为的直线交椭圆3x2+y2=λ(λ>0)于A，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点N1，（1）若y0=3，求直线的方程以及的取值范围；（2）不管怎么变化，都有A，，，四点共圆，求的取值范围．11.【2014·全国·高考真题（文）】已知抛物线C：y2=2px(p>