2024-2025学年新教材高中数学第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性必备学问·素养奠基1.变量的相关关系(1)两个变量的关系分类函数关系相关关系特征两变量有确定的关系两个变量有关系,但又没有准确到可由其中一个去精确地确定另一个的程度(2)散点图:将样本中的每一个序号下的成对数据用直角坐标系中的点表示出来得到的统计图.(3)正相关与负相关正相关负相关当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现削减的趋势(4)线性相关:假如两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线旁边,则称这两个变量线性相关.正相关与负相关是对全部具有相关关系的两个变量而言的,对吗?提示:不对,正相关与负相关是针对线性相关关系而言的.2.样本的相关系数(1)相关系数:统计学里一般用r=QUOTE=QUOTE来衡量y与x的线性相关性的强弱,这里的r称为样本相关系数(简称相关系数).(2)相关系数的性质1r>0时,成对数据正相关;r<0时,成对数据负相关,-1≤r≤1.2|r|越小,两个变量之间的线性相关程度越弱,|r|越大,两个变量之间的线性相关程度越强.3|r|=1时,成对数据构成的点都在一条确定的直线上.|r|的大小有何实际意义?提示:|r|越小,两个变量之间的线性相关性越弱;|r|越大,两个变量之间的线性相关性越强.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个变量的相关关系是一种确定的关系.()(2)两个变量的相关系数越大,它们的相关程度越强.()(3)当一个变量的值增加时,另一个变量的值随之削减,则称这两个变量负相关.()(4)一般地,样本容量越大,用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好.()提示:(1)×.两个变量的相关关系不是一种确定的关系,是一种随机关系.(2)×.相关系数|r|越接近1,线性相关程度越强;|r|越接近0,线性相关程度越弱.(3)×.存在相关关系的两个变量,当一个变量增加时,另一个变量的相应值呈削减的趋势,则称这两个变量负相关.(4)√.2.依据一组数据推断两个变量是否线性相关时,应选()A.茎叶图 B.频率分布直方图C.散点图 D.频率分布折线图【解析】选C.推断两个变量是否有线性相关关系时,应先画出散点图.若这些点大体分布在一条直线旁边则具有线性相关关系.3.已知两个变量负相关,且相关程度很强,则它们的相关系数的大小可能是()A.-0.95 B.-0.13 C.0.15 D.0.96【解析】选A.相关系数r<0时,成对数据负相关,且|r|越大,两个变量之间的线性相关程度越强.关键实力·素养形成类型一相关关系与线性相关关系角度1相关关系【典例】(多选题)下列关系中,属于相关关系的是()A.正方形的边长与面积之间的关系B.农作物的产量与施肥量之间的关系C.人的身高与年龄之间的关系D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系【思维·引】紧扣相关关系的概念加以推断.【解析】选BD.在A中正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;在B中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;在C中,人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到肯定时期身高就不发生明显改变了,因而它们不具有相关关系;在D中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.角度2线性相关关系的推断【典例】5名学生的数学和物理成果(单位:分)如下:ABCDE数学成果8075706560物理成果7066686462推断数学成果与物理成果是否具有线性相关关系.【思维·引】依据散点图推断.【解析】以x轴表示数学成果,y轴表示物理成果,得相应的散点图如图所示.由散点图可知,各点分布在一条直线旁边,故两者之间具有线性相关关系.【素养·探】本例考查利用散点图推断两个变量是否线性相关,同时考查了数据分析与数学抽象的核心素养.本例条件若改为:某公司2014～2024年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如表所示:年份201420152024202420242024利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11推断x与y是否线性相关,是正相关还是负相关?【解析】作出散点图(图略),由散点图可知,各点分布在一条直线旁边,故x与y之间线性相关,且y随x的增大而增大,是正相关.【类题·通】1.函数关系与相关关系函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不肯定是因果关系,也可能是伴随关系.2.两个变量是否相关的两种推断方法(1)实际阅历法:借助积累的阅历进行分析推断;(2)散点图法:绘制散点图,假如发觉点的分布从整体上看大致在一条直线旁边,那么这两个变量就是线性相关的,留意不要受个别点的位置的影响.【习练·破】1.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以推断()A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关【解析】选C.由题图象知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系.2.下列两个变量间的关系不是函数关系的是()A.圆的半径与周长B.角的度数与它的正切值C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量D.日照时间与水稻的单位产量【解析】选D.函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系,但是这两种关系是不同的,函数关系是指当自变量肯定时,函数值是确定的,是一种确定性的关系.因为A项C=2πr,B项y=tanα,C项y=ax(a>0,且a为常数),所以这三项均是函数关系.D项是相关关系.【加练·固】某个男孩的年龄与身高的统计数据如表所示.年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120(1)画出散点图;(2)推断y与x是否具有线性相关关系.【解析】(1)散点图如图所示.(2)由散点图知,全部数据点分布在一条直线旁边,因此,认为y与x具有线性相关关系.类型二相关系数与相关程度的推断角度1相关系数的概念【典例】下面的各图中,散点图与相关系数r不符合的是()【思维·引】依据相关系数与散点图的关系解答.【解析】选B.A、B选项中散点全部集中在一条直线上,且分别呈负、正相关,故相关系数r的值应分别为-1,1;C选项变量呈负相关,故-1<r<0,D选项变量没有相关性,相关系数近似看为0.角度2相关程度的推断【典例】一般来说,一个人的身高越高,他的手就越大,为调查这一问题,对某校10名高一男生的身高与右手长度进行测量得到如下数据(单位:cm):身高168170171172174176178178180181右手长度19.020.021.021.521.022.024.023.022.523.0(1)推断两者有无线性相关关系;(2)假如具有线性相关关系,推断相关性的强弱.【思维·引】画散点图推断是否线性相关,求相关系数刻画相关程度.【解析】(1)散点图如图所示.可见,身高与右手长度之间的总体趋势为一条直线,即它们线性相关.(2)依据以上数据可由计算器计算得QUOTE=174.8,QUOTE=21.7,QUOTE=305730,QUOTE=4729.5,QUOTExiyi=37986.r=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈0.9.故两者有很强的线性相关关系.【类题·通】相关系数的关注点1.相关系数可以反映两个变量之间的线性相关程度,即散点集中于一条直线的程度,其符号反映了相关关系的正负性.2.变量间是否具有线性相关关系,可通过散点图或相关系数作出推断,散点图只是粗略作出推断,用相关系数能够较精确的推断相关的程度.【习练·破】关于两个变量x和y的7组数据如表所示:x21232527293235y711212466115325试推断y与x是否线性相关,并刻画它们的相关程度.【解析】画散点图(图略),视察散点图,可以看出样本点都集中在一条直线旁边,由此推断y与x线性相关.QUOTE=QUOTE(21+23+25+27+29+32+35)≈27.4,QUOTE=QUOTE(7+11+21+24+66+115+325)≈81.3,QUOTE=212+232+252+272+292+322+352=5414,QUOTExiyi=21×7+23×11+25×21+27×24+29×66+32×115+35×325=18542.QUOTE=72+112+212+242+662+1152+3252=124393,所以r=QUOTE=QUOTE≈QUOTE≈0.8375.所以x与y具有线性相关关系.课堂检测·素养达标1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()A.都可以分析出两个变量的关系B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系C.都可以作出散点图D.都可以用确定的表达式表示两者的关系【解析】选C.给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,故C正确,但不肯定能分析出两个变量的关系,故A不正确,更不肯定符合线性相关,故B不正确,两个变量的统计数据不肯定有函数关系,故D不正确.2.对两个变量x,y的几组观测数据统计如表,则这两个相关变量的关系是()x1098765y233.544.85A.负相关 B.正相关C.先正后负相关 D.先负后正相关【解析】选A.依据两个变量x,y的几组观测数据统计表知,y随x的增大而减小,所以这两个相关变量负相关.3.变量x,y的散点图如图所示,那么x,y之间的样本相关系数r最接近的值为()A.1 B.-0.5 C.0 D.0.5【解析】选C.依据变量x,y的散点图,得x,y之间的样本相关关系特别不明显,所以相关系数r最接近的值应为0.4.现随机抽取了某校10名学生在入学考试中的数学成果(x)与入学后的第一次考试数学成果(y),数据如表:学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问:这10名学生的两次数学考试成果是否具有显著的线性相关关系?【解析】QUOTE=QUOTE(120+108+…+99+108)=107.8,QUOTE=QUOTE(84+64+…+57+71)=68,QUOTE=1202+1082+…+992+1082