统考版2025届高考数学一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4节不等关系与不等式教师用书教案北师大版

PAGE不等关系与不等式[考试要求]1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a＞ba，b∈R，,a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，,a－b＜0⇔a＜ba，b∈R；))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.))2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n≥2，n∈N)．(单向性)提示：同向不等式可相加，不能相减．eq\a\vs4\al([常用结论])1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒；(2)a＜0＜b⇒；(3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒.2．分数性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)真分数性质：(b－m＞0)；(2)假分数性质：(b－m＞0)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac2＞bc2.()(2)若ac2＞bc2，则a＞b.()(3)若eq\f(a,b)＞1，则a＞b.()(4)若a＋c＞b＋c，则a＞b.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材习题衍生1．设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bc B．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C．a2＞b2 D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，解除A，B，C，故选D.]2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则()A．ad＞bc B．ad＜bcC．ac＞bd D．ac＜bdD[c＜d＜0⇒－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D.]3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中肯定成立的是()A．a－c＜b－d B．ac＜bdC．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋cC[由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C.]4．设a＝eq\r(7)＋eq\r(10)，b＝eq\r(3)＋eq\r(14)，则a与b的大小关系为()A．a＝b B．a＞bC．a＜b D．无法推断B[a2＝17＋2eq\r(70)，b2＝17＋2eq\r(42)，由2eq\r(70)＞2eq\r(42)，知a2＞b2，又a＞0，b＞0，所以a＞b，故选B.]考点一比较两个数(式)的大小比较两个数或代数式的大小的三种方法(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．步骤：①作差；②变形；③推断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．步骤：①作商；②变形；③推断商与1的大小；④下结论．(3)特殊值法：对于比较困难的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采纳特殊值法比较．[典例1](1)若0＜x＜1，p，q∈N*，则M＝1＋xp＋q与N＝xp＋xq的大小关系为()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不确定(2)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，则a________b．(填“＞”或“＜”)(1)A(2)＜[(1)(1＋xp＋q)－(xp＋xq)＝(1－xp)＋xq(xp－1)＝(1－xp)(1－xq)，∵0＜x＜1，p，q∈N*，∴1－xp＞0,1－xq＞0，∴(1－xp)(1－xq)＞0，∴1＋xp＋q＞xp＋xq，即M＞N，故选A.(2)法一：(作商法)易知a＞0，b＞0，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89＞1，所以b＞a.法二：(作差法)b－a＝eq\f(ln3,3)－eq\f(ln2,2)＝eq\f(1,6)(2ln3－3ln2)＝eq\f(1,6)(ln9－ln8)＞0.所以b＞a.]eq\a\vs4\al([跟进训练])1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(aA．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞BB[因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2eq\r(ab)＋b－(a＋b)＝2eq\r(ab)≥0，所以A≥B.故选B.]考点二不等式性质的应用1.推断不等式是否成立的方法(1)不等式性质法：干脆利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特殊留意前提条件．(2)特殊值法：利用特殊值解除错误答案．(3)单调性法：当干脆利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行推断．2．利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质干脆求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．推断不等式是否成立[典例2－1](1)若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)(2)(2024·全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|(1)B(2)C[(1)由c＜d＜0得eq\f(1,d)＜eq\f(1,c)＜0，则－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，∴－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)，∴eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，故选B.(2)由函数y＝lnx的图像(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A错误；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B错误；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b点评：本例第(1)题也适合用特殊值法求解．求代数式的取值范围[典例2－2](1)已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．(2)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(1)(－4,2)(1,18)(2)(3,8)[(1)∵－1＜x＜4,2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，∴－4＜x－y＜2；由－1＜x＜4,2＜y＜3得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，∴1＜3x＋2y＜18.(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2,λ－μ＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)．由－1＜x＋y＜4得－2＜－eq\f(1,2)(x＋y)＜eq\f(1,2)，由2＜x－y＜3得5＜eq\f(5,2)(x－y)＜eq\f(15,2).∴3＜2x－3y＜8.]点评：x＋y，x－y,2x－3y看作三个整体，整体中x，y相互制约．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[由a＞b＞0得a2＞b2，∴a2＋a＞b2＋b.反之由a2＋a＞b2＋b可得(a2＋a)－(b2＋b)＞0，即(a－b)(a＋b＋1)＞0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0,a＋b＋1＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＜0,a＋b＋1＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,a＋b＋1＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜b,a＋b＋1＜0，))无法推出a＞b＞0.因此，“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的充分不必要条件，故选A.]2．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围是________．(－4,0)[由－1＜x＜y＜3得，－1＜x＜3，－3＜－y＜1.∴－4＜x－y＜4，又x＜y.所以x－y＜0.∴－4＜x－y＜0.]3．已知角α，β满意－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是___