第03讲 一元二次方程的解法（公式法3种题型）（原卷版）

第03讲一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以当时，利用开平方法，得：， 即：当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根： ，这就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判别方程的根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）只有一个实数根 （D）没有实数根方程的根的情况是( )（A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根（C）没有实根 （D）无法确定一元二次方程的根的情况为（ ）（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根（C）只有一个实数根 （D）没有实数根例2.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）． 题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：．例4．用公式法解下列方程：（1）； （2）．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于的一元二次方程．(1)若该方程有一个根是，求的值；(2)求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（

）A． B． C． D．24．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则______．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于的方程有实数根，则m的取值范围是______．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程____________没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根．三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于的方程有两个不相等的实数根．13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a的取值范围．14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取最小整数时，求的值．15．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知关于的方程．(1)若方程有两个相等的实数根，请求出，的关系；(2)求证：当时，方程总有两个实数根．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有C．有两个相等的实数根 D．没有实数根3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A． B． C．且 D．且二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于的方程__________有两个相等的实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程没有实数根，则m的取值范围是______．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)若该方程的一个根为，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：无论a取何实数，该方程都有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求出此时方程的根．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程（m为常数，且）(1)求证：方程总有实数根；(2)若该方程有两个实数根；①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______；②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．11．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）先化简，冉求值，其中x满足．12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练